Inside the Sun Light Advances on a Clock of Length Squared, and Outside on a Clock of Length ── The ratio of the two clocks is how many mean free paths fit in the radius, 3.315810917 times 10 to the 10, and the number of years moves by orders of magnitude with the mean free path while the exponent 2 does not ── the separator is whether the step length is taken fixed or exponentially distributed ── [Paper 1048]

Abstract

Light crosses the radius of the Sun in 2.3 seconds. Yet to seep out from within takes incomparably longer. This paper counts the two as clocks of different dimension. No new theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem and no new law is claimed──the square law of the random walk, the kinetic estimate of the diffusion coefficient as a third of the mean free path times the speed, and the diffusive nature of radiative transport in the Sun are all standard (Mitalas and Sills 1992; Kippenhahn and others 2012). The structure of the Sun is not solved──density and temperature are held constant and the opacity is Thomson scattering alone. The real mean free path changes by orders of magnitude with depth. No claim about the number of years──what is counted is a ratio and an exponent, not how old the sunlight is. What is carried is not called a photon──absorption and re-emission exchange them, so what is carried is energy. Nothing about how long a reservoir lasts──the age of gravitational contraction was counted in Paper 497, a different question. The values are examples──the radii, the number of walks and the seed are given numbers. Relation to earlier papers:Paper 119 showed that a flow parameter advances not inside a manifold but through the space of manifolds, and that its dimension is length squared──here light inside a single star advances on that clock of length squared. Paper 445 showed that what the waiting is for is diffusion, not reaction──that was a chemical setting and this is the inside of a star, with the same square law setting the magnitude. Paper 755 showed that whether a bigger pump helps swaps with the ratio of mean free path to pipe diameter──what acts here is a ratio of the same form, the radius over the mean free path. Paper 497 showed that Kelvin’s calculation was never refuted and that what was replaced was the reservoir──that is how long a reservoir lasts, this is how long transport takes, and the ratio is 2.587110314×10 to the minus 4. Paper 118 showed that coordinate time, proper time and entropy are three different logical types──here a fourth appears inside a single star, a clock whose dimension is length squared. What is added is measuring the exponent by walking the walk under two step conventions, matching the coefficients 1 and 0.5 against the kinetic prediction, checking that the ratio of the two clocks counts mean free paths, listing how the years move with the mean free path and the step convention, and inverting for the mean free path that would give a hundred thousand years. First, and this is the core. The two clocks have different dimensions──outside, the speed of light times a time is a length, and the radius of 6.957×10 to the 8 metres is crossed in 2.320605410 seconds. Inside, a diffusion coefficient times a time is a length squared. The same light on the same journey is measured by a clock of length in one place and a clock of length squared in the other (Sections 2 and 5). Second, the exponent 2 came out of actually walking the walk──counting the steps needed to leave balls of radius 10, 20, 40 and 80, the exponent is 1.956974369 for a fixed step length and 1.907885588 for an exponentially distributed one. Both rise towards 2 from below, and the two partial fits differ by -0.026278000 and 0.026673691, opposite in sign, so this is not a systematic bias (Section 3). Third, the coefficients match what kinetic theory predicts──dividing the step count by the radius squared gives 0.967130469 for fixed steps and 0.486542708 for exponential ones, a ratio of 1.987760688. Taking the diffusion coefficient to be a third of the mean free path times the speed of light predicts exactly 1.0 and 0.5 (Section 5). Fourth, the ratio of the two clocks is how many mean free paths fit in the radius──from the mean density with Thomson scattering alone, the mean free path is 0.020981292886 metres, and dividing the radius by it gives 3.315810917×10 to the 10. The seeping time divided by the crossing time is exactly that (Section 4). Fifth, the number of years, by contrast, moves──the same computation gives 2438.299729045 years, but 1219.149864523 years if the step length is taken exponential, and a