Zeno's Four Paradoxes Do Not Share a Single Resolution ── the dichotomy falls to a convergent series, Achilles to an infinite sum, the arrow to the limit of a difference quotient and the stadium to a discrete space ── four paradoxes, four different pieces of mathematics ── [Paper 519]

Abstract

Zeno’s paradoxes are often said, all together, to have been settled by the calculus. What this paper shows is that the four fall to four different tools, and that one of them does not fall to the calculus at all. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the sum of a geometric series, the definition of the derivative and relative motion on a discrete space are all standard. Zeno’s text is not interpreted──it survives only through Aristotle and Simplicius, and this paper treats only the four forms as handed down. What Zeno meant is not the subject. No philosophical verdict is reached──whether infinite division is possible is not entered; only which tool bites, mathematically. Nonstandard analysis is not entered──formulations treating infinitesimals as objects are not the subject. No claim is made that space is discrete──it is not said that space is in fact a lattice, only what follows if one assumes so. Variants of the fourth paradox are not weighed──the stadium comes down in several forms, and only the reading as relative motion is treated. Relation to earlier papers: Paper 213 showed that “coming back” has distinct roots──this paper shows the same of “resolved”, putting one observation under a different verb. Paper 300 showed that whether two things share a root is decidable──the four paradoxes are judged distinct by the differences in how each is brought back. Paper 517 separated two splits by the single operation of rotating the coordinates──the separator here is likewise an operation, and four of them are needed. Paper 518 showed that a disagreement between priors expires──there one expression’s span narrowed; here four expressions never merge. Paper 481 showed that without a separator the blame for a refutation has no address──doubting “Zeno was resolved” lands in a different place depending on which of the four is meant. What is added is giving each of the four its own numbers, matching the infinite sum for Achilles against a closed form, measuring how a difference quotient worsens when h is made too small, placing two motions that share a position and differ in velocity, and showing from the discrete side that only the stadium resists the calculus. First, the dichotomy falls to the convergence of a geometric series──at fifty terms the sum is 0.999999999999999, short of one by 8.882x10^-16 (Section 2). Second, Achilles falls to an infinite sum agreeing with a closed form──twenty stages give 11.111111111111 seconds, within 1.776x10^-15 of d/(v_1-v_2) (Section 2). Third, the arrow falls to the limit of a difference quotient──it converges to 20.000000000000, yet at h=10^-7 it worsens to 19.999999985032 (Section 3). Fourth, this is the core of the paper. The stadium does not fall to the calculus──on a lattice the motion is 2 cells relative to the opposing row and 1 relative to the stationary one, so half a tick demands 0.5 of a cell, which the lattice