If Gravity's Direction Merely Lagged at the Speed of Light, the Earth's Semi-Major Axis Would Double in 663.55 Revolutions ── tilting the direction of the Sun's pull toward the motion by the angle of aberration makes the orbit grow every revolution, with sqrt a increasing in proportion to the number of revolutions ── the separator is whether only the direction is delayed or the velocity terms are included too ── [Paper 909]

Abstract

If gravity travels at a finite speed, the direction of the Sun’s pull should tilt slightly as in aberration, and it is easy to assume that the tilt is too small to change anything. This paper steps an orbit in a model where only the direction of gravity is tilted by the angle of aberration, and counts what that small tilt accumulates revolution by revolution. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the argument that a lag in gravity’s direction would make orbits unstable (Laplace 1805), the cancellation of that lag to high order by velocity-dependent terms in general relativity (Carlip 2000), and the formula for how a small tangential force lengthens the semi-major axis of a circular orbit are all known. General relativity is not computed──the cancellation by velocity terms is stated as a known result and not counted. No real change of orbit is claimed──the Earth’s beta is a model value, 2pi astronomical units divided by the sidereal year; observed changes of the semi-major axis and observational bounds on the speed of gravity are not entered. The condition of keeping the yearly growth under 1 m is only a provisional yardstick. The model is kept to one──the magnitude of the force stays GM/r^2 and only its direction is tilted; energy loss by gravitational waves is not included. Relation to earlier papers: Paper 524 showed that the wind on a sail and the apparent place of a star are one and the same formula, and that the Earth’s beta=9.935118x10^-5 gives an annual aberration of 20.492653 arcseconds──here the same beta is applied not to light but to the tilt of gravity’s direction. Paper 901 showed that aberration keeps the full solid angle 4pi of the sky while rearranging it──here a tilt of the same form adds energy to the orbit every revolution. Paper 28 showed that the exponent 3/2 of Kepler’s third law is not a dimension but a scaling exponent──here the period grows by that 3/2, so the 663.55 counted in revolutions and the 1201.46 counted in years separate. Paper 42 showed that the G and c^5 of the quadrupole formula for gravitational waves cannot be separated──gravitational waves carry energy away and shrink orbits, whereas the lag of direction here adds energy and lengthens them: the sign is opposite. Paper 83 showed that relativity with a maximum speed follows from Galileo’s relativity principle alone──here the consequence of the lag of direction alone is counted for gravity travelling at that maximum speed. What is added is stepping the orbit with only the tilt of direction and showing that sqrt a grows in proportion to the revolutions, setting untilted and backward-tilted controls, obtaining the revolutions and years to doubling for the Earth’s beta and showing that the constant-speed estimate is too small, and placing the separator on direction alone versus velocity terms too. First, the tilt of direction lengthens the orbit every revolution──the tilt angle v/c_g gives the force a component along the motion; at c_g=1000 the relative growth of the semi-major axis in the first revolution was 1.260737x10^-2 (formula (1+2pi/c_g)^2-1=1.260585x10^-2) (Section 2). Second, what grows is sqrt a, in proportion to the number of revolutions──since the speed falls as a^-1/2, sqrt a=1+2pi N/c_g; in the stepped orbit sqrt a grew by 0.006283220 per revolution at c_g=1000, matching the formula’s 2pi/c_g=0.006283185 (Section 2). Third, without the tilt it does not grow, and tilted backward it shrinks──the untilted orbit still has semi-major axis 1.000000000 after 20 revolutions, and tilted backward at c_g=200 it shrank to 0.470367 in 10 revolutions (formula 0.470378) (Section 3). Fourth, and this is the core. The Earth’s orbit doubles its semi-major axis in 663.55 revolutions──applying to gravity the beta=9.935118x10^-5 from which Paper 524 obtained an annual aberration of 20.492653 arcseconds, the relative growth per revolution is 1.248484x10^-3, the growth in the first year 186770.5 km, and the semi-major axis