How Many Frequencies Can Be Nulled Is Fixed by the Number of Coefficients ── five coefficients null two frequencies, a third raises the count to 7, and truncating back to five leaves none of the three at zero ── [Paper 520]

Abstract

How many demands of the form “null this frequency” can be met? What this paper shows is that the ceiling is set by the number of coefficients, and that falling short does not cost one demand but all of them. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the fundamental theorem of algebra and the placing of zeros in a finite impulse response filter are standard. No filter is designed──passband flatness, transition width and group delay are not entered; only where zeros can be placed. No optimality is claimed──there are other ways to shorten a filter, such as applying a window, and the naive truncation used here is not put forward as the best. No extension to infinite impulse responses──a filter with poles requires a different count. Implementation precision is not treated──how far the zeros move when coefficients are held in finite word length is not the subject. Approximate attenuation is not called a zero──a zero here means vanishing at the order of 10^-15, not a drop of twenty decibels. Relation to earlier papers: Paper 347 showed that “cannot be constructed” is a property of the tools, not of the figure──“cannot be nulled” is likewise a property of the tools, and the tool is the number of coefficients. Paper 128 showed that the sum of the indices is not the number of zeros──there a count failed to serve as a certificate; here the count of roots with multiplicity is exactly the degree and serves as one. The same act of counting works in one place and not the other. Paper 519 showed that four paradoxes fall to four different tools──the fourth demand here does not fall unless the tools are increased. Paper 300 showed that whether two things share a root is decidable──“cannot be nulled” has distinct roots: a bad set of frequencies, or too few coefficients. Paper 481 showed that without a separator the blame for a refutation has no address──this paper places that separator at the number of coefficients. What is added is building the coefficients from prescribed zeros and confirming the responses at the order of 10^-16, placing a frequency that was not asked for as a control, counting that one further zero costs two coefficients, measuring that truncation destroys all three, and placing the separator at the number of coefficients. First, placing zeros at two frequencies gives 5 coefficients, with responses 2.217x10^-16 and 3.608x10^-16 (Section 2). Second, frequencies not asked for are not nulled──at w=1.35 the response is 1.036220, so the check is not saying that everything vanishes (Section 2). Third, adding one more zero raises the count to 7──a real frequency needs a conjugate pair, so coefficients come 2 at a time (Section 3). Fourth, this is the core of the paper. Truncating back to 5 coefficients gives responses 1.811720, 1.144454 and 0.527118: none of the three is a zero any more (Section 3). Fifth, before the truncation all three stood below 1.335x10^-15──the boundary (Section 3). Sixth, the separator is the number of coefficients──changing which frequencies are chosen leaves the ceiling where it is; only changing the count moves it (Section 4). How many demands of the form “null this frequency” can be met? The ceiling belongs to the tool──zeros at w=0.8 and w=1.9 give 5 coefficients with responses 2.217x10^-16 and 3.608x10^-16, vanishing at the order of 10^-16. The coefficients 1.000000, -0.746834, 1.099048, -0.746834, 1.000000 come out symmetric, since real coefficients place roots in conjugate pairs. At the unasked w=1.35 a response of 1.036220 remains, so the check is not saying that everything vanishes. Four zeros in conjugate pairs, five coefficients, degree four: the number of roots is exactly the degree, and the fundamental theorem of algebra is doing the bookkeeping. Past the ceiling it is not one demand that fails but all──adding a zero at w=2.6 raises the count to 7, since each real frequency needs a conjugate pair and coefficients arrive two at a time. Truncating back to 5 gives 1.811720, 1.144454 and 0.527118, the smallest still 0.527118, so none of the three remains a zero. Before running this I expected two to survive and one to break; that expectation was wrong. Before the truncation the largest was 1.335x10^-15, so what broke them was the