hundred thousand years if the mean free path is taken to be 0.000511586808 metres. The years are inversely proportional to the mean free path and change by a factor of two with the step convention alone (Section 4). Sixth, so the core is placed on what does not move──what does not move is the exponent 2 and the fact that the ratio counts mean free paths. The separator is whether the step length is taken fixed or exponentially distributed (Section 5). Inside the Sun light advances on a clock of length squared, and outside on a clock of length. Outside, the speed of light times a time is a length and the radius is crossed in 2.320605410 seconds. Inside, a diffusion coefficient times a time is a length squared, and walking the walk gives exponents of 1.956974369 and 1.907885588, both rising towards 2 from below. Dividing the step count by the radius squared gives 0.967130469 and 0.486542708, matching the 1.0 and 0.5 of kinetic theory──the ratio of the two clocks is nothing but a count of how many mean free paths fit in the radius, 3.315810917×10 to the 10 for Thomson scattering alone. The separator is whether the step length is taken fixed or exponentially distributed──that alone splits the years into 2438.299729045 and 1219.149864523, and a mean free path of 0.000511586808 metres would give a hundred thousand. What moves is the years; what does not is the exponent and the ratio. Placed among the earlier papers──the fourth clock that Paper 119 settled by its dimension of length squared appears here inside a single star, and the ratio against the mean free path is the same form that acted in Paper 755. To be honest──that radiative transport in the Sun is diffusive has long been known. What is added is to measure the exponent and the coefficients under two step conventions, to match them against the kinetic prediction, and to set out how far the years move with the choices made. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: diffusion, random walk, mean free path, dimensional analysis, the Sun, radiative transport. ----- 太陽の半径を光が横切るのは 2.3 秒である。ところが中から染み出すには、けた違いに長くかかる。本稿はその二つを、次元の違う二つの時計として数える。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──乱歩の二乗則、拡散係数を平均自由行程と速さの積の 3 分の 1 と置く運動論、太陽の光の輸送が拡散であることは、いずれも既知である(ミタラスとシルズ 1992、キッペンハーンほか 2012)。太陽の構造を解かない──密度も温度も一定と置き、不透明度はトムソン散乱だけを入れた。実際の平均自由行程は深さで桁が変わる。年数を主張しない──数えたのは比と冪であって、太陽の光が何年前のものかではない。運ばれるものを光子と呼ばない──吸収と再放出で入れ替わるので、運ばれているのはエネルギーである。蓄えの持ち時間に入らない──重力収縮の年齢は論文497 が数えた。別の問いである。値は例である──乱歩の半径、本数、種は与えた数である。既刊との関係:論文119 は、流れの径数が多様体の中ではなく多様体たちの空間を進み、その次元が長さの二乗であることを示した──ここでは一つの星の中の光が、その長さの二乗の時計で進む。論文445 は、待っているのが反応ではなく拡散であることを示した──あちらは化学の場、こちらは星の中。同じ二乗則が桁を決めている。論文755 は、大きなポンプが効くかどうかが平均自由行程と管の太さの比で入れ替わることを示した──ここでも効くのは同じ形の比、半径と平均自由行程の比である。論文497 は、ケルビンの計算が反証されたのではなく、取り替えられたのは蓄えのほうだと示した──あちらは蓄えの持ち時間、こちらは運ぶ時間で、比は 2.587110314×10 の −4 乗である。論文118 は、座標時間と固有時とエントロピーが三つの異なる論理型であることを示した──ここでは四つ目として、次元が長さの二乗である時計が一つの星の中に現れる。加えたのは、乱歩を実際に歩かせて冪を二つの歩幅の決め方で測ったこと、係数が 1 と 0.5 になることを運動論の予言と突き合わせたこと、二つの時計の比が平均自由行程いくつ分かに等しいことを確かめたこと、年数が平均自由行程と歩幅の決め方で動くことを並べたこと、十万年になるための平均自由行程を逆算したことである。 第一に、これが本稿の芯である。二つの時計は次元が違う──外では光の速さ×時間が長さになり、半径 6.957×10 の 8 乗 m を 2.320605410 秒で横切る。中では拡散係数×時間が長さの二乗になる。同じ光の同じ移動が、片方では長さの時計、もう片方では長さの二乗の時計で測られる(第2節・第5節)。 第二に、冪 2 は乱歩を実際に歩かせて出た──半径 10・20・40・80 の球から出るまでの歩数を数えると、歩幅を一定にしたとき冪は 1.956974369、歩幅を指数分布にしたとき 1.907885588 であった。どちらも下から 2 に近づき、二つの当てはめの差(-0.026278000 と 0.026673691)は向きが逆なので、系統的なずれではない(第3節)。 第三に、係数は運動論の予言と合う──歩数を半径の二乗で割った値は、歩幅一定で 0.967130469、指数分布で 0.486542708、比は 1.987760688 であった。拡散係数を平均自由行程と光速の積の 3 分の 1 と取る運動論は、この二つを 1.0 と 0.5 と予言する(第5節)。 第四に、二つの時計の比は平均自由行程いくつ分かである──トムソン散乱だけで平均の密度から出した平均自由行程は 0.020981292886 m で、半径をそれで割ると 3.315810917×10 の 10 乗になる。染み出す時間を横切る時間で割った値は、これとちょうど等しい(第4節)。 第五に、年数のほうは動く──同じ計算で染み出す時間は 2438.299729045 年になるが、歩幅を指数分布と決めれば 1219.149864523 年、平均自由行程を 0.000511586808 m と取れば十万年になる。年数は平均自由行程に反比例し、歩幅の決め方だけで 2 倍変わる(第4節)。 第六に、だから動かない量のほうを芯に置く──動かないのは冪 2 と、比が平均自由行程いくつ分かであることの二つである。分離子は、歩幅を一定と決めるか指数分布と決めるかである(第5節)。 太陽の中の光は長さの二乗の時計で進み、外では長さの時計で進む。外では光速×時間が長さになり、半径を 2.320605410 秒で横切る。中では拡散係数×時間が長さの二乗になり、乱歩を実際に歩かせると冪は 1.956974369 と 1.907885588 で、どちらも下から 2 に近づいた。歩数を半径の二乗で割った係数は 0.967130469 と 0.486542708 で、運動論の 1.0 と 0.5 に合う──二つの時計の比は、平均自由行程いくつ分かという数え上げそのもので、トムソン散乱だけなら 3.315810917×10 の 10 乗である。分離子は、歩幅を一定と決めるか指数分布と決めるかである──それだけで年数は 2438.299729045 年と 1219.149864523 年に分かれる。平均自由行程を 0.000511586808 m と取れば十万年になる。動くのは年数で、動かないのは冪と比である。既刊の中に置けば──論文119 が次元 L の二乗で割り出した第四の時計が、一つの星の中に現れている。論文755 で効いていた平均自由行程との比も、同じ形である。正直に書けば──太陽の光の輸送が拡散であることは古くから知られている。加えたのは、冪と係数を二つの歩幅の決め方で実際に測り、運動論の予言と突き合わせ、年数のほうが選び方で桁ごと動くことを並べたことである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:拡散、乱歩、平均自由行程、次元解析、太陽、光の輸送。