cannot write (Section 3). Fifth, the core of the arrow is that a position at one instant does not fix a velocity──two motions passing through 20.000000 at t=2 have velocities 20.000000 and 3.000000 (Section 3). Sixth, the separator is what one must assume to bring the paradox back──that the four are brought back in different ways is the evidence that they are four (Section 4). Zeno’s four paradoxes are commonly gathered under the claim that the calculus settled them. A series settles two──the dichotomy falls to the convergence of a geometric series, whose fifty-term sum is 0.999999999999999, short of one by 8.882x10^-16. At ten terms the gap is still 9.766x10^-4, so the check responds to the number of terms. Achilles falls because the infinitely many times taken to reach where the tortoise was sum to within 1.776x10^-15 of the closed form d/(v_1-v_2)=11.111111111111 seconds. The same answer was checked in distance, 111.111111111 against 111.111111111. Yet sixty stages do no better than twenty: the floating-point step is reached at twenty, and mathematical convergence and computational convergence stop in different places. The third needs another tool──the arrow falls to the limit of a difference quotient, converging to 20.000000000000. Making h too small makes matters worse: at h=10^-7 the value is 19.999999985032, the truncation error falling while cancellation grows, since a limit is an operation in mathematics and not a procedure in arithmetic. At h=0 both numerator and denominator vanish and there is no value. Two motions through the same position 20.000000 at t=2 carry velocities 20.000000 and 3.000000: Zeno is right that at a single instant nothing moves, and the error lies in the step from there to the absence of motion. The fourth does not fall to the calculus──on a lattice, one tick carries a row 1 cell relative to the stationary row and 2 relative to the row coming the other way. At half a tick the opposing figure is 1.0 cell and remains an integer, while the stationary one demands 0.5 of a cell, which cannot stand with a cell being the smallest unit. Make the space continuous and 0.5 can be written; what settles this paradox is neither series nor derivative but the continuity of space. Series and derivatives are both written over a continuous space, and that premise is what the stadium questions. The separator is the route back──let the series diverge and two return; refuse limits and the third returns; take space to be discrete and the fourth returns. By the criterion of Paper 300 they gather under “a difficulty about the infinite” while what one varies differs. The claim is not that all four differ, but that they part into two, one and one. Paper 213 found distinct roots under the verb “to come back”; here they sit under the verb “to resolve”. Opposite Paper 518, where a disagreement narrowed as 1/(n+2), these four never merge. In the language of Paper 481, doubting “Zeno was resolved” lands on the convergence of the series, the existence of the limit, or the continuity of space. To be honest──what Zeno meant has not been said. The text does not survive, and only the transmission through Aristotle and Simplicius is at hand. The stadium comes down in several forms and only the reading as relative motion was treated. Nor is it claimed that space is in fact a lattice. What can be said reaches as far as: against the four transmitted forms, the tools that bite come apart into four. