Neutrino Oscillation Fixes Only the Differences of the Squared Masses, Not the Masses Themselves ── Shifting every squared mass by the same amount leaves every probability unmoved and moves only the shape of the endpoint ── the separator is whether one measures oscillation or the β-decay endpoint ── [Paper 1071]

Abstract

A neutrino changes its type while it flies. The formula for that probability contains only differences of squared masses, never the masses themselves. This paper counts that "differences only" with three-flavour mixing and shows that the quantity answering to the absolute scale instead is the shape of the β-decay endpoint. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed: the oscillation probability formula, the three-flavour mixing matrix, the vanishing of a common phase from probabilities, and the response of the β-decay endpoint to mass are all standard. Squared masses are not read as areas: the square entering the oscillation formula is, in natural units, an energy squared and carries no dimension of area. No special value is placed on the mass: every value used is a measured one. Matter effects are not included; only oscillation in vacuum is treated. Wave packets, and the choice between equal momentum and equal energy, are not entered. When the unexpanded formula is measured, states are compared at equal momentum. No fourth type is added; only three-flavour mixing is treated. Majorana versus Dirac is not discussed; double β decay is not treated either. No bound from cosmological observation is cited: the sources have not been checked, so no value for an upper bound on the mass sum is written. The CP phase is not fixed. Four values are measured, and the conclusion is checked to be the same for each. Nothing is called one root: the one half of kinetic energy and the one half of oscillation are two limits of one formula and, by the rule of an earlier census, are not called one root. Relation to earlier papers: Paper 913 showed that the one half of kinetic energy is the reciprocal of the power 2; here the one half of oscillation is counted as coming from the same formula with momentum and mass exchanged. Paper 600 counted that calling two consequences of one formula one root is no judgement at all. Following that rule, the two halves are not called one root. Paper 1060 showed that in a system with only one scale factor the ratio is determined but the position is not. Here too something is fixed and something is not, but the freedom differs: there it is multiplicative, here additive. Paper 60, in its second edition, wrote that a chosen 4π for mass and the 4π of solid angle are different in nature; here the 4π of the oscillation length is added to the comparison and separated from solid angle by moving the dimension. Paper 1055, Paper 1056 and Paper 1058 separated numbers that move with the units from numbers that do not; here the practical coefficient is of the first kind and the denominator 4 of the second. Paper 672 and Paper 649 treated beats between two frequencies. Here the same rewriting is seen to lead to different conclusions depending on what is measured. Paper 300 showed that whether two things share a root is decidable. By that criterion, the 4π of the oscillation length and solid angle are judged to have different roots. What