Longitudinal and Transverse Belong to the Field; x and y Belong to the Coordinates ── rotating the coordinates leaves the longitudinal share at 0.647222222222 without moving a digit, while the x share moves with every rotation ── both are called "splitting the field in two", and only one of them belongs to the field ── [Paper 517]

Abstract

There are many ways to split a vector field in two. What this paper shows is that which of them belongs to the field and which to the coordinates can be measured by rotating the coordinates. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the Helmholtz decomposition and its rotational invariance are standard. Uniqueness is not claimed──the decomposition becomes unique once boundary conditions are fixed, and this paper works only in a periodic wavenumber space. Domain effects are not entered──on a bounded domain a harmonic part appears and the split becomes threefold. This paper does not go there. Three dimensions are not treated──only three modes in two dimensions, and how the transverse degrees of freedom grow with dimension is not the subject. No physical meaning is assigned──correspondences such as longitudinal for sound and transverse for light are case by case; this paper looks only at the numbers. Transformations other than rotation are not examined──what survives stretching or shear is not treated. Relation to earlier papers: Paper 347 showed that “cannot be constructed” is a property of the tools, not of the figure──this paper runs the other way, writing one case in which a property belongs to the object and not to the tools. Paper 516 showed that freedom from units had merely handed the choice to the covariance──there the choice moved, here it genuinely vanishes; placing the two side by side shows the boundary. Paper 130 showed that Helmholtz’s three theorems are three claims at different prices──the decomposition here is a different Helmholtz bearing the same name, kept apart by number so the two are not confused. Paper 299 showed that a drum has no pitch because of its boundary──the restriction to the periodic case here is precisely to avoid stepping on that. Paper 300 showed that whether two things share a root is decidable──the single phrase “splitting the field in two” names two things with distinct roots. Paper 481 showed that without a separator the blame for a refutation has no address──this paper writes one such separator. What is added is applying the two splits to the same field and reporting the shares, showing by numbers that a rotation moves only one of them, summing the transverse part independently rather than subtracting it from the longitudinal one, checking the three properties of the decomposition mode by mode, and placing the separator at the operation of rotating the coordinates. First, the longitudinal share is 0.647222222222 and the transverse share 0.352777777778, and summing the two independently gives 1.000000000000 (Section 2). Second, splitting the same field into x and y components gives 0.384259259259──both may be called “a split of the field in two” (Section 2). Third, this is the core of the paper. Rotating the coordinates by 30, 45 and 90 degrees leaves the longitudinal share at 0.647222222222 while the x share moves to 0.558401558841, 0.634259259259 and 0.615740740741 (Section 3). Fourth, without a rotation the x share also stays at 0.384259259259──the boundary (Section 3). Fifth, the three properties of the decomposition (the parts sum back, the parallel part has zero cross product, the perpendicular part has zero dot product) hold to the digit 0 for all three modes (Section 2). Sixth, the separator is the operation of rotating the coordinates──what one varies decides where a split lives (Section 4). There are many ways to split a vector field in two, and all of them have the same form: the parts sum back. Sameness of form does not mean sameness of address──for a field of three superposed waves the longitudinal share is 0.647222222222 and the transverse share 0.352777777778, and summing the transverse part independently rather than subtracting it gives 1.000000000000. Splitting the same field into x and y gives 0.384259259259, and to this point the two splits differ in nothing. Each returns one number, and for each the remainder sums to one. A rotation moves only one of them──through 30, 45 and 90 degrees the longitudinal share holds at 0.647222222222 in all twelve digits, while the x