truncation and not a bad third frequency. The reason shows in the roots: dropping coefficients lowers the degree and the roots all move together, so roots do not correspond one-to-one with coefficients and the operation “delete one” does not exist. Hence no compromise buys a near answer; choosing two demands afresh and rebuilding with five coefficients works, but that is a redesign, not a truncation. The separator is a count──changing which frequencies are chosen leaves the ceiling untouched, while two with five coefficients and three with seven show that only the count moves it. By the criterion of Paper 300, “cannot be nulled” has distinct roots: a bad set of frequencies is cured by choosing again, too few coefficients is not. The shape is that of Paper 347, where “cannot be constructed” belonged to the tools and not the figure; here it belongs to the number of coefficients and not the frequency. Against Paper 128 the counting runs the other way: there the sum of the indices gave no certificate, here the count of roots with multiplicity is the certificate. Beside Paper 519, where four paradoxes needed four tools, a fourth demand here needs a further tool. To be honest──only exact zeros were treated. In practice nothing needs to reach 10^-16; small enough is enough. There are other ways to shorten a filter, such as applying a window, and the naive truncation used here is not put forward as the best. Neither the count for a filter with poles nor the movement of zeros under finite word length was treated. What can be said reaches as far as: the number of exact zeros has a ceiling, and that ceiling is set by the number of coefficients. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: FIR filter, zeros, fundamental theorem of algebra, frequency nulling, digital signal processing. ----- 「この周波数を消したい」という要求は、いくつまでなら叶うのか。本稿が示すのは、その上限が係数の個数から決まり、足りなければ一つだけ諦めるのではなく全部が壊れることである。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──代数学の基本定理も、有限インパルス応答フィルタの零点配置も標準的である。フィルタを設計しない──通過域の平坦さ、遷移幅、群遅延といった設計上の要求には入らない。零をどこに置けるかだけを見る。最適性を主張しない──切り詰め方には窓関数を掛けるなど別の方法があり、本稿の素朴な切り詰めが最良だとは言わない。無限インパルス応答に広げない──極を持つ場合には別の勘定が要る。実装の精度を扱わない──係数を有限語長で表したときに零がどれだけ動くかは主題ではない。近似的な減衰を零と呼ばない──本稿の零は 10^-15 の桁で消えることを指し、20 デシベル落ちたことを指さない。既刊との関係:論文347 は「作図できない」が図形ではなく道具の性質だと示した──本稿の「消せない」も道具の性質であり、道具は係数の個数である。論文128 は指数の総和が零点の個数ではないと示した──あちらでは数え上げが証書にならなかった。こちらでは重複度込みの数え上げがそのまま証書になる。同じ「数える」でも効く場合と効かない場合がある。論文519 は四つの逆理が四つの別の道具に落ちると示した──本稿の四つ目の要求は、道具を増やさない限り落ちない。論文300 は同根か別根かが判定できると示した──「消せない」には別根がある。周波数が悪いのか、係数が足りないのか。論文481 は分離子が無いと反証の行き先が決まらないと示した──本稿はその分離子を係数の個数に置く。加えたのは、零を指定して係数を組み立て、応答を 10^-16 の桁で確かめたこと、指定していない周波数で消えないことを対照に置いたこと、零を一つ足すと係数が 2 個増えることを数えたこと、切り詰めたときに三つとも壊れることを測ったこと、分離子を係数の個数に置いたことである。 第一に、二つの周波数に零を置くと係数は 5 個になり、応答は 2.217x10^-16 と 3.608x10^-16 である(第2節)。 第二に、指定していない周波数では消えない──w=1.35 で 1.036220 であり、検査は「どこでも消える」と言っているのではない(第2節)。 第三に、零を一つ足すと係数は 7 個に増える──実の周波数一つにつき共役の対が要るので、増えるのは 2 個ずつである(第3節)。 第四に、これが本稿の芯である。係数を 5 個へ切り詰めると、応答は 1.811720、1.144454、0.527118 となり、三つとも零でなくなる(第3節)。 第五に、切り詰める前は三つとも 1.335x10^-15 より小さかった──境目である(第3節)。 第六に、分離子は係数の個数である──どの周波数を選ぶかを変えても上限は動かず、個数を変えたときだけ動く(第4節)。 「この周波数を消したい」という要求は、いくつまでなら叶うのか。上限は道具の側にある──w=0.8 と w=1.9 に零を置くと係数は 5 個になり、応答は 2.217x10^-16 と 3.608x10^-16 で、10^-16 の桁まで消える。係数は 1.000000、-0.746834、1.099048、-0.746834、1.000000 と対称に並ぶ。実の係数で共役の対に根を置いたからで、目で確かめられる。指定していない w=1.35 では 1.036220 が残り、検査が「どこでも消える」と言っているのではないことが分かる。零は共役の対で 4 個、係数は 5 個、次数は 4 で、根の個数がちょうど次数に等しい。代数学の基本定理がそのまま勘定になっている。上限を超えると、一つではなく全部が壊れる──w=2.6 にも零を置くと係数は 7 個に増える。実の周波数一つにつき共役な二根が要るので、増えるのは二つずつである。そこから 5 個へ切り詰めると、応答は 1.811720、1.144454、0.527118 となり、最小でも 0.527118、三つとも零でなくなる。私は書く前に「二つは残って一つだけ壊れる」と予想したが、外れた。切り詰める前は最大でも 1.335x10^-15 だったので、壊れたのは切り詰めのせいであって、三つ目の周波数が悪かったからではない。理由は根の側から見える。係数を落とすと次数が下がり、根の位置は全部まとめて動く。根は係数に一つずつ対応してはおらず、どれか一つを削るという操作がそもそも無い。だから「一つ諦めれば残りが叶う」という形にはならない。叶えたい二つを選び直して係数 5 個で組み直すなら叶うが、それは切り詰めではなく設計のやり直しである。分離子は個数である──周波数の選び方を変えても上限は動かず、5 個なら二つ、7 個なら三つと、個数を変えたときだけ動く。論文300 の判定でいえば、「消せない」には別根がある。周波数の組が悪いなら選び直せば解けるが、係数が足りないなら選び直しても解けない。論文347 と同じ形で、あちらの「作図できない」が図形ではなく道具の性質だったように、こちらの「消せない」は周波数ではなく係数の個数の性質である。論文128 とは数え上げの効き方が逆で、あちらでは指数の総和が零点の個数にならず数え上げが証書にならなかったが、こちらでは重複度込みの根の数が次数に等しく、そのまま証書になる。論文519 と並べれば、あちらは四つの逆理に四つの道具が要り、こちらは四つ目の要求に道具の追加が要る。正直に言えば──扱ったのは厳密な零だけである。実務では 10^-16 まで消す必要はなく、十分に小さければよい。切り詰め方にも窓関数を掛けるなど別の方法があり、本稿の素朴な切り詰めが最良だとは言っていない。極を持つ場合の勘定も、有限語長で係数を表したときに零がどれだけ動くかも扱っていない。言えるのは、厳密な零の個数には上限があり、その上限が係数の個数で決まる、そこまでである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:FIR フィルタ、零点、代数学の基本定理、周波数の除去、ディジタル信号処理。