Whether a Sum of Powers Has Many Solutions Depends on Whether Its Exponents Make a Spherical, Flat or Hyperbolic Triangle ── when the triangle with angles π/a, π/b, π/c has angle sum above π it lies on a sphere and the primitive solutions form families, below π it is hyperbolic and they are finite, and Fermat's n = 2, 3, 4 fall one into each ── the separator is whether the sum of the reciprocal exponents exceeds 1 ── [Paper 1016]

Abstract

The integer solutions of x to the power a plus y to the power b equal to z to the power c (the generalized Fermat equation) change greatly with the exponents. The Beal conjecture and the Fermat-Catalan conjecture are open questions about parts of this. This paper forms from the exponents a triangle with angles π/a, π/b, π/c and lines up the number of solutions by whether that triangle lies on a sphere, a plane or a hyperbolic plane. No new theorem or law is claimed, and no conjecture is proved. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──Fermat’s Last Theorem (Wiles, 1995), the case n = 3 (Euler), that for fixed exponents in the hyperbolic case there are finitely many primitive solutions (Darmon and Granville, 1995), that in the spherical case the primitive solutions are given by finitely many families of formulas (Beukers, 1998), the list of primitive solutions of x² + y³ = z⁷ (Poonen, Schaefer and Stoll, 2007), and that the area of a spherical triangle is its angle sum minus π (Girard’s theorem) are all known. No conjecture is proved──neither the Beal conjecture nor the Fermat-Catalan conjecture is proved or searched for counterexamples; boxes were only counted. No families of formulas are built──the families for x² + y³ = z⁵ are not built; that they exist is only cited. The classification is not read from box counts──in small boxes even the spherical x² + y³ = z⁵ has only 5 primitive solutions. Relation to earlier papers: Paper 641 counted that the ABC conjecture is a theorem for polynomials and a conjecture for integers, placing the difference in the derivative──here the same integer equations are lined up by their exponents, and what separates them is counted to be the sum of reciprocal exponents. Paper 642 showed that the roads to Fermat’s Last Theorem reach different ranges of exponents by their tools──here n = 2, 3 and 4 are lined up as falling one into each of the three shapes of triangle. Paper 409 used Girard’s theorem, that the area of a spherical triangle equals the surplus of its angle sum, to show that no map is undistorted──here the same area fixes how many triangles cover 4π. Paper 512 showed that splitting the spherical excess three ways turns a curved problem into a flat one──here the sign of the spherical excess itself becomes the classification of the equations. What is added is lining up the three-way classification of the exponent triangle against a table of solution counts, showing that Fermat’s n = 2, 3 and 4 fall one into each, counting spherical families and hyperbolic finiteness in boxes, and counting that solutions appear on the hyperbolic side once a common factor is