share runs to 0.558401558841, 0.634259259259 and 0.615740740741, a span of 0.25. Nothing about the field was changed; only the naming of the coordinates. Without a rotation the x share also stays at 0.384259259259, so the check is not saying that it always moves. A quarter turn does not restore the original because the x share becomes the former y share, the two summing to 1.000000000000. The reason sits in the expressions: the longitudinal share is built from a dot product, and a dot product survives rotation, whereas the x share carries a coordinate’s name. One operation parts the two──if the value moves under rotation it belongs to the coordinates, and if it does not, to the field. Scaling the field by a constant moves neither, so the separator is the rotation and not the scaling. By the criterion of Paper 300 the two splits share a form and not an origin. Set beside Paper 516, three cases appear: the choice vanishes, the choice moves to the covariance, the choice simply remains. The direction is opposite to Paper 347, where what was taken for a property of the figure belonged to the tools; here what might be taken for an artefact of coordinates belongs to the field. In the language of Paper 481, doubting the invariance can fall on the definition of the decomposition or on the implementation of the rotation. To be honest──only a periodic wavenumber space was treated. On a bounded domain a harmonic part appears, the split becomes threefold, and it is not even unique until boundary conditions are fixed. As Paper 299 showed, a boundary tells as much as an equation. What this paper can say reaches as far as what failed to move when the boundary was set aside and only the rotation was varied. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Helmholtz decomposition, vector field, rotational invariance, longitudinal and transverse parts, coordinate system. ----- ベクトル場を二つに分ける操作は、いくつもある。本稿が示すのは、そのうちどれが場に属し、どれが座標に属するかは、座標を回して測れば分かることである。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──ヘルムホルツ分解も、その回転不変性も標準的である。一意性を主張しない──分解が一意になるのは境界条件を指定したときであり、本稿は周期的な波数空間だけを扱う。領域の効果に入らない──有界領域では調和成分が現れ、分解は三つになる。本稿はそこへ行かない。三次元を扱わない──二次元の三つのモードだけで、次元が上がったときの横成分の自由度の増え方は主題ではない。物理的な意味を割り当てない──縦が音波で横が電磁波、といった対応は場合ごとの話であって、本稿は割合の数だけを見る。回転以外の変換を見ない──伸縮やせん断のもとで何が保たれるかは扱わない。既刊との関係:論文347 は「作図できない」が図形ではなく道具の性質だと示した──本稿は逆向きで、性質が道具ではなく対象に属している場合を一つ書く。論文516 は単位からの自由が共分散への依存に移っただけだと示した──そこでは選択が移り、ここでは選択が本当に消える。二つを並べると境目が見える。論文130 はヘルムホルツの三定理が値段の違う三つの言明だと示した──本稿の分解は同じ名前を持つ別のヘルムホルツであり、混同しないために番号で分けておく。論文299 は太鼓に音程が無いのが境界のせいだと示した──本稿が境界を切って周期的な場合に限るのは、そこを踏まないためである。論文300 は同根か別根かが判定できると示した──「場を二つに分ける」という一語が、別根の二つを指している。論文481 は分離子が無いと反証の行き先が決まらないと示した──本稿はその分離子を一本書く。加えたのは、縦横と x y の二つの分け方を同じ場に当てて割合を出したこと、座標を三通りに回して片方だけが動くことを数で示したこと、横成分を縦から引かずに独立に足し上げて 1 になることを確かめたこと、分解の三つの性質をモードごとに検算したこと、分離子を「座標を回す」という操作に置いたことである。 第一に、縦成分の割合は 0.647222222222、横成分は 0.352777777778、両者を独立に足すと 1.000000000000 である(第2節)。 第二に、同じ場を x 成分と y 成分に分けると 0.384259259259 になる──どちらも「場を二つに割った」と言える(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。座標を 30 度、45 度、90 度と回すと、縦の割合は 0.647222222222 のまま動かないが、x の割合は 0.558401558841、0.634259259259、0.615740740741 と動く(第3節)。 第四に、回さなければ x の割合も 0.384259259259 のまま動かない──境目である(第3節)。 第五に、分解の三つの性質(足すと戻る、平行成分の外積が 0、垂直成分の内積が 0)は三つのモードすべてで 0 の桁で成り立つ(第2節)。 第六に、分離子は「座標を回す」という操作である──何を動かすと別物になるかが、そのまま分け方の住所を決める(第4節)。 ベクトル場を二つに分ける操作はいくつもあり、どれも「足せば元に戻る」という同じ形をしている。形が同じでも、属している場所は違う──三つの波を重ねた場で、縦成分の割合は 0.647222222222、横成分は 0.352777777778 であり、横を縦から引かずに独立に足し上げても 1.000000000000 になる。同じ場を x 成分と y 成分に分ければ 0.384259259259 で、ここまでは二つの分け方に差が無い。どちらも一つの数を返し、どちらも残りを足せば 1 になる。座標を回すと片方だけが動く──30 度、45 度、90 度と回しても縦の割合は 0.647222222222 のまま 12 桁とも動かないが、x の割合は 0.558401558841、0.634259259259、0.615740740741 と動き、幅は 0.25 に達する。場は何も変えていない。変えたのは座標の名づけだけである。回さなければ x の割合も 0.384259259259 のまま動かないので、検査が「いつも動く」と言っているのではない。90 度で元に戻らないのは、x の割合が元の y の割合になるからで、二つを足せば 1.000000000000 である。理由は式にある。縦の割合は内積だけでできていて、内積は回転で保たれる。 x の割合には第一成分という座標の名前が入っている。一つの操作が二つを分ける──回して値が動けば座標の性質、動かなければ場の性質である。場全体を定数倍する操作ではどちらも動かないので、分離子になるのは回転のほうである。論文300 の判定でいえば、二つの分解は同じ形を持ちながら別根である。論文516 と並べると三通りが見える。選択が消える場合、選択が共分散へ移る場合、選択がそのまま残る場合。論文347 とは向きが逆で、あちらは図形の性質と思われたものが道具の性質だったが、こちらは座標の産物と思われかねないものが場に属していた。論文481 の言い方でいえば、「この分解は座標に依らない」を疑うとき、分解の定義を疑うか回転の実装を疑うかで行き先が変わる。正直に言えば──扱ったのは周期的な波数空間だけである。有界な領域では調和成分が現れて分解は三つになり、境界条件を決めるまで一意にもならない。論文299 が示したとおり、境界は方程式と同じだけ効く。本稿が言えるのは、境界を切って回転だけを見たときに何が動かなかったか、そこまでである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:ヘルムホルツ分解、ベクトル場、回転不変性、縦成分と横成分、座標系。