The Roads to Fermat's Last Theorem Reach Different Exponents, and Descent and Kummer Together Miss 92 Exponents up to 1000 ── together the two still miss 92 exponents up to 1000 (the smallest is 37) ── only Wiles's road reached them all ── [Paper 642]

Abstract

For n>=3, x^n+y^n=z^n has no solution in coprime positive integers (Fermat’s Last Theorem, proved by Wiles in 1995). This paper proves nothing; it sets out the roads that reach this “no solution” and counts which exponents each reaches. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the Last Theorem and its proof (Wiles, and Taylor and Wiles, 1995), infinite descent for n=4 (Fermat), Kummer’s theorem on regular primes (around 1850), the list of irregular primes, the conjecture that the share of regular primes is near e^-1/2 (Siegel), and that the ABC conjecture excludes large exponents (the exposition of Granville and Tucker and others) are all known. The Last Theorem is not proved──Wiles’s road (the Frey curve and modularity) cannot be followed in numbers, so only its address is written. It is not called “distinct roots”──what divides here is not the source of a phenomenon but the tool of proof, so it is called “distinct roads”. Theorems with the same name are kept apart──Fermat’s test (the little theorem) in Paper 603 and Kummer’s theorem on carries in Paper 608 are different theorems from the Fermat and Kummer of this paper. Relation to earlier papers: Paper 641 counted that the ABC conjecture is a theorem for polynomials and a conjecture for integers, and placed Fermat for polynomials as a one-line consequence──this paper places that polynomial road and the road from ABC within a roll call of roads to the integer Last Theorem. Paper 31 gave the pi of Ramanujan’s series the address of a period of modular forms──Wiles’s road also passes through modular forms. What is added is deciding regularity up to 1000 by two routes, counting the exponents reached by neither descent nor Kummer, matching the lower bound n/3 on a counterexample’s quality with known triples, and placing the separator on the range of exponents each tool reaches. First, the road of infinite descent reaches n=4──x^4+y^4=z^2 has no solution up to 3000, while the same search found 534 coprime solutions of x^2+y^2=z^2. If the exponent is divisible by 4, this road suffices (Section 3). Second, Kummer’s road reaches the regular primes──if a prime p is regular (p divides none of the numerators of the Bernoulli numbers B_2,...,B_p-3), there is no solution with exponent p. Of the 167 primes from 3 to below 1000, 103 are regular (a share of 0.616766), and the only irregular ones below 100 are 37, 59 and 67 (Section 4). Third, and this is the core. Even together, the two roads leave exponents unreached──exponents not divisible by 4 and with no regular odd prime factor number 92 up to 1000, the smallest being 37. Each tool reaches a different range of exponents, and only Wiles’s road reached them all (Section 5). Fourth, the road from the ABC conjecture reaches large exponents (conditionally)──a counterexample would have quality log z^n/lograd(xyz) above n/3. For n>=5 that exceeds 5/3, above the known highest, 1.629912, checked in Paper 641. None of the 1268 triples with c<10^6 has q>5/3. Triples exceeding the lower bounds 1 and 4/3 for n=3 and 4, however, do exist (Section 