allowed. First, and this is the core. Fermat’s n = 2, 3 and 4 fall one each onto the sphere, the plane and the hyperbolic plane──the sum of reciprocal exponents 3/n is 1.5 for n = 2 (sphere), exactly 1 for 3 (plane) and 0.75 for 4 (hyperbolic). There are 1593 primitive Pythagorean triples with hypotenuse up to 10000, the same size as the hypotenuse divided by 2π, 1591.549431. For n = 3 and 4 the boxes searched held no solutions (Section 2). Second, on the sphere the number of triangles is fixed by 4π, and the primitive solutions form families──the number of triangles of area π(sum − 1) covering the sphere is 12 for (2,2,3), 24 for (2,3,3), 48 for (2,3,4) and 120 for (2,3,5). The primitive solutions of x² + y² = z³ grew as 14, 32 and 64 for z up to 50, 100 and 200, and all belonged to one family coming from cubes of Gaussian integers (Sections 1 and 3). Third, on the hyperbolic side the primitive solutions are finite, and the five known ones came out exactly──searching x² + y³ = z⁷ (sum 0.976190) for z up to 120 gave five primitive solutions, 3² − 2³ = 1⁷, 71² − 17³ = 2⁷, 21063928² − 76271³ = 17⁷, 2213459² + 1414³ = 65⁷ and 15312283² + 9262³ = 113⁷, exactly the list of Poonen and coauthors. On the flat x² + y³ = z⁶ only 3² − 2³ = 1 appeared (Section 4). Fourth, counts in small boxes alone do not separate the three──even the spherical x² + y³ = z⁵ (sum 1.033333) had only 5 primitive solutions for z up to 60 (including 12092581² − 52684³ at z = 57). What separates the three is not the count but whether a family of solutions given by formulas exists (Section 4). Fifth, allowing a common factor, solutions abound even on the hyperbolic side──x³ + y³ = z⁴ had 17 solutions with z up to 200 (2³ + 2³ = 2⁴, 9³ + 18³ = 9⁴ and so on), but 0 primitive ones. What the Beal conjecture asks is whether every solution must share a common factor (Section 5). Sixth, the separator is whether the sum of the reciprocal exponents exceeds 1──if it does, the triangle lies on a sphere and its area covers 4π a finite number of times; exactly 1 gives the plane, and less gives the hyperbolic plane (Section 6). Whether a sum of powers has many solutions depends on whether its exponents make a spherical, flat or hyperbolic triangle. Fermat’s n = 2, 3 and 4 fall one into each, with reciprocal sums 1.5, 1 and 0.75, and the 1593 Pythagorean triples with hypotenuse up to 10000 match the hypotenuse over 2π, 1591.549431──the primitive solutions of the spherical x² + y² = z³ grew as 14, 32, 64 and all belonged to one family, and the hyperbolic x² + y³ = z⁷ gave exactly the five known solutions. Yet the spherical x² + y³ = z⁵ also had only 5 in a small box, so what separates is not the count but whether families exist. Allowing a common factor, the hyperbolic x³ + y³ = z⁴ had 17 solutions, but no primitive one. The separator is whether the sum of the reciprocal exponents exceeds 1. Placed among the earlier papers──Paper 641 separated the ABC conjecture into polynomials and integers, Paper 642 separated the roads to Fermat’s Last Theorem by the exponents their tools reach, and Papers 409 and 512 used the area of a spherical triangle as the surplus of its angle sum. Here the sign of that surplus was lined up as the classification of the equations. To be honest──neither the Beal conjecture nor the Fermat-Catalan conjecture has been proved by a single step. