The Angle a Foucault Pendulum Turns in a Day Is 2π Minus the Solid Angle of the Sky Above the Latitude Circle ── the angle 2pisinphi through which the plane of swing turns in one sidereal day is 2pi minus the change of direction under parallel transport around the latitude circle (the solid angle of the cap, Omega=2pi(1-sinphi)), and does not depend on the pendulum's period ── the separator is whether the day is counted in sidereal or in solar days ── [Paper 903]

Abstract

The angle 2pisinphi that a Foucault pendulum turns in a day is usually taken as a number that comes out of the Coriolis force. This paper obtains the same angle in three ways: by numerical integration of the equations of motion, by parallel transport along the latitude circle, and from the solid angle of the cap above the latitude circle, and counts that they are one angle. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──that the plane of a Foucault pendulum turns by 2pisinphi in one sidereal day, and that this angle is the holonomy of parallel transport on the sphere (the enclosed area), are both known (Foucault 1851). No real pendulum is claimed──measured values from Paris or elsewhere are not cited; the latitude 48.85 degrees is a number placed in the computation. Only the linear model is used──precession from finite amplitude (the ellipse), centrifugal force, air resistance, friction at the suspension and the shape of the Earth are not included. Putting a number on the range of small angles is the matter of Paper 396. Geodetic precession is not treated──precession from general relativity is not included. Relation to earlier papers: Paper 33 showed that the Wigner angle is an area in velocity space, and that a Foucault pendulum changing direction on a sphere sits, as a theorem, in the same place──here the pendulum’s side is counted in three ways. Paper 91 showed that curvature is intrinsic──here that curvature appears in one day, as a change of direction measurable by moving within the sphere alone. Paper 67 read 4pi as 2pichi(S^2)──here the part of that 4pi belonging to the cap above the latitude circle, 2pi(1-sinphi), is what is left over from the pendulum’s turn. Paper 396 showed that putting a number on a pendulum’s “small angle” costs 164.78 seconds a day at ten degrees──here the amplitude is kept small, and it is the direction of the plane of swing, not the period, that is followed through a day. What is added is obtaining the same angle from the equations of motion, from parallel transport and from the solid angle of the cap, confirming that the angle does not depend on the period, laying out the days per turn and the turn per hour by latitude, and placing the separator on sidereal versus solar days. First, stepping the equations of motion gives 2pisinphi──the turn in one sidereal day is 206.487516 degrees at latitude 35, 271.076195 at 48.85, 359.999994 at the pole and 0 at the equator, within 10^-7 rad of 2pisinphi (Section 2). Second, the change of direction under parallel transport along the latitude circle is the solid angle of the cap──after one circuit the direction has changed by 2.679298 rad at 35 degrees and 1.552013 rad at 48.85, agreeing within 10^-6 with the numerically integrated solid angle 2pi(1-sinphi) of the cap above the circle (Section 3). Third, and this is the core. The three are one angle──the turn from the equations of motion (clockwise, 2pisinphi) and the turn from parallel transport (counter-clockwise, Omega) agree modulo 2pi. The angle the pendulum turns in a day is 2pi-Omega, that is, 2pi minus the solid angle of the cap (Section 3). Fourth, the angle does not depend on the pendulum’s period──with periods of 2 s and 16 s the turn is 3.603887 rad in both cases, differing by less than 10^-5 rad (Section 2). Fifth, one full turn takes 