What Separates the Mean from the Median Is Itô's Second-Order Term Itself ── At mu=0.10, sigma=0.20 and T=1 the mean is 110.517091808 and the median 108.328706767, a ratio of 1.020201340 agreeing with exp(sigma^2T/2) to 12 digits ── the growth of the mean logarithm is 0.080000000000, exactly mu-sigma^2/2 ── doubling sigma multiplies the gap by 4.122849, and at sigma=0 it vanishes ── [Paper 495]

Abstract

The -sigma^2/2 of Black-Scholes is sometimes read as a correction for discounting or risk aversion. This paper shows that it is Itô’s second-order term itself, measurable directly as the gap between mean and median──the ratio agrees with exp(sigma^2T/2) to 12 digits. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──Itô’s lemma, the lognormal distribution of geometric Brownian motion and the Black-Scholes formula are all standard. No pricing formula is derived──option valuation, risk-neutral measures and replicating portfolios are not the subject; only the distribution of the underlying. Itô’s 2 is not re-derived──its anatomy belongs to Paper 132; the result is borrowed and its financial consequence measured. Estimation is excluded──mu and sigma are taken as given, with no estimation error, time-varying volatility or jumps. No investment advice──which quantity one ought to look at is not the subject; only that the two differ, shown in numbers. Relation to earlier papers: Paper 132 showed that the 2 in Itô’s lemma is not a dimension──this paper measures where that 2 appears in the distribution of prices. Paper 292 showed that only the logarithm adds──which is why the median belongs to the logarithmic side. Paper 484 showed that maximising expectation goes bust──the quantity at work there is this same sigma^2/2. Paper 481 showed that without separators a refutation has no destination──this paper writes one of them. What is added is giving mean and median as 110.517091808 and 108.328706767, confirming the ratio against exp(sigma^2T/2) to 12 digits, confirming the logarithmic growth of 0.080000000000 by inversion, giving the factor 4.122849 for a doubled sigma, and confirming that the mean ignores sigma. First, the mean is 110.517091808 and the median 108.328706767 (Section 2). Second, this is the core of the paper. Their ratio 1.020201340 agrees with exp(sigma^2T/2) to 12 digits (Section 2). Third, the growth of the mean logarithm is 0.080000000000, exactly mu-sigma^2/2 (Section 2). Fourth, the gap is second order in sigma──doubling sigma multiplies it by 4.122849 (Section 3). Fifth, the mean itself does not depend on sigma──it stays 110.517091808 (Section 3). Sixth, the separator is whether one is looking at E[S] or E[ln S] (Section 4). The -sigma^2/2 of Black-Scholes is sometimes read as discounting for an aversion to risk──a reading that makes it about preferences. But the term contains no preference at all, coming only from the second derivative of ln and from (dB)^2=dt; as Paper 132 showed, the 2 is not a dimension but the consequence of stopping at second order. It appears as the gap between mean and median──at S_0=100, mu=0.10, sigma=0.20 and T=1, the mean is 110.517091808, the median 108.328706767 and their ratio 1.020201340. That ratio agrees with exp(sigma^2T/2) to 12 digits: not close but the same. The growth of the mean logarithm is 0.080000000000, exactly mu-sigma^2/2, and it returns on inversion. So the -sigma^2/2 in the equation fixes, on the distribution, how far the mean and the median stand apart. The gap is 2.020134 per cent: small-looking, but a quantity that compounds. The gap is second order, and the mean ignores sigma──doubling sigma multiplies the gap by 4.122849, the signature of a second-order dependence, exceeding 4 because of higher terms in the exponential. At sigma=0 the gap vanishes: without fluctuation, mean and median