Mersenne Primes Are Expected Without End and Fermat Primes to Stop, the Growth of the Exponent Splitting the Sum ── correcting for not being divisible by small primes, the expected number of Mersenne primes grows by the same amount each time the exponent limit is multiplied by 10, while for Fermat numbers it is used up within the first ten or so ── the separator is whether the exponent grows one step at a time or by doubling ── [Paper 1018]

Abstract

Whether infinitely many numbers 2 to the power p minus 1 (Mersenne numbers) are prime, and whether any number 2 to the power 2 to the power n plus 1 (a Fermat number) beyond F4 is prime, are both open. That there are infinitely many Mersenne primes is the same question as whether there are infinitely many even perfect numbers. This paper runs primality tests itself and lines them up against the sum of estimated expectations. No new theorem or law is claimed, and neither answer is proved. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the Lucas-Lehmer test, Pépin’s test, that divisors of Mersenne numbers have the form 2kp+1 and divisors of Fermat numbers the form k times 2 to the power n+2 plus 1, the one-to-one correspondence between even perfect numbers and Mersenne primes (Euclid and Euler), Mertens’ third theorem, and the estimate of the number of Mersenne primes (Wagstaff, 1983) are all known. Neither answer is proved──the corrected probability is an estimate, and it does not show infinitude or finiteness. The next prime is not predicted──only the mean spacing of the exponents was looked at, and where the next appears is not said. Odd perfect numbers are not entered──only the correspondence with even perfect numbers is used. Relation to earlier papers: the scope note of Paper 810 said that it does not discuss Mersenne primes, neither whether their number is finite or infinite nor the procedure of primality testing; this paper sits in that seat, runs the tests and counts the estimate of their number (no earlier occupant). Paper 1017 counted that a condition modulo p² is met with probability 1/p and that the expectation grows like ln ln x──here, for primality of numbers of fixed form, it is counted that with the correction from the form of the divisors the expectation grows like the logarithm of the exponent limit, and that for Fermat numbers the sum converges. What is added is running the tests and lining up the numbers found against the expectations with and without correction, checking with numbers that the correction takes the form of Mertens’ third theorem, comparing the mean logarithm of the ratio of exponents with the estimated spacing, and counting that for Fermat numbers the expectation is used up within the first ten or so. First, and this is the core. Correcting for not being divisible by small primes, the expected number of Mersenne primes matches the number found──the Lucas-Lehmer test found 20 exponents with p ≤ 5000 (from 2 to 4423). The expectation with the correction for divisors being at least 2p+1 is 21.287726; without it only 3.469954 (Sections 2 and 3). Second, the size of the correction takes the form e to the power γ of Mertens’ third theorem──the ratio of the boost from not being divisible by primes up to 2p to e to the power γ times ln(2p) was 1.053422, 1.004791 and 1.001136 at p = 13, 521 and 4423 (Section 3). Third, the exponents of Mersenne primes stand nearly evenly on a logarithmic ladder──the mean logarithm of the ratio of neighbouring exponents was 0.405338 (ratio 1.499810), the same size as the estimated spacing, ln 2 divided by e to the power γ, 0.389174 (ratio 1.475761). The expectation grows by 5.916595 each time the exponent limit is multiplied by 10 (Section 4). Fourth, for Fermat numbers the sum of expectations is used up within the first ten or so──Pépin’s test found F0 to F4 prime and F5 to F14 composite. With the same correction from the form of the divisors, the expectation for n ≥ 5 is 0.890536, and once F14 has been checked only the 0.001956745 of n ≥ 15 remains (Section 5). Fifth, without