1/sinphi days──1.743447 sidereal days at latitude 35, 1.328040 at 48.85, 1.000000 at the pole, and no turn at the equator (Section 4). Sixth, the separator is whether the day is counted in sidereal or in solar days──the turn is tied to the 86164.0905 seconds in which the Earth turns once against the stars; per solar day of 86400 seconds it becomes 207.052861 degrees at 35 degrees (Section 4). The angle a Foucault pendulum turns in a day is 2pi minus the solid angle of the sky above the latitude circle. Stepping the Coriolis equations of motion through one sidereal day, the plane of swing turned clockwise by 206.487516 degrees at latitude 35; a tangent vector carried around the latitude circle by parallel transport turned counter-clockwise by the cap’s solid angle 2.679298 rad; and the two were one angle modulo 2pi──2pisinphi is what remains of 2pi after the cap’s solid angle 2pi(1-sinphi) is taken away. The turn does not depend on the pendulum’s period, one full turn takes 1/sinphi days, and whether the day is counted in sidereal or solar days decided the angle per day──standing on the ground, the pendulum measures the area of a cap of sky. Placed among the earlier papers──the pendulum’s side, which Paper 33 named as the same place as the Wigner angle, was counted in three ways, and the intrinsic curvature of Paper 91 and the 2pichi(S^2) of Paper 67 were shown to appear as one day’s turn. To be honest──only the linear model was used, with neither the precession of finite amplitude nor centrifugal force nor friction included. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Foucault pendulum, holonomy, parallel transport, solid angle, sidereal day, Coriolis force. ----- フーコーの振り子が一日に回る角 2pisinphi は、コリオリ力の式から出る数だと思われている。本稿は、同じ角を、運動方程式の数値積分と、緯度円に沿う平行移動と、緯度円より上の帽子の立体角の三通りで出し、それが一つの角であることを数える。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──フーコーの振り子の振動面が一恒星日に 2pisinphi 回ること、その角が球面上の平行移動のホロノミー(囲んだ面積)であることは、いずれも既知である(フーコー 1851)。実在の振り子を主張しない──パリや他の場所の実測の値は引かず、緯度 48.85 度は計算に置いた数である。線形の模型だけを使う──振れ幅による楕円の歳差、遠心力、空気抵抗、吊り点の摩擦、地球の形は入れない。小さい角の範囲を数にすることは論文396 の側である。測地的歳差を扱わない──一般相対論による歳差は入れない。既刊との関係:論文33 は、ウィグナー角が速度空間の面積であり、フーコーの振り子が球面で向きを変えるのと定理としては同じ場所にあることを示した──ここでは、その振り子の側を三通りで数える。論文91 は、曲率が内在的であることを示した──ここでは、球面の中を動くだけで測れる向きの変化として、その曲率が一日に現れる。論文67 は、4pi を 2pichi(S^2) と読んだ──ここでは、その 4pi のうち緯度円より上の帽子の分 2pi(1-sinphi) が、振り子の回転の残りになる。論文396 は、振り子の「小さい角」を数にすると 10 度で一日 164.78 秒ずれることを示した──ここでは振れ幅を小さくとり、周期ではなく振動面の向きを一日追う。加えたのは、運動方程式・平行移動・帽子の立体角の三通りで同じ角を出したこと、回転角が周期に依らないことを確かめたこと、一周に要る日数と毎時の回転を緯度ごとに並べたこと、分離子を「恒星日か、太陽日か」に置いたことである。 第一に、運動方程式を刻むと 2pisinphi が出る──一恒星日の回転角は緯度 35 度で 206.487516 度、48.85 度で 271.076195 度、極で 359.999994 度、赤道で 0 で、2pisinphi との差は 10^-7 rad 以内である(第2節)。 第二に、緯度円に沿って平行移動した向きの変化は、帽子の立体角である──一周したあとの向きの変化は 35 度で 2.679298 rad、48.85 度で 1.552013 rad で、緯度円より上の帽子の立体角 2pi(1-sinphi) の数値積分と 10^-6 以内で一致する(第3節)。 第三に、これが本稿の芯である。三つは一つの角である──運動方程式の回転角(時計回り 2pisinphi)と、平行移動の回転(反時計回り Omega)は、2pi を法として一致する。振り子が一日に回る角は、2pi から帽子の立体角を引いた 2pi-Omega である(第3節)。 第四に、回転角は振り子の周期に依らない──周期 2 秒と 16 秒で回転角はどちらも 3.603887 rad で、差は 10^-5 rad 以内である(第2節)。 第五に、一周に要る日数は 1/sinphi である──緯度 35 度で 1.743447 恒星日、48.85 度で 1.328040 恒星日、極で 1.000000 恒星日で、赤道では回らない(第4節)。 第六に、分離子は、恒星日で数えるか、太陽日で数えるかである──回るのは地球が恒星に対して一回転する 86164.0905 秒であり、太陽日 86400 秒あたりに直すと 35 度で 207.052861 度になる(第4節)。 フーコーの振り子が一日に回る角は、緯度円より上の空の立体角を 2pi から引いた値である。コリオリの運動方程式を一恒星日刻むと振動面は緯度 35 度で時計回りに 206.487516 度回り、緯度円に沿って平行移動した接ベクトルは帽子の立体角 2.679298 rad だけ反時計回りに向きを変え、二つは 2pi を法として一つの角だった──2pisinphi は、2pi から帽子の立体角 2pi(1-sinphi) を引いた残りである。回転角は振り子の周期に依らず、一周に要る日数は 1/sinphi で、恒星日で数えるか太陽日で数えるかが一日の角を分けた──振り子は地面の上で、空の帽子の面積を測っている。既刊との位置──論文33 が同じ定理の場所と述べた振り子の側を三通りで数え、論文91 の内在的な曲率と論文67 の 2pichi(S^2) が、一日の回転として現れることを示した。正直に言えば──線形の模型だけで、振れ幅による歳差も遠心力も摩擦も入れていない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:フーコーの振り子、ホロノミー、平行移動、立体角、恒星日、コリオリ力。