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: generalized Fermat equation, Beal conjecture, Fermat-Catalan conjecture, spherical excess, Girard's theorem, Pythagorean triples. ----- x の a 乗と y の b 乗の和が z の c 乗になる整数の解(一般化フェルマー方程式)は、指数の組で様子が大きく変わる。ビール予想とフェルマー=カタラン予想は、その一部について未解決の問いである。本稿は、指数から角 π/a・π/b・π/c の三角形を作り、それが球面・平面・双曲面のどれに描けるかで解の数を並べる。新しい定理も法則も主張せず、予想を証明もしない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──フェルマーの最終定理(ワイルズ、1995)、n=3 の場合(オイラー)、指数を固定した双曲の場合に原始解が有限個であること(ダルモンとグランヴィル、1995)、球面の場合に原始解が有限個の式の族で与えられること(ボイカース、1998)、x²+y³=z⁷ の原始解の一覧(ポーネン、シェーファー、ストール、2007)、球面三角形の面積が内角の和から π を引いたものであること(ジラールの定理)は、いずれも既知である。予想を証明しない──ビール予想もフェルマー=カタラン予想も、証明も反例探しもしない。箱の中を数えただけである。式の族を作らない──x²+y³=z⁵ の族は作らず、族があることは引くだけである。箱の個数から三分類を読まない──小さな箱では、球面の x²+y³=z⁵ の原始解も 5 個しかない。既刊との関係:論文641 は、ABC 予想が多項式では定理で整数では予想であることを数え、分けるのは微分だと置いた──ここでは、同じ整数の方程式を指数の組で並べ、分けるのが指数の逆数の和であることを数える。論文642 は、フェルマーの最終定理への道が道具ごとに届く指数の範囲で違うことを示した──ここでは、n=2・3・4 が三角形の三つの形に一つずつ入ることを並べる。論文409 は、ジラールの定理で球面三角形の面積が内角の和の余りに等しいことを使い、歪まない地図が無いことを示した──ここでは、同じ面積が 4π を覆う枚数を決める。論文512 は、球面過剰を三等分して引くと曲面の問題が平面の問題に化けることを示した──ここでは、球面過剰の符号そのものが方程式の三分類になる。加えたのは、指数の三角形の三分類を解の数の表と並べたこと、フェルマーの n=2・3・4 が三つに一つずつ入ることを示したこと、球面の族と双曲の有限個を箱の中で数えたこと、共通因数を許すと双曲でも解が出ることを数えたことである。 第一に、これが本稿の芯である。フェルマーの n=2・3・4 は、球面・平面・双曲面に一つずつ入る──指数の逆数の和 3/n は n=2 で 1.5(球面)、3 でちょうど 1(平面)、4 で 0.75(双曲)である。 n=2 の原始ピタゴラス数は斜辺 10000 まで 1593 組あり、斜辺を 2π で割った 1591.549431 と同じ大きさだった。 n=3 と 4 は、調べた箱の中に解が無かった(第2節)。 第二に、球面では三角形の枚数が 4π から決まり、原始解は族をなす──面積 π(和−1) の三角形で球面を覆う枚数は (2,2,3) で 12、(2,3,3) で 24、(2,3,4) で 48、(2,3,5) で 120 である。 x²+y²=z³ の原始解は z≤50・100・200 で 14・32・64 組と増え、すべてがガウス整数の三乗から出る一つの族に入った(第1節・第3節)。 第三に、双曲では、原始解は有限個で、既知の五つがちょうど出る──x²+y³=z⁷(和 0.976190)の原始解を z≤120 の箱で探すと、3²−2³=1⁷、71²−17³=2⁷、21063928²−76271³=17⁷、2213459²+1414³=65⁷、15312283²+9262³=113⁷ の五つで、ポーネンらが示した一覧とちょうど一致した。平面の x²+y³=z⁶ では 3²−2³=1 だけだった(第4節)。 第四に、小さな箱の個数だけでは三つは分かれない──球面の側の x²+y³=z⁵(和 1.033333)でも、z≤60 の箱の原始解は 5 個(z=57 の 12092581²−52684³ を含む)しかなかった。三つを分けているのは個数ではなく、解を式で書ける族があるかどうかである(第4節)。 第五に、共通因数を許すと、双曲でも解はいくらでもある──x³+y³=z⁴ には z≤200 で 17 組の解(2³+2³=2⁴、9³+18³=9⁴ など)があったが、原始解は 0 組だった。ビール予想が問うのは、解に必ず共通因数があるかどうかである(第5節)。 第六に、分離子は、指数の逆数の和が 1 を超えるか──超えれば三角形は球面に描け、その面積が 4π を有限の枚数で覆う。ちょうど 1 なら平面、足りなければ双曲面である(第6節)。 べきの和の方程式の解の数は、指数の作る三角形が球面か平面か双曲面かで分かれる。フェルマーの n=2・3・4 は、指数の逆数の和が 1.5・1・0.75 で三つに一つずつ入り、n=2 のピタゴラス数は斜辺 10000 まで 1593 組、斜辺÷2π の 1591.549431 と同じ大きさだった──球面の x²+y²=z³ の原始解は 14・32・64 組と増えてすべて一つの族に入り、双曲の x²+y³=z⁷ では既知の五つがちょうど出た。ただし球面の x²+y³=z⁵ も小さな箱では 5 個しかなく、分けているのは個数ではなく族があるかどうかである。共通因数を許せば双曲の x³+y³=z⁴ にも 17 組あるが、原始解は 0 組だった。分離子は、指数の逆数の和が 1 を超えるかである。既刊との位置──論文641 は ABC 予想を多項式と整数で分け、論文642 はフェルマーの最終定理への道を道具ごとの指数で分け、論文409 と論文512 は球面三角形の面積を内角の和の余りとして使った。ここでは、その余りの符号が方程式の三分類になることを並べた。正直に言えば──ビール予想もフェルマー=カタラン予想も、一歩も証明していない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:一般化フェルマー方程式、ビール予想、フェルマー=カタラン予想、球面過剰、ジラールの定理、ピタゴラス数。