is added is: measuring with three flavours that shifting every square by the same amount leaves the probabilities unmoved, showing that the effective mass at the endpoint takes that same shift exactly, splitting the 4 of the phase into two halves, setting side by side that the coefficient moves with the units while the 4 does not, separating the 4π of the oscillation length from solid angle by the dimension, and measuring the size of the leak in the unexpanded formula. First, and this is the core of the paper: shifting every squared mass by the same amount leaves the oscillation probabilities unmoved. Over both orderings and four phases, with the lightest mass moved from 0 to 0.45 eV, what remains in double precision never exceeds 0.519400 times the rounding size of the phase, and at 60 digits it is 3.889×10⁻⁶². Meanwhile the mass sum moves from 0.058980 eV to 1.352886 eV. Second, the endpoint takes the same shift exactly as it is: the square of the effective mass read at the endpoint moves by exactly the size of the shift (discrepancy 2.776×10⁻¹⁷), and the deficit of electrons within 1 eV of the endpoint moves from 1.169834×10⁻⁴ to 2.879142×10⁻¹. Third, the 4 in the denominator of the phase is a product of 2 and 2. One half comes from expanding the energy and one half from the half-angle; the formula with 4 agrees with the probability computed directly from the amplitude to 4.413×10⁻¹⁵, while mistaking it for 2 or 8 misses by 9.888×10⁻¹. Fourth, the practical coefficient moves with the units and the 4 does not: the coefficient 1.266933 moves by a factor 10⁶ across five sets of units, while the denominator recovered from it is 4.000000000000 every time. Fifth, the 4π of the oscillation length is not a solid angle. When the spatial dimension is moved from 1 to 5, the area of the unit sphere moves from 2.000000 to 26.318945, while the coefficient of the oscillation length stays at 12.566370614. The two are the same number only in three dimensions. Sixth, the differences fix only a floor: the mass sum is at least 0.058980 eV for the normal ordering and 0.099824 eV for the inverted one, and the direct-measurement bound of 0.45 eV lies 50.94 and 9.14 times above the smallest effective mass. Stated plainly, "does not fix" is exact as a formula only within the approximation that expands the energy around the momentum. In the unexpanded formula the shift leaks very slightly (4.485×10⁻¹⁷ in a reactor-type setting). Closing: neutrino oscillation fixes only the differences of the squared masses, not the masses themselves. Shifting every square by the same amount leaves the probabilities unmoved: what remains in double precision is at most 0.519400 times the rounding of the phase, at 60 digits 3.889×10⁻⁶², while the mass sum moves from 0.058980 eV to 1.352886 eV. The endpoint takes the same shift as it is: the square of the effective mass moves by exactly the shift (discrepancy 2.776×10⁻¹⁷), and the deficit within 1 eV moves from 1.169834×10⁻⁴ to 2.879142×10⁻¹. The 4 of the phase is 2 times 2: one half from the expansion and one half from the half-angle; mistaking it misses by 9.888×10⁻¹. The coefficient moves with the units and the 4 does not: 1.266933 moves by 10⁶, and the recovered denominator is 4.000000000000 every time. The 4π of the oscillation length is not a solid angle: moving the dimension moves only the area of the unit sphere, and the two are the same number only in three dimensions. Stated plainly, in the unexpanded formula the shift leaks by about 4.485×10⁻¹⁷. Matter effects, wave packets and a fourth type are not entered. The separator: whether one measures oscillation or the β-decay endpoint. Oscillation sees differences and throws the common constant away; the endpoint sees a weighted mean and takes that constant. