Light Is Gathered by a Gravitational Lens, Yet the Curvature of the Geometry It Travels In Is Negative ── The deflection is the curvature integrated over the region outside the ray, by the Gauss-Bonnet theorem: tracing the ray gives 4.011823809924e−3 and the outside integral 4.000000000000e−3. Integrating inside diverges ── the separator is whether the region lies inside or outside the ray ── [Paper 1044]

Abstract

Gravity bends light and gathers it as a lens does. Yet measure the curvature of the very geometry that light travels in, and it is negative. This paper counts that discrepancy as a difference in the region of integration. No new theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem and no new law is claimed──that by Fermat’s principle a light path in a static field is a geodesic of the optical metric, that this metric has negative Gaussian curvature, that the deflection can be written by the Gauss-Bonnet theorem as the curvature integrated outside the ray, and that it is 4m/b in a weak field are all known (Gibbons and Werner 2008). Strong fields are not treated──the photon sphere and multiple images are not entered; only first order in a weak field. No lens equation is built──image positions, magnification and critical curves are not the subject. Time delay is not entered──the optical metric is used as a geometry of space, and the Shapiro delay is left out. The split of the 4 is not repeated──that it factors as 2 times 2 was counted in Paper 134. The values are examples──m/b from 10 to the minus 3 down to minus 5, and representative values for the Sun. Relation to earlier papers:Paper 134 showed that the 4 in the deflection factors as 2 times 2 and that the second factor is a measured quantity──here the same 4m/b is obtained twice, once by tracing the ray and once by integrating curvature outside it. Paper 485 showed that Michell’s radius was right for the wrong reason and that the Newtonian deflection is exactly half the relativistic one──the 0.875595220 and 1.751190439 arcseconds here are that half and that whole. Paper 487 showed that a stationary point comes in three kinds──Fermat’s principle selects such a point, and this paper looks at the geometry that path lives in. Paper 1036 showed that the radius of the slice of a light sphere is the Doppler factor──that was a way of cutting flat spacetime; this is the geometry of light in a curved one. Paper 1043 showed that the universe has three edges──both are of the type in which the region of integration decides the answer. What is added is obtaining the curvature by finite differences and by closed form and confirming it is negative, obtaining the deflection by the ray and by the curvature integral and matching them, showing with a ratio that the departure vanishes at first order, giving the contribution by distance, and placing the divergent inside integral as a control. First, and this is the core. The geometry of light is negatively curved──in a static gravitational field, light travels as in a medium of refractive index 1+2m/r (m being the mass written as a length), and in that geometry, the optical metric, the Gaussian curvature is -0.060948481913 by finite differences against -0.060948441945 from the closed form at m=0.05 and the point (1, 0.3). It is negative everywhere (Section 2). Second, and still the light bends inward──by the Gauss-Bonnet theorem the deflection is the curvature integrated over the region outside the ray. At m/b=10 to the minus 3, tracing the ray gives 4.011823809924 times 10 to the minus 3 and the outside integral 4.000000000000 times 10 to the minus 3, both within one percent of 4m/b (Section 3). Third, the departure vanishes at first order in m──dividing m by ten divides the departure from 4m/b by 10.032726651. That ratio shows this is a statement about weak fields (Section 3). Fourth, for the Sun it is 1.75 arcseconds──for light grazing the limb, tracing the ray gives 1.751201387 arcseconds against 1.751190439 from 4m/b. The Newtonian estimate is exactly half, 0.875595220 arcseconds (Section 4). Fifth, the curvature contributes mostly nearby, but with a tail──out to five times the closest approach lies 0.705908430 of the whole, out to twenty times 0.922710482, and out to a