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Zeno's paradoxes, Achilles and the tortoise, geometric series, philosophy of motion, discrete space. ----- 「ゼノンの逆理は微積分で解決した」と一括りに言われることがある。本稿が示すのは、四つの逆理が四つの別の道具に落ち、そのうち一つは微積分では落ちないことである。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──等比級数の和、微分の定義、離散空間での相対運動はいずれも標準的である。ゼノンの原文を解釈しない──アリストテレスとシンプリキオスを通してしか伝わっておらず、本稿は伝承された四つの形だけを扱う。ゼノンが何を意図したかは主題ではない。哲学的な決着をつけない──無限分割が可能かという問いには入らない。数学的にどの道具が効くかだけを見る。超準解析に入らない──無限小を実体として扱う定式化は主題ではない。物理の離散性を主張しない──空間が実際に格子であるとは言わない。格子だと仮定すると何が起きるかを計算するだけである。第四の逆理の伝承の異同に立ち入らない──競技場の逆理は伝承の形が複数あり、本稿は相対運動として読む形だけを扱う。既刊との関係:論文213 は「戻ってくる」に別根があると示した──本稿は「解決した」に別根があると示す。同じ形の指摘を、動詞を変えて置く。論文300 は同根か別根かが判定できると示した──四つの逆理が別根であることを、戻し方の違いで判定する。論文517 は座標を回すという一つの操作で二つの分け方を分けた──本稿の分離子も操作であり、四つに別々の操作が付く。論文518 は事前分布の食い違いに期限があると示した──そこでは一つの式の幅が縮んだ。ここでは四つの式が最後まで合流しない。論文481 は分離子が無いと反証の行き先が決まらないと示した──「ゼノンは解決した」を疑うとき、四つのどれを疑うかで行き先が変わる。加えたのは、四つの逆理に別々の数を与えたこと、アキレスの無限和を閉じた式と突き合わせたこと、差分商が h を小さくしすぎるとかえって悪くなることを測ったこと、一点の位置が同じで速度が違う二つの運動を置いたこと、競技場だけが微積分で落ちないことを離散の側から示したことである。 第一に、二分法は等比級数の収束で落ちる──50 項で 0.999999999999999、1 との差は 8.882x10^-16 である(第2節)。 第二に、アキレスは無限和が閉じた式に一致することで落ちる──20 段まで足すと 11.111111111111 秒で、d/(v_1-v_2) と 1.776x10^-15 の差しかない(第2節)。 第三に、飛ぶ矢は差分商の極限で落ちる──20.000000000000 に収束するが、h=10^-7 では 19.999999985032 と、かえって悪くなる(第3節)。 第四に、これが本稿の芯である。競技場は微積分では落ちない──空間を格子にすると、相手の列に対する移動は 2 格子、静止列に対しては 1 格子で、半分の時刻に静止列は 0.5 格子という書けない値を要求する(第3節)。 第五に、飛ぶ矢の芯は「一点の位置は速度を決めない」ことである──同じ t=2 で位置 20.000000 を通る二つの運動が、速度 20.000000 と 3.000000 を持つ(第3節)。 第六に、分離子は「何を仮定すると逆理が戻るか」である──四つで戻し方が違うことが、四つが別であることの証拠である(第4節)。 ゼノンの四つの逆理は、しばしば「微積分で解決した」と一括りにされる。級数が落とすのは二つである──二分法は等比級数の収束で落ち、50 項で 0.999999999999999、1 との差は 8.882x10^-16 である。10 項ではまだ 9.766x10^-4 離れているので、検査は項数に反応している。アキレスは、亀のいた場所へ着く時刻を無限に足した和が、閉じた式 d/(v_1-v_2)=11.111111111111 秒に 1.776x10^-15 の差で一致することで落ちる。距離の側からも、111.111111111 対 111.111111111 で突き合わせた。ただし 20 段と 60 段で差が変わらない。20 段で浮動小数の刻みに達しており、数学の収束と計算の収束は別の場所で止まる。三つ目には別の道具が要る──飛ぶ矢は差分商の極限で落ち、20.000000000000 に収束する。 h を小さくしすぎるとかえって悪くなり、h=10^-7 では 19.999999985032 になる。打ち切りの誤差は減るが引き算の桁落ちが増えるからで、極限は数学の操作であって計算の手続きではない。 h=0 では分子も分母も 0 になって値を持たない。同じ t=2 で位置 20.000000 を通る二つの運動が、速度 20.000000 と 3.000000 を持つ。ゼノンの「一点では静止している」は正しく、誤りはそこから運動が無いと結論する段にある。四つ目は微積分では落ちない──空間を格子とすると、一刻みで静止列に対して 1 格子、逆向きの相手に対して 2 格子動く。半分の時刻では相手側が 1.0 格子で整数のまま、静止列に対しては 0.5 格子という、格子が最小単位だという仮定と両立しない値を要求する。連続にすれば 0.5 は書ける。この逆理を落とすのは級数でも微分でもなく、空間を連続と置くことである。級数も微分も連続な空間の上で書かれており、競技場はその前提そのものを問うている。分離子は戻し方である──級数が発散すれば二つが戻り、極限を認めなければ三つ目が戻り、空間を離散と置けば四つ目が戻る。論文300 の判定でいえば、「無限に関する困難」という一語に括られながら、動かすものが違う。別根の主張は「四つとも別」ではなく、「二つと一つと一つに分かれる」である。論文213 が「戻ってくる」という動詞に別根を見たのと同じ形で、ここでは「解決した」という動詞に別根がある。論文518 とは対照で、あちらでは食い違いが 1/(n+2) で縮んだが、こちらでは最後まで合流しない。論文481 の言い方でいえば、「ゼノンは解決した」を疑う行き先は、級数の収束・極限の存在・空間の連続性の三つに分かれる。正直に言えば──ゼノンが何を意図したかは言っていない。原文は残らず、アリストテレスとシンプリキオスを通した伝承しか手元にない。競技場の逆理は伝承の形が複数あり、本稿は相対運動として読む形だけを扱った。空間が実際に格子だとも言っていない。言えるのは、伝承された四つの形に対して効く道具が四つに分かれる、そこまでである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:ゼノンの逆理、アキレスと亀、等比級数、運動の哲学、離散空間。