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: neutrino oscillation, squared-mass difference, mixing matrix, β-decay endpoint, effective mass, common phase, beats, separator. ----- ニュートリノは飛ぶあいだに種類を変える。その確率の式に入っているのは質量の二乗の差だけで、質量そのものは入っていない。本稿はこの「差だけ」を三種類の混合で数え、代わりに絶対値に応える量がベータ崩壊の端点の形であることを示す。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない。ニュートリノ振動の確率の式、三種類の混合の行列、共通の位相が確率から消えること、ベータ崩壊の端点が質量に応えることは、いずれも標準的である。質量の二乗を面積として読まない。振動の式に入る二乗は、自然単位ではエネルギーの二乗であり、面積の次元を持たないからである。質量に特別な値を置かない。使う値はすべて測定の側の値である。物質の中の効果を入れない。扱うのは真空の中の振動だけである。波束と、同じ運動量で並べるか同じエネルギーで並べるかの取り方に立ち入らない。なお、展開しない式を測るときは、同じ運動量で並べる。第四の種類を入れない。三種類の混合だけを扱う。マヨラナかディラックかを論じない。二重ベータ崩壊も扱わない。宇宙の観測からの上限を引かない。原典を確かめていないので、質量の和の上限の値は書かない。 CP の位相を決め打ちしない。四つの値で測り、どれでも同じ結論になることを確かめる。同根と呼ばない。運動エネルギーの二分の一と振動の二分の一は一つの式の二つの極限であり、既刊の点呼の規約で同根とは呼ばない。既刊との関係:論文913 は、運動エネルギーの二分の一が冪 2 の逆数であることを示した。ここでは振動の二分の一が、運動量と質量を入れ替えた同じ式から出ることを数える。論文600 は、一つの式の二つの帰結を同根と呼ぶと判定にならないことを数えた。その規約に従い、二つの二分の一を同根とは呼ばない。論文1060 は、一つの倍率しか持たない系では比だけが決まって位置は決まらないことを示した。ここでも何かが決まって何かが決まらないが、動かす自由が違う。向こうは掛け算、こちらは足し算である。論文60 は第2版で、同じ 4π でも選んだ質量の 4π と立体角の 4π は正体が別だと書いた。ここでは振動の長さの 4π を並べ、次元を動かして立体角と分ける。論文1055・論文1056・論文1058 は、単位で動く数と動かない数を分けた。ここでは実用の係数が前者、分母の 4 が後者である。論文672・論文649 は、二つの振動数のうなりを扱った。ここでは同じ書き換えが、測るものの違いで別の結論になることを見る。論文300 は、同根か別根かは判定できると示した。その基準で、振動の長さの 4π と立体角を別根と判定する。加えたのは、全部の二乗を同じだけずらしても確率が動かないことを三種類で測ったこと、同じずらしを端点の有効質量がちょうど受け取ることを示したこと、位相の 4 を二つの二分の一に分けたこと、係数が単位で動いて 4 が動かないことを並べたこと、振動の長さの 4π を次元で立体角から分けたこと、展開しない式での漏れの大きさを測ったことである。 第一に、これが本稿の芯である。全部の質量の二乗を同じだけずらしても、振動の確率は動かない。二つの並び順と四つの位相で最も軽い質量を 0 から 0.45 eV まで動かしても、倍精度で残る動きは位相の丸めの大きさの 0.519400 倍を超えず、60 桁で測ると 3.889×10⁻⁶² である。その間に質量の和は 0.058980 eV から 1.352886 eV まで動く。 第二に、同じずらしを、端点はそのまま受け取る。端点が読む有効質量の二乗は、ずらしの大きさとちょうど同じだけ動き(食い違い 2.776×10⁻¹⁷)、端点から 1 eV 以内の電子の欠けは 1.169834×10⁻⁴ から 2.879142×10⁻¹ まで動く。 第三に、位相の分母の 4 は 2 と 2 の積である。一つはエネルギーの展開の二分の一、一つは半角の二分の一で、分母を 4 にした式は振幅から直接出した確率と 4.413×10⁻¹⁵ で合い、2 や 8 に取り違えると 9.888×10⁻¹ ずれる。 第四に、実用の係数は単位で動き、4 は動かない。係数 1.266933 は五通りの単位で 10⁶ 倍動くが、そこから戻した分母はどれも 4.000000000000 である。 第五に、振動の長さの 4π は立体角ではない。空間の次元を 1 から 5 まで動かすと、単位球の面積は 2.000000 から 26.318945 まで動くのに、振動の長さの係数は 12.566370614 のまま動かない。二つが同じ数になるのは三次元だけである。 第六に、差が決めるのは下限までである。正の並び順なら質量の和は 0.058980 eV 以上、逆なら 0.099824 eV 以上で、直接の測定の上限 0.45 eV は下限の有効質量の 50.94 倍・9.14 倍上にある。 正直に書くと、「決めない」が式として厳密なのは、エネルギーを運動量のまわりで展開した近似の中である。展開しない式では、ずらしはごく僅かに漏れる(原子炉の型の設定で 4.485×10⁻¹⁷)。 結び:ニュートリノ振動が決めるのは質量の二乗の差だけで、質量そのものは決めない。全部の二乗を同じだけずらしても確率は動かない。倍精度の残りは位相の丸めの 0.519400 倍以下、60 桁では 3.889×10⁻⁶² で、その間に質量の和は 0.058980 eV から 1.352886 eV まで動く。同じずらしを端点はそのまま受け取る。有効質量の二乗はちょうどずらしの分だけ動き(食い違い 2.776×10⁻¹⁷)、1 eV 以内の欠けは 1.169834×10⁻⁴ から 2.879142×10⁻¹ まで動く。位相の 4 は 2 と 2 の積である。出どころは展開の二分の一と半角の二分の一で、取り違えると 9.888×10⁻¹ ずれる。係数は単位で動き、4 は動かない。1.266933 は 10⁶ 倍動き、戻した分母はどれも 4.000000000000 である。振動の長さの 4π は立体角ではない。次元を動かすと単位球の面積だけが動き、二つが同じ数になるのは三次元だけである。正直に書くと、展開しない式では、ずらしは 4.485×10⁻¹⁷ ほど漏れる。物質の中