The Same 19.471221 Degrees Arises from Two Distinct Roots ── the half-angle of a ship's wake, arcsin(1/3)=19.471221 degrees, is a constant containing no speed, while the Mach angle arcsin(1/M) reaches the same value at the single point M=3 ── [Paper 515]

Abstract

When two angles agree, one mechanism is readily assumed to be at work. This paper shows that 19.471221 degrees arises for two separate reasons──one independent of speed, the other taking that value only at M=3. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the Kelvin wake angle and the Mach angle are both standard. No fluid dynamics is built──the wake pattern itself, viscosity, finite depth and hull shape are not the subject; only the dispersion of deep-water gravity waves. Shock waves are excluded──the Mach angle is used as the geometry of sound propagation; shock structure and strength are not entered. Shallow water is excluded──in shallow water the dispersion changes and so does the half-angle; only the deep case is examined. No mechanism is offered for the agreement──it is not claimed that the coincidence at M=3 has a common cause; only that the numbers are the same. Relation to earlier papers: Paper 485 showed that Michell’s radius was right for a different reason──there one expression came from two derivations and broke at the neighbouring quantity; here one number comes from two roots and breaks when the speed is varied. Paper 300 showed that a shared root can be decided──another instance of the criterion that numerical agreement alone establishes nothing. Paper 491 showed that the classical Doppler effect is two formulas──both are cases where what the wave speed depends on splits the answer. Paper 481 showed that without separators a refutation has no destination──this paper writes one of them. What is added is giving the half-angle as 19.471221 degrees, confirming the phase-to-group ratio as 2.000000000 at three wavenumbers, showing the Mach angle moving across four speeds, giving the agreement at M=3 to 0.000x10^0 rad, and placing the separator at constant versus a point of a variable. First, a ship’s wake opens at arcsin(1/3)=19.471221 degrees (Section 2). Second, the expression contains no speed──arcsin(1/3) is a constant (Section 2). Third, its ground is that the phase speed is exactly 2 times the group speed, confirmed at three wavenumbers (Section 2). Fourth, the Mach angle depends on speed, giving 41.810315 degrees at M=1.5 and 11.536959 at M=5 (Section 3). Fifth, this is the core of the paper. At M=3 the Mach angle is 19.471220634 degrees, differing from the wake’s half-angle by 0.000x10^0 rad (Section 3). Sixth, the separator is whether the angle is a constant or one point of a variable (Section 4). When two angles agree, one mechanism is readily assumed to be at work──the same number, so presumably the same cause. But one is a constant and the other a variable: arcsin(1/3) and arcsin(1/M) agree only at M=3. The wake angle contains no speed──it is arcsin(1/3)=0.339836909 rad, or 19.471221 degrees, agreeing with the familiar 19.47. No speed enters, so a rowing boat and a large ship open the same wedge. The ground is the dispersion: for deep-water gravity waves the phase speed is exactly 2 times the group speed, giving 2.000000000 at k=0.5, 2.0 and 10.0 alike. That 2 gives sintheta_K=0.333333333333333, matching 1/3, and follows from omega=sqrt(gk) alone. So the disappearance of the speed is no accident: the speed decides which wavenumbers remain in the wake, not how wide it opens. The Mach angle depends on speed──it is 41.810315 degrees at M=1.5, 30.000000 at 2.0, 19.471221 at 3.0 and 11.536959 at 5.0, sharper the faster it goes. At M=3 it is exactly the wake’s half-angle: 19.471220634 against 19.471220634 degrees, differing by 0.000x10^0 rad, because it is the same expression arcsin(1/3). Yet only one of them moves──the Mach angle by 0.1838 rad, the wake’s not at all──so the agreement occurs at the single point M=3. The physics upholding them differs: sound is