doubles in 663.55 revolutions (Section 4). Fifth, counting in revolutions or in years gives different numbers until doubling──the period grows as the 3/2 power of the semi-major axis, so counted in years it takes 1201.46 years. The estimate ln2/(4pibeta)=555.19 with constant speed is smaller than the correct number of revolutions (Section 4). Sixth, the separator is whether only the direction is delayed or the velocity terms are included too──delaying only the direction lengthens the orbit. In general relativity, velocity-dependent terms are known to cancel this lag of direction; without that cancellation, gravity travelling at the speed of light would change planetary orbits on a scale of a thousand years (Section 5). If gravity’s direction merely lagged at the speed of light, the Earth’s orbit would grow every revolution and its semi-major axis would double in 663.55 revolutions. Tilting the direction of the Sun’s gravity toward the motion by the angle of aberration, the orbit gained energy every revolution and sqrt a grew in proportion to the revolutions──untilted it did not grow, tilted backward it shrank, and the stepped orbit matched the formula sqrt a=1+2pi N/c_g. Applying to gravity the Earth’s beta, which for light is only a shift of 20.492653 arcseconds, it accumulated 1.248484x10^-3 every revolution, and the semi-major axis doubled in 663.55 revolutions, or 1201.46 years──a small angle accumulates with every revolution. Placed among the earlier papers──the beta of Paper 524 and the form of aberration of Paper 901 were applied to gravity’s direction, and the 3/2 of Paper 28 separated revolutions from years. To be honest──this is a model delaying only the direction; the general-relativistic cancellation is stated as known, and no real change of orbit is claimed. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: speed of gravity, aberration of gravity, orbital growth, Kepler orbit, general relativity, semi-major axis. ----- 重力が有限の速さで伝わるなら、太陽の引く向きは光行差のようにわずかに傾くはずで、その傾きは小さすぎて何も変えない、と思いやすい。本稿は、重力の向きだけを光行差と同じ角だけ傾けた模型で軌道を刻み、その小さな傾きが一周ごとに何を積み上げるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──重力の向きが遅れると軌道が不安定になるという議論(ラプラス 1805)、一般相対論では速度に依る項が向きの遅れを高い次数まで打ち消すこと(カーリップ 2000)、接線方向の小さな力が円軌道の長半径を伸ばす式は、いずれも既知である。一般相対論を計算しない──速度の項による打ち消しは既知の結果として述べるだけで、数えない。実在の軌道の変化を主張しない──地球の beta は 2pi 天文単位を恒星年で割った模型の値で、観測された長半径の変化や、重力の速さの観測の上限には入らない。一年の伸びを 1 m 未満にする条件は、仮の目安である。模型を一つに限る──力の大きさは GM/r^2 のままで向きだけを傾け、重力波によるエネルギーの損失は入れない。既刊との関係:論文524 は、帆に当たる風と星の見かけの位置が同じ一つの式であり、地球の beta=9.935118x10^-5 から年周光行差 20.492653 秒角が出ることを示した──ここでは同じ beta を、光ではなく重力の向きの傾きに当てる。論文901 は、光行差が天球の全立体角 4pi を保ちながら配置を変えることを示した──ここでは同じ形の傾きが、軌道のエネルギーを一周ごとに足す。論文28 は、ケプラーの第三法則の指数 3/2 が次元ではなくスケーリングの指数であることを示した──ここではその 3/2 で周期が伸びるので、周回で数えた 663.55 と年で数えた 1201.46 が分かれる。論文42 は、重力波の四重極公式の G と c^5 が切り離せないことを示した──重力波はエネルギーを運び去って軌道を縮めるが、ここでの向きの遅れはエネルギーを足して軌道を伸ばし、符号が逆である。論文83 は、ガリレイの相対性原理だけから最高速度のある相対論が出ることを示した──ここでは重力がその最高速度で伝わるとしたときの、向きの遅れだけの帰結を数える。加えたのは、向きの傾きだけで軌道を刻み sqrt a が周回数に比例して伸びることを示したこと、傾けない・後ろへ傾ける対照を置いたこと、地球の beta で倍になる周回数と年数を出し、速さ一定の概算が過小であることを示したこと、分離子を「向きだけか、速度の項までか」に置いたことである。 第一に、向きの傾きは、軌道を一周ごとに伸ばす──傾きの角 v/c_g で進む向きに力の成分ができ、c_g=1000 で一周目の長半径の相対の伸びは 1.260737x10^-2(式 (1+2pi/c_g)^2-1=1.260585x10^-2)だった(第2節)。 第二に、伸びるのは sqrt a で、周回数に比例する──速さが a^-1/2 で落ちるので sqrt a=1+2pi N/c_g となり、刻んだ sqrt a の周回あたりの伸びは c_g=1000 で 0.006283220、式の 2pi/c_g=0.006283185 と合った(第2節)。 第三に、傾けなければ伸びず、後ろへ傾ければ縮む──傾けない軌道は 20 周後も長半径が 1.000000000 で、後ろへ傾けると c_g=200 の 10 周で 0.470367(式 0.470378)に縮んだ(第3節)。 第四に、これが本稿の芯である。地球の軌道は 663.55 周で長半径が倍になる──論文524 が年周光行差 20.492653 秒角を出した beta=9.935118x10^-5 を重力に当てると、一周の相対の伸びは 1.248484x10^-3、一年目の伸びは 186770.5 km、長半径が倍になるのは 663.55 周である(第4節)。 第五に、周回で数えるか年で数えるかで、倍になるまでの数が違う──周期は長半径の 3/2 乗で伸びるので、年で数えると 1201.46 年になる。速さを一定と置く概算 ln2/(4pibeta)=555.19 は、正しい周回数より小さい(第4節)。 第六に、分離子は、向きだけを遅らせるか、速度の項まで入れるかである──向きだけを遅らせれば軌道は伸びる。一般相対論では速度に依る項がこの向きの遅れを打ち消すことが知られており、その打ち消しがなければ、光と同じ速さの重力は惑星の軌道を千年の桁で変える(第5節)。 重力の向きが光の速さで遅れるだけなら、地球の軌道は一周ごとに伸び、663.55 周で長半径が倍になる。太陽の重力の向きを光行差と同じ角だけ進む向きの側へ傾けると、軌道は一周ごとにエネルギーを得て、sqrt a が周回数に比例して伸びた──傾けなければ伸びず、後ろへ傾ければ縮み、刻んだ軌道は式 sqrt a=1+2pi N/c_g と合った。光に当てれば 20.492653 秒角のずれでしかない地球の beta を重力に当てると、一周に 1.248484x10^-3 ずつ積み上がり、周回で 663.55 周、年で 1201.46 年で長半径が倍になった──小さな角は、周回の数だけ積み上がる。既刊との位置──論文524 の beta と論文901 の光行差の形を重力の向きに当て、論文28 の 3/2 で周回と年を分けた。正直に言えば──向きだけを遅らせた模型で、一般相対論の打ち消しは既知として述べるだけで、実在の軌道の変化は主張しない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:重力の速さ、重力の光行差、軌道の伸び、ケプラー軌道、一般相対論、長半径。