6). Fifth, in the world of polynomials it takes one line, and near misses are not solutions──an exhaustive search over polynomials with small coefficients found 20 pairs for n=2 and none for n=3 or 4 (a consequence of Mason--Stothers). Among integers there are 18 triples up to 2000 that miss by one, such as 9^3+10^3=12^3+1, but none that match exactly (Sections 2 and 7). To Fermat’s Last Theorem, that x^n+y^n=z^n has no solution for n>=3, infinite descent reaches from n=4 and Kummer’s road from the regular primes, and 0.616766 of the odd primes below 1000 were regular. Even together the two do not reach 92 of the exponents up to 1000 (the smallest being 37)──since a counterexample’s quality would exceed n/3, the road from the ABC conjecture reaches large exponents conditionally, but not the small ones. In the world of polynomials it takes one line, and integer triples that miss by one are not solutions. The separator is the range of exponents each tool reaches. Placed among the earlier papers──the polynomial road and the ABC road of Paper 641 enter the roll call of roads to the integer Last Theorem. To be honest──Wiles’s road is given only an address, and the proof of the Last Theorem is not entered. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Fermat's Last Theorem, infinite descent, regular primes, Bernoulli numbers, Kummer. ----- n>=3 のとき、x^n+y^n=z^n に互いに素な正の整数の解は無い(フェルマーの最終定理。ワイルズが 1995 年に証明した)。本稿は証明をせず、この「解が無い」に届く道を並べ、それぞれがどの指数まで届くかを数える。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──最終定理とその証明(ワイルズ、テイラーとワイルズ、1995)、n=4 の無限降下(フェルマー)、正則素数についてのクンマーの定理(1850 年ごろ)、正則でない素数の一覧、正則な素数の割合が e^-1/2 に近いという予想(ジーゲル)、ABC 予想から大きな指数が除かれること(グランヴィルとタッカーの解説ほか)は、いずれも既知である。最終定理を証明しない──ワイルズの道(フライ曲線とモジュラー性)は、数で追えないので住所だけを書く。「別根」とは呼ばない──分かれているのは現象の源ではなく証明の道具なので、「別の道」と呼ぶ。同じ名前の別の定理に注意する──論文603 のフェルマーの判定(小定理)、論文608 のクンマーの定理(繰り上がり)は、本稿のフェルマー・クンマーとは別の定理である。既刊との関係:論文641 は、ABC 予想が多項式では定理で整数では予想であることを数え、多項式のフェルマーを一行の帰結として置いた──本稿はその多項式の道と ABC からの道を、整数の最終定理への道の点呼の中に置き直す。論文31 は、ラマヌジャンの級数の pi をモジュラー形式の周期と住所づけた──ワイルズの道もモジュラー形式を通る。加えたのは、正則素数を二つの道筋で 1000 まで判定したこと、降下とクンマーのどちらでも届かない指数を数えたこと、反例の質の下限 n/3 を既知の組と突き合わせたこと、分離子を「道具ごとに届く指数の範囲」に置いたことである。 第一に、無限降下の道は n=4 に届く──x^4+y^4=z^2 の解は 3000 まで 1 つも無く、同じ探し方で x^2+y^2=z^2 の互いに素な解は 534 個見つかった。指数が 4 で割り切れれば、この道で済む(第3節)。 第二に、クンマーの道は正則な素数に届く──素数 p が正則(ベルヌーイ数 B_2,...,B_p-3 の分子を p が割らない)なら、指数 p で解は無い。3 以上 1000 未満の素数 167 個のうち正則なのは 103 個(割合 0.616766)で、100 未満で正則でないのは 37・59・67 だけだった(第4節)。 第三に、これが本稿の芯である。二つの道を合わせても、届かない指数が残る──4 で割り切れず、正則な奇素数も因数に持たない指数は、1000 以下に 92 個あり、最小は 37 だった。道具ごとに届く指数の範囲が違い、全部に届いたのはワイルズの道だけである(第5節)。 第四に、ABC 予想からの道は大きな指数に届く(条件付き)──反例があれば、その組の質 log z^n/lograd(xyz) は必ず n/3 を超える。 n>=5 なら 5/3 を超え、論文641 で確かめた知られた最高 1.629912 を上回る。 c<10^6 の 1268 組に q>5/3 は 1 つも無かった。一方 n=3・4 の下限 1・4/3 を超える組はある(第6節)。 第五に、多項式の世界では一行で済み、近い組は解ではない──係数の小さい多項式の総当たりで、n=2 は 20 組見つかり、n=3・4 は 0 だった(メイソン=ストザースの帰結)。整数では 9^3+10^3=12^3+1 のように 1 だけずれる組が 2000 までに 18 組あるが、ぴったりの組は無い(第2節・第7節)。 n>=3 で x^n+y^n=z^n に解が無いというフェルマーの最終定理に、無限降下は n=4 から、クンマーの道は正則な素数から届き、1000 未満の奇素数の 0.616766 が正則だった。二つを合わせても、1000 以下の指数のうち 92 個(最小は 37)には届かない──反例があればその質は n/3 を超えるので、ABC 予想からの道は条件付きで大きな指数に届くが、小さな指数には届かない。多項式の世界では一行で済み、整数の 1 だけずれる組は解ではない。分離子は、道具ごとに届く指数の範囲である。既刊との位置──論文641 の多項式の道と ABC の道が、整数の最終定理への道の点呼の中に入る。正直に言えば──ワイルズの道には住所を書いただけで、最終定理の証明には入っていない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:フェルマーの最終定理、無限降下法、正則素数、ベルヌーイ数、クンマー。