hundred times 0.984342001 (Section 3). Sixth, the separator is whether the region lies inside or outside the ray──outside, the integral converges without a cutoff and gives 4m/b; inside, it diverges. Lowering the cutoff radius from 0.5 to 0.05 raises the value from 2.141593 to 30.415927 times the outside one (Section 5). Light is gathered by a gravitational lens, yet the curvature of the geometry it travels in is negative. The Gaussian curvature of the optical metric of index 1+2m/r is negative at every point, by finite differences and by closed form alike (−0.060948481913 and −0.060948441945 at m=0.05 and the point (1, 0.3)). The deflection is nonetheless positive, and comes out of integrating that curvature over the region outside the ray: at m/b=10 to the minus 3, tracing the ray gives 4.011823809924e−3 and the outside integral 4.000000000000e−3, both equal to 4m/b, with the departure vanishing at first order in m (a factor 10.032726651 for a tenfold reduction)──at the limb of the Sun this is 1.751201387 arcseconds, exactly twice the Newtonian value. The separator is whether the region lies inside or outside the ray──outside it converges without a cutoff, inside it grows as the cutoff falls. Placed among the earlier papers──Paper 134 split the same 4 into 2 times 2, and Paper 485 showed the Newtonian value to be exactly half. Here the same 4m/b is obtained from the side of the ray and from the side of the curvature. To be honest──this reading is in a paper of 2008. What is added is counting curvature and deflection twice each, and showing the difference the region of integration makes. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: gravitational lensing, optical metric, Gauss-Bonnet theorem, Gaussian curvature, Fermat's principle, bending of light. ----- 重力で光は曲がり、レンズのように集まる。ところが、その光が進む幾何そのものの曲率を測ると、負である。本稿はその食い違いを、積む領域の違いとして数える。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──静的な重力場での光の道がフェルマーの原理で光学計量の測地線になること、その計量のガウス曲率が負であること、曲がりの角がガウス=ボネの定理で道の外側の曲率の積分として書けること、弱い場で 4m/b になることは、いずれも既知である(ギボンズとウェルナー 2008)。強い場を扱わない──光子球や多重像には入らず、弱い場の一次だけを見る。レンズ方程式を作らない──像の位置、増光率、臨界曲線は主題ではない。時間の遅れに入らない──光学計量は空間の幾何として使い、シャピロの遅延は扱わない。曲がりの 4 の内訳を繰り返さない──4 が 2 かける 2 に割れることは論文134 が数えた。値は例である──m/b は 10 の −3 乗から −5 乗、太陽は代表値である。既刊との関係:論文134 は、光の曲がりの 4 が 2 かける 2 に割れ、後半が測定量であることを示した──ここでは同じ 4m/b を、光線を追う道と、道の外側の曲率を積む道の二通りで出す。論文485 は、ミッチェルの半径が当たっていたが理由は違い、ニュートン流の曲がりが一般相対論のちょうど半分になることを示した──本稿の 0.875595220 秒角と 1.751190439 秒角がその半分と全体である。論文487 は、停留点が最小・最大・どこでも同じの三通りあることを示した──フェルマーの原理で光が選ぶのはその停留点であり、本稿はその道が住む幾何を見る。論文1036 は、光の球の切り口の動径がドップラー因子であることを示した──あちらは平らな時空の切り方、こちらは曲がった時空の光の幾何である。論文1043 は、宇宙の果てが三つあることを示した──どちらも「どの領域で積むか」が答えを決める型である。加えたのは、曲率を差分と式の二通りで出して負であることを確かめたこと、曲がりの角を光線と曲率の積分の二通りで出して一致させたこと、ずれが m の一次で消えることを比で示したこと、寄与の距離ごとの内訳を出したこと、内側で積むと発散することを対照に置いたことである。 第一に、これが本稿の芯である。光の幾何は負に曲がっている──静的な重力場の中の光は、屈折率 1+2m/r(m は質量を長さに直した値)の媒質と同じ幾何(光学計量)の中を進む。そのガウス曲率は、m=0.05・点 (1, 0.3) で差分 -0.060948481913・式 -0.060948441945 と一致し、どの点でも負である(第2節)。 第二に、それでも光は内へ曲がる──曲がりの角はガウス=ボネの定理で、光の道の「外側」の領域に曲率を積んだ値になる。 m/b=10 の −3 乗で、光線を追って出した角 4.011823809924×10 の −3 乗と、外側の曲率を積んだ角 4.000000000000×10 の −3 乗が、4m/b と 1 パーセント以内で一致した(第3節)。 第三に、ずれは m の一次で消える──4m/b からのずれは、m を 10 分の 1 にすると 10.032726651 分の 1 になった。弱い場でだけ成り立つ話であることが、この比で見える(第3節)。 第四に、太陽では 1.75 秒角になる──太陽の縁をかすめる光で、光線を追うと 1.751201387 秒角、4m/b では 1.751190439 秒角であった。ニュートン流の見積もりはちょうど半分の 0.875595220 秒角である(第4節)。 第五に、曲率の寄与は近いところに集まるが、尾を引く──最接近の 5 倍の距離までで全体の 0.705908430、20 倍までで 0.922710482、100 倍までで 0.984342001 である(第3節)。 第六に、分離子は、積む領域が道の内側か外側かである──外側で積めば切らずに収束して 4m/b になるが、内側で積むと発散する。切る半径を 0.5 から 0.05 に下げると、値は外側の 2.141593 倍から 30.415927 倍へ増え続けた(第5節)。 重力レンズで光は集まるのに、その光の幾何の曲率は負である。屈折率 1+2m/r の光学計量のガウス曲率は、差分でも式でもどの点でも負であった(m=0.05・点 (1, 0.3) で −0.060948481913 と −0.060948441945)。それでも曲がりの角は正で、ガウス=ボネで道の外側の曲率を積めば出る。 m/b=10 の −3 乗で、光線を追った 4.011823809924e−3 と外側の積分 4.000000000000e−3 が 4m/b と一致し、ずれは m の一次で消える(10 分の 1 にして 10.032726651 分の 1)──太陽の縁では 1.751201387 秒角で、ニュートン流のちょうど二倍である。分離子は、積む領域が道の内側か外側かである──外側なら切らずに収束し、内側なら切る半径とともに増え続ける。既刊の中に置けば──論文134 は同じ 4 を 2 かける 2 に割り、論文485 はニュートン流がちょうど半分になることを示した。ここでは同じ 4m/b を、光線の側と曲率の側の二通りで出した。正直に書けば──この読み方は 2008 年の論文にある。加えたのは、曲率と曲がりを二通りずつ数え、積む領域の違いを対照で見せたことである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:重力レンズ、光学計量、ガウス=ボネの定理、ガウス曲率、フェルマーの原理、光の曲がり。