Counting a Ball by Lattice Points, the Error Comes from the Skin in Low Dimensions and from One Shell in High Ones ── lining up the Gauss circle problem by dimension, the unsolved dimensions 2 and 3 are those where the accumulated fluctuation of the skin is not beaten by the jump of a single shell ── the separator is whether the error is an accumulation of jumps or a single jump ── [Paper 1015]

Abstract

Counting the lattice points in a ball of radius r departs from the volume V times r to the power d (the content). Asking how large this departure is in two dimensions is the Gauss circle problem, and it is still unsolved in two and three dimensions. This paper measures the departure in the same way for dimensions d = 2 to 6 and compares it with the jump of a single shell (one sphere of points). No new theorem or law is claimed, and no exponent is proved. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the Gauss circle problem, that in two dimensions the departure is not smaller than r to the power 1/2 (Hardy and Landau, 1915), that from five dimensions up it is of the size r to the power d−2 and nearly so in four dimensions (collected in Walfisz’s 1957 book), that the best estimate in three dimensions is r to the power 21/16 (Heath-Brown, 1999) with r to the first power conjectured, Pick’s formula, and Jacobi’s formula for sums of four squares are all known. No exponent is proved──exponents were only fitted to counts up to radius 1000, which proves nothing. The reason for the three-dimensional drift is not given──it was measured that the three-dimensional exponent sits above 1 and falls as the window widens, but whether this is a logarithmic factor was not measured. General shapes are not entered──only balls, a right isosceles triangle and a square were counted, and the literature on general convex shapes is not entered. Relation to earlier papers: the scope note of Paper 331 said that it does not treat Ehrhart polynomials, the general theory of lattice counts when a polygon is scaled by k; this paper is placed beside it and counts that when what is scaled is a ball rather than a polygon, the count is not fixed by a formula and a departure remains (Paper 876 is beside another item of the same scope note, regions with holes). Paper 1007 showed that the critical mass is set by the skin balancing the content──here it is counted that the departure in counting the content by points comes from the skin in low dimensions and from a single shell in high dimensions. Paper 912 showed that taking the mass as the area of the unit sphere makes the coefficient of temperature the volume V of the unit ball in every dimension──here the same V appears as the main term of the lattice count, and the exponent of its departure changes over with dimension. What is added is measuring the exponent of the departure in the same way from two to six dimensions, showing that the exponent of the departure divided by a single shell’s jump is nearly zero from four dimensions up, lining up the unsolved dimensions with those where that exponent is not zero, and counting that the skin term is exact for polygons and cancels on average for the circle. First, and this is the core. The exponent of the departure matches the square root of the skin’s fluctuation in two dimensions and the jump of a single shell from four dimensions up──fitted up to radius 1000, the exponents were 0.501657 for d = 2, 1.088426 for 3, 2.002565 for 4, 3.000074 for 5 and 3.999919 for 6. The skin estimate is (d−1)/2, the shell estimate is d−2, and the larger one fits (Section 2). Second, from four dimensions up, the departure is set by a single jump──the exponent of the departure divided by the jump of a single shell was 0.002552 for d = 4, -0.000013 for 5 and -0.000128 for 6, nearly zero, the ratio itself staying at 0.803320, 0.730394 and 0.712541 (Section 3). Third, in two dimensions the accumulation of jumps wins, and three dimensions sit at the boundary──the exponent of the ratio was 0.416402 for d = 2 and 0.086420 for 3. The literature fixes the exponent from four dimensions up, and the unsolved dimensions 2 and 3 coincide with those where this exponent is not zero (Section 3). Fourth, for a polygon the skin term is fixed exactly, and for a circle it cancels on average──scaling a right isosceles triangle and a square by 1 to 1000, the difference between the lattice count and the area was always exactly half the number of boundary points plus one. For the circle, the mean departure was -0.000362 of the root mean square, which was 46.807678 against a skin length of 5441.398093 (Section 4). Fifth, the counting was checked three ways──the representation numbers were built by convolution; in two dimensions they matched direct counting with the floor function (3141521 points at n = 999999), in four dimensions Jacobi’s formula, and in three dimensions brute force for small n (Section 1). Sixth, the separator is whether the error is an accumulation of jumps or a single jump──the fluctuation in the number of points on one shell grows with dimension and overtakes the accumulated fluctuation of the skin in four dimensions (Section 5). Counting a ball by lattice points, the error comes from the skin in low dimensions and from one shell in high ones. Measured the same way from two to six dimensions, the exponents of the departure were 0.501657, 1.088426, 2.002565, 3.000074 and 3.999919, fitting the larger of the skin and shell estimates──the exponent of the departure divided by a single shell’s jump is nearly zero from four dimensions up, 0.416402 in two and 0.086420 in three, and the unsolved dimensions 2 and 3 coincide with those where it is not zero. For a polygon the difference is exactly half the boundary points plus one, and for the circle the mean departure falls to −0.000362 of the root mean square. The separator is whether the error is an accumulation of jumps or a single jump. Placed among the earlier papers──Paper 1007 counted the critical mass as skin balancing content, and Paper 912 obtained the volume V of the unit ball as a coefficient in every dimension. Here the lattice count under scaling, which Paper 331 did not enter, was counted for a ball rather than a polygon, showing that the source of the departure changes over with dimension. To be honest──not one exponent has been proved. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Gauss circle problem, lattice points, dimension, Pick's formula, Jacobi's formula, representation numbers. ----- 半径 r の球の中の格子点を数えると、体積 V r の d 乗(中身)からずれる。2 次元でこのずれの大きさを問うのがガウスの円問題で、2 次元と 3 次元ではまだ解けていない。本稿は、ずれを次元 d=2 から 6 まで同じ数え方で測り、一つの殻(点の並ぶ一枚の球面)の段差と比べる。新しい定理も法則も主張せず、冪を証明もしない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──ガウスの円問題、2 次元でずれが r の 1/2 乗より小さくならないこと(ハーディとランダウ、1915)、5 次元以上でずれが r の d−2 乗の大きさに決まり 4 次元でもほぼ決まっていること(ヴァルフィシュ 1957 の本にまとめられている)、3 次元の最良の評価が r の 21/16 乗(ヒース=ブラウン、1999)で予想が r の 1 乗であること、ピックの式、四つの平方数の和についてのヤコビの式は、いずれも既知である。冪を証明しない──半径 1000 までの数え上げに冪を当てはめただけで、証明にはならない。3 次元のずれの理由を言わない──3 次元の冪が 1 から上にずれ、窓を広げると下がっていくことは測ったが、対数の因子かどうかは測っていない。一般の図形に立ち入らない──球と、直角二等辺三角形・正方形だけを数え、一般の凸な図形の文献には入らない。既刊との関係:論文331 の射程注記は、エルハート多項式を扱わない、多角形を k 倍に膨らませたときの格子点数の一般論には入らないと書いた──本稿はその隣に置き、膨らませるのが多角形でなく球だと、数が式で決まらずずれが残ることを数える(同じ射程注記の別の項、穴のある領域の隣には論文876 が居る)。論文1007 は、臨界質量が皮と中身の釣り合いで決まることを示した──ここでは、中身を点で数えるときのずれが、低い次元では皮から、高い次元では一枚の殻から来ることを数える。論文912 は、質量を単位球の面積に取ると温度の係数がどの次元でも単位球の体積 V になることを示した──ここでは、同じ V が格子点の数の主な項として現れ、そのずれの冪が次元で入れ替わる。加えたのは、2 次元から 6 次元までのずれの冪を同じ数え方で測ったこと、ずれを一つの殻の段差で割った比の冪が 4 次元以上でほぼ 0 になることを示したこと、未解決の次元が比の冪の 0 にならない次元と重なることを並べたこと、多角形で皮の項がちょうど決まり、円で平均が消えることを数えたことである。 第一に、これが本稿の芯である。ずれの冪は、2 次元では皮の揺らぎの平方根、4 次元以上では一つの殻の段差に合う──半径 1000 までで当てはめた冪は、d=2 で 0.501657、3 で 1.088426、4 で 2.002565、5 で 3.000074、6 で 3.999919 だった。皮の揺らぎの平方根の見立ては (d−1)/2、殻の段差の見立ては d−2 で、大きいほうが当たる(第2節)。 第二に、4 次元以上では、ずれは一回の段差で決まる──ずれを一つの殻の段差で割った比の冪は、d=4 で 0.002552、5 で -0.000013、6 で -0.000128 とほぼ 0 で、比そのものは 0.803320・0.730394・0.712541 に止まる(第3節)。 第三に、2 次元では段差の積み重ねが勝ち、3 次元はその境目に居る──比の冪は d=2 で 0.416402、3 で 0.086420 だった。文献で冪が決まっているのは 4 次元以上で、未解決の 2 次元と 3 次元は、比の冪が 0 にならない次元と重なる(第3節)。 第四に、多角形なら皮の項はちょうど決まり、円では平均で消える──直角二等辺三角形と正方形を 1 倍から 1000 倍に広げると、格子点の数と面積の差はどれも境界の点の数の半分に 1 を足した値にちょうど等しかった。円では、ずれの平均は二乗平均の -0.000362 倍で、皮の長さ 5441.398093 に対して二乗平均は 46.807678 だった(第4節)。 第五に、数え方は三通りで確かめた──表し方の数を畳み込みで作り、2 次元は床関数での直接の数え(n=999999 で 3141521 点)、4 次元はヤコビの式、3 次元は小さな n の総当たりと一致した(第1節)。 第六に、分離子は、段差の積み重ねか、一回の段差か──一つの殻に乗る点の数の揺れが次元とともに大きくなり、4 次元で皮の揺らぎの積み重ねを追い越す(第5節)。 格子点で数えた中身の誤差は、低い次元では皮の揺らぎ、高い次元では一つの殻の段差で決まる。2 次元から 6 次元まで同じ数え方で測ると、ずれの冪は 0.501657・1.088426・2.002565・3.000074・3.999919 で、皮の揺らぎの平方根と殻の段差の見立ての大きいほうに合った──ずれを一つの殻の段差で割った比の冪は、4 次元以上でほぼ 0、2 次元で 0.416402、3 次元で 0.086420 で、未解決の 2 次元と 3 次元はこの冪が 0 にならない次元と重なる。多角形なら差は境界の点の半分に 1 を足した値にちょうど等しく、円ではずれの平均が二乗平均の −0.000362 倍まで消える。分離子は、段差の積み重ねか、一回の段差かである。既刊との位置──論文1007 は臨界質量を皮と中身の釣り合いで数え、論文912 は単位球の体積 V をどの次元でも係数として出した。ここでは、論文331 が入らなかった「膨らませたときの格子点数」を、多角形でなく球で数え、ずれの出どころが次元で入れ替わることを示した。正直に言えば──冪は一つも証明していない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:ガウスの円問題、格子点、次元、ピックの式、ヤコビの式、表し方の数。