non-dispersive and water gravity waves are dispersive. And the 1/3 comes from different places: a ratio of speeds for Mach, and the group-to-phase ratio of 2 for the wake. One thing separates them──is the angle a constant, or one point of a variable. A constant does not move with speed, and the wake gives the same angle at every speed. One point of a variable departs when moved, and stepping away from M=3 changes the value at once. The two are distinct roots by the criterion of Paper 300: both are arcsin(1/3)=19.471221 degrees, but one is a property of dispersive waves and the other the geometry of non-dispersive ones. Varying the speed is the test, and one point alone cannot tell them apart. It has the shape of Paper 485: there one expression from two derivations, broken by light bending; here one number from two roots, broken by varying the speed. This is one of the separators of Paper 481: when “the same angle came out, so it is the same phenomenon” is questioned, whether the measurement was wrong or the agreement held at one point only sends the repair elsewhere. To be honest──no mechanism is shown for the agreement. They agree at M=3 because both arguments of the arcsin become 1/3, and no common reason has been found for why the water side selects 1/3 and why M=3 meets it on the sound side. What is shown is that the agreement occurs at one point only. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Kelvin wake angle, Mach angle, ship wake, shock wave, fluid dynamics. ----- 角度が一致すれば、同じ機構が働いていると思われがちである。本稿が示すのは、19.471221 度が二つの別々の理由から出ることである──片方は速度に依らず、片方は M=3 でだけその値を取る。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──ケルビンの波形角も、マッハ角も標準的である。流体力学を作らない──航跡の波形そのもの、粘性、有限深度、船の形は主題ではない。深い水の重力波の分散だけを使う。衝撃波を扱わない──マッハ角は音の伝播から出る幾何として使い、衝撃波の構造や強さには入らない。浅い水を扱わない──浅い水では分散が変わり、半角も変わる。深い水の場合だけを見る。一致に機構を与えない──M=3 で一致することに、共通の理由があるとは主張しない。数が同じであることを示すだけである。既刊との関係:論文485 はミッチェルの半径が当たっていた理由が違うと示した──あちらは同じ式が二つの導出から出て、隣の量で切れた。こちらは同じ数が二つの根から出て、速度を動かすと切れる。論文300 は同根か別根かが判定できると示した──数値の一致だけでは同根と見なさないという基準の、もう一つの実例である。論文491 は古典のドップラーが二つの式だと示した──どちらも、波の速度が何に依るかで答が割れる場合である。論文481 は分離子が無いと反証の行き先が決まらないと示した──本稿はその分離子を一本書く。加えたのは、半角を 19.471221 度と出したこと、位相速度と群速度の比を三つの波数で 2.000000000 と確かめたこと、マッハ角が速度で動くことを四つの値で示したこと、M=3 で差 0.000x10^0 rad の一致を出したこと、分離子を定数と変数の一点に置いたことである。 第一に、船の波の半角は arcsin(1/3)=19.471221 度である(第2節)。 第二に、その式に速度が入っていない──arcsin(1/3) は定数である(第2節)。 第三に、根拠は位相速度が群速度のちょうど 2 倍であることで、三つの波数で確かめた(第2節)。 第四に、マッハ角は速度に依り、M=1.5 で 41.810315 度、M=5 で 11.536959 度である(第3節)。 第五に、これが本稿の芯である。 M=3 のマッハ角が 19.471220634 度で、船の波の半角と差 0.000x10^0 rad で一致する(第3節)。 第六に、分離子は「定数か、変数の一点か」である(第4節)。 角度が一致すれば、同じ機構が働いていると思われがちである──同じ数なのだから同じ理由から出たのだろう、という像である。だが片方は定数で、片方は変数である。 arcsin(1/3) と arcsin(1/M) が一致するのは M=3 のときだけである。船の波の角度に、速度が入っていない──半角は arcsin(1/3)=0.339836909 rad、すなわち 19.471221 度で、よく引かれる 19.47 度と一致する。式に速度が入っておらず、手漕ぎのボートでも大型船でも同じ角度で開く。根拠は分散にあり、深い水の重力波では位相速度が群速度のちょうど 2 倍で、k=0.5、2.0、10.0 のいずれでも 2.000000000 である。その 2 から sintheta_K=0.333333333333333 が出て、1/3 と一致する。分散関係が omega=sqrt(gk) という形をしていることだけから出る。だから速度が消えるのは偶然ではない。速度は「どの波数が航跡に残るか」を決めるが、開き方は決めない。マッハ角は速度に依る──M=1.5 で 41.810315 度、2.0 で 30.000000 度、3.0 で 19.471221 度、5.0 で 11.536959 度と、速いほど鋭くなる。そして M=3 でちょうど船の波の半角になる。19.471220634 度 対 19.471220634 度、差は 0.000x10^0 rad で、丸めの範囲ですらない。 arcsin(1/3) という同じ式だからである。それでも片方だけが速度に依る。マッハ角は 0.1838 rad 動き、船の波の半角は動かない。支えている物理が違い、音は分散しない波、水面の重力波は分散する波で、前者では信号が一つの速さで進み、後者では波数ごとに速さが違う。1/3 の出どころも違う。マッハでは 1/M という速度の比、船の波では群速度と位相速度の比 2 から出る 1/3 である。分けているものは一つ──角度が定数か、変数の一点か。定数なら速度を動かしても値が変わらず、同じ角度がどの速さでも出る。変数の一点なら動かせば離れ、M を 3 から外すとたちまち別の値になる。二つは論文300 の基準で別根であり、どちらも arcsin(1/3)=19.471221 度だが、一方は分散する波の性質、一方は分散しない波の幾何で、支えている物理に共通部分が無い。速度を動かすことが判定の操作になっており、一点だけを見ていては見分けられない。論文485 と同じ形で、あちらは同じ式が二つの導出から出て光の曲がりで切れた。こちらは同じ数が二つの根から出て、速度を動かすと切れる。これは論文481 でいう分離子の一本で、「同じ角度が出たのだから同じ現象だ」という主張が問われたとき、測り間違えたのか一点でだけ一致していたのかで直す先が違う。正直に言えば──一致に機構があるとは示していない。 M=3 で合うのは arcsin の中身がどちらも 1/3 になるからで、なぜ水の波の側が 1/3 を選び、音の側で M=3 がそれに当たるのかに共通の理由を見つけてはいない。示したのは、一致が一点だけで起きるということである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:ケルビンの波形角、マッハ角、船の航跡、衝撃波、流体力学。