the correction, both estimates look wrong──uncorrected, the Mersenne expectation is 3.469954 against the 20 found, and the Fermat expectation for n ≥ 5 is 0.090168; the boost comes from the same mechanism in both (Sections 3 and 5). Sixth, the separator is whether the exponent grows one step at a time or by doubling──the exponents of Mersenne numbers step through the primes one at a time, so the sum diverges logarithmically; the exponents of Fermat numbers double as 2 to the power n, so the sum converges (Section 6). Mersenne primes are expected without end and Fermat primes to stop, the growth of the exponent splitting the sum. The Lucas-Lehmer test found 20 exponents with p ≤ 5000, matching the expectation 21.287726 corrected for divisors being at least 2p+1. Uncorrected it is only 3.469954, and the boost takes the form e to the power γ times ln(2p) (ratio approaching 1.001136)──the mean log ratio of exponents, 0.405338, is the same size as the estimated spacing 0.389174, and the expectation grows by 5.916595 each time the limit is multiplied by 10. For Fermat numbers, F5 to F14 are composite, most of the expectation 0.890536 for n ≥ 5 is spent there, and 0.001956745 remains. The separator is whether the exponent grows one step at a time or by doubling. Placed among the earlier papers──Paper 1017 counted that the expectation of a condition modulo p² grows like ln ln x. Here the number of Mersenne primes, which Paper 810 did not enter, was lined up against the estimate by running the tests. To be honest──neither infinitude nor finiteness has been proved. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Mersenne prime, Fermat number, Lucas-Lehmer test, Pépin's test, Mertens' third theorem, perfect number. ----- 2 の p 乗から 1 を引いた数(メルセンヌ数)の素数が無数にあるか、2 の 2 の n 乗 乗に 1 を足した数(フェルマー数)の素数が F4 より先にあるかは、どちらも未解決である。メルセンヌ素数が無数にあることは、偶数の完全数が無数にあることと同じ問いである。本稿は、素数判定を自分で走らせ、見立ての期待の和と並べる。新しい定理も法則も主張せず、どちらの答えも証明しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──ルカ=レーマー判定、ペパンの判定、メルセンヌ数の約数が 2kp+1 の形でフェルマー数の約数が k 掛ける 2 の n+2 乗 +1 の形であること、偶数の完全数とメルセンヌ素数が一対一に対応すること(ユークリッドとオイラー)、メルテンスの第三定理、メルセンヌ素数の個数の見立て(ワグスタッフ、1983)は、いずれも既知である。どちらの答えも証明しない──補正した確率は見立てであり、無数か有限かは示さない。次の素数を予言しない──指数の並びの間隔は平均を見ただけで、どこに現れるかは言わない。奇数の完全数に立ち入らない──偶数の完全数との対応だけを使う。既刊との関係:論文810 の射程注記は、メルセンヌ素数を論じない、その個数が有限か無限かにも素数判定の手順にも入らないと書いた──本稿はその席に座り、判定を走らせて個数の見立てを数える(先客なし)。論文1017 は、p² で割った余りの条件が確率 1/p で満たされ、期待が ln ln x で増えることを数えた──ここでは、形の決まった数の素数判定で、約数の形から来る補正を入れると、期待が指数の上限の対数で増えることと、フェルマー数では和が収束することを数える。加えたのは、判定を自分で走らせて見つかった数と補正ありなしの期待を並べたこと、補正がメルテンスの第三定理の形になることを数で確かめたこと、指数の比の対数の平均と見立ての間隔を比べたこと、フェルマー数で期待が最初の十個ほどで尽きることを数えたことである。 第一に、これが本稿の芯である。小さい素数で割れない分を補正すると、メルセンヌ素数の期待は見つかった数と合う──ルカ=レーマー判定で p≤5000 に 20 個の指数(2 から 4423)が見つかった。約数が 2p+1 以上であることを補正に入れた期待は 21.287726、補正しなければ 3.469954 しかない(第2節・第3節)。 第二に、補正の大きさは、メルテンスの第三定理の e の γ 乗の形になる──2p 以下の素数で割れない割り増しと e の γ 乗×ln(2p) の比は、p=13・521・4423 で 1.053422・1.004791・1.001136 だった(第3節)。 第三に、メルセンヌ素数の指数は、対数のはしごにほぼ等間隔に並ぶ──隣り合う指数の比の対数の平均は 0.405338(比 1.499810)で、見立ての間隔 ln2 を e の γ 乗で割った 0.389174(比 1.475761)と同じ大きさだった。期待は指数の上限が 10 倍になるたびに 5.916595 ずつ増える(第4節)。 第四に、フェルマー数では、期待の和が最初の十個ほどで尽きる──ペパンの判定で F0 から F4 は素数、F5 から F14 は合成数だった。約数の形で同じ補正を入れた n≥5 の期待は 0.890536 で、F14 まで調べ終えると残る期待は n≥15 の 0.001956745 だけである(第5節)。 第五に、補正しなければ、どちらの見立ても外れて見える──補正なしでは、メルセンヌ素数の期待は見つかった 20 個に対して 3.469954、フェルマー数の n≥5 の期待は 0.090168 で、割り増しは同じ仕組みから来る(第3節・第5節)。 第六に、分離子は、指数が一つずつ増えるか倍々に増えるか──メルセンヌ数の指数は素数の数だけ一つずつ増えるので和は対数で発散し、フェルマー数の指数は 2 の n 乗と倍々に増えるので和は収束する(第6節)。 メルセンヌ素数は無数に、フェルマー素数は有限個と見立てられる──指数の増え方が和を分ける。ルカ=レーマー判定で p≤5000 に 20 個の指数が見つかり、約数が 2p+1 以上であることを補正に入れた期待 21.287726 と合った。補正しなければ 3.469954 しかなく、割り増しは e の γ 乗×ln(2p) の形(比 1.001136 まで近づく)である──指数の比の対数の平均 0.405338 は見立ての間隔 0.389174 と同じ大きさで、期待は上限が 10 倍になるたびに 5.916595 ずつ増える。フェルマー数では F5 から F14 が合成数で、n≥5 の期待 0.890536 のほとんどがそこで使われ、残りは 0.001956745 である。分離子は、指数が一つずつ増えるか倍々に増えるかである。既刊との位置──論文1017 は p² の余りの条件の期待が ln ln x で増えることを数えた。ここでは、論文810 が入らなかったメルセンヌ素数の個数を、判定を走らせて見立てと並べた。正直に言えば──無数にあるとも、有限個だとも、証明していない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:メルセンヌ素数、フェルマー数、ルカ=レーマー判定、ペパンの判定、メルテンスの第三定理、完全数。