coincide. The mean itself stays 110.517091808 throughout, and what moves is the median. So “more volatility lowers the expectation” is wrong──what falls is the median, while the mean is constant and the distribution grows a long right tail. One thing separates them──is one looking at E[S], or at E[ln S]. Looking at E[S], sigma does not enter and mu alone fixes it. Looking at E[ln S], sigma^2/2 is subtracted and Itô’s term appears directly. The two are distinct roots by the criterion of Paper 300: both may be called “the expected value”, but one averages prices and the other logarithms. It is the quantity at work in Paper 484, where maximising expectation went bust and sigma^2/2 separated the expectation side from the growth side. As Paper 292 said, only the logarithm adds: prices move by multiplication, so an additive average departs from the multiplicative world’s summary value. This is one of the separators of Paper 481: when a price does not reach its forecast, whether mu was misjudged or mean and median were confused sends the repair elsewhere. To be honest──the distribution is assumed lognormal, as a consequence of geometric Brownian motion. Real prices have jumps and time-varying volatility, and then the closed form exp(sigma^2T/2) does not survive. What survives is only the direction: taking an additive average in a multiplicative world introduces a gap. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Itô's lemma, geometric Brownian motion, lognormal distribution, mean and median, Black-Scholes formula. ----- ブラック=ショールズの -sigma^2/2 は、割引や危険回避の補正だと読まれることがある。本稿が示すのは、それが伊藤の二階の項そのものであり、期待値と中央値の隔たりとして直に測れることである──比は exp(sigma^2T/2) に 12 桁一致する。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──伊藤の補題も、幾何ブラウン運動の対数正規分布も、ブラック=ショールズ式も標準的である。価格式を導かない──オプションの評価式、危険中立測度、複製ポートフォリオは主題ではない。基礎資産の分布だけを見る。伊藤の 2 を導き直さない──その内訳は論文132 が扱っており、本稿は結果を借りて金融側の帰結を測る。推定を扱わない──mu と sigma は与えられたものとし、推定誤差、ボラティリティの時間変動、跳びは入れない。投資を勧めない──どちらの量を見るべきかは主題ではない。二つが違うことを数で示すだけである。既刊との関係:論文132 は伊藤の 2 が次元ではないと示した──本稿はその 2 が価格の分布のどこに出るかを測る。論文292 は足せるのが対数だけだと示した──中央値が対数の側の量である理由がそこにある。論文484 は期待値を最大にする賭け方が破産すると示した──そこで効いていた sigma^2/2 と同じ量である。論文481 は分離子が無いと反証の行き先が決まらないと示した──本稿はその分離子を一本書く。加えたのは、期待値と中央値を 110.517091808 と 108.328706767 で出したこと、比が exp(sigma^2T/2) に 12 桁一致することを確かめたこと、対数の伸びが 0.080000000000 であることを逆算で確かめたこと、sigma を 2 倍にした 4.122849 倍を出したこと、期待値が sigma に依らないことを確かめたことである。 第一に、期待値は 110.517091808、中央値は 108.328706767 である(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。比 1.020201340 が exp(sigma^2T/2) に 12 桁一致する(第2節)。 第三に、対数の期待値の伸びは 0.080000000000 で、mu-sigma^2/2 にちょうど等しい(第2節)。 第四に、隔たりは sigma の二次である──sigma を 2 倍にすると 4.122849 倍になる(第3節)。 第五に、期待値そのものは sigma に依らない──sigma=0 でも 110.517091808 である(第3節)。 第六に、分離子は「E[S] を見ているか、E[ln S] を見ているか」である(第4節)。 ブラック=ショールズの -sigma^2/2 は、危険を嫌う分だけ割り引く補正だと読まれることがある──選好や割引率の話に見えるという読み方である。だがこの項は選好を一切含まず、ln の二階微分と (dB)^2=dt だけから出る。論文132 が示したとおり、2 は次元ではなく、二階で止まることの帰結である。期待値と中央値の隔たりとして現れる──S_0=100、mu=0.10、sigma=0.20、T=1 で、期待値は 110.517091808、中央値は 108.328706767、比は 1.020201340 である。その比は exp(sigma^2T/2) に 12 桁一致し、近いのではなく同じである。対数の期待値の伸びは 0.080000000000 で、mu-sigma^2/2 にちょうど等しく、逆算しても戻る。つまり式の中の -sigma^2/2 は、分布の上では期待値と中央値がどれだけ離れるかを決めている。隔たりは 2.020134 パーセントで、小さく見えるが複利で積み上がる量である。隔たりは二次であり、期待値は sigma を見ない──sigma を 2 倍にすると隔たりは 4.122849 倍になり、二次であることの署名になる。ちょうど 4 でないのは指数の高次項による。 sigma=0 では隔たりが消え、揺らぎが無ければ期待値と中央値は一致する。期待値そのものは sigma に依らず 110.517091808 のままで、動いているのは中央値のほうである。だから「揺らぎが大きいほど期待値が下がる」は誤りで、下がるのは中央値であり、期待値は一定のまま分布が右に長い尾を伸ばしているだけである。分けているものは一つ──見ているのが E[S] か、E[ln S] か。 E[S] を見るなら sigma は効かず、mu だけで決まる。 E[ln S] を見るなら sigma^2/2 が引かれ、伊藤の項がそのまま出る。二つは論文300 の基準で別根であり、どちらも「期待される値」と呼べるが、一方は価格の平均、一方は対数の平均で、平均を取る前に何を取ったかが違う。論文484 で効いていたのと同じ量で、期待値を最大にする賭け方が破産する話でも、sigma^2/2 が期待値の側と成長率の側を分けていた。論文292 が言ったとおり足せるのは対数だけで、価格は掛け算で動くから、足し算の平均を取ると掛け算の側の代表値とずれる。これは論文481 でいう分離子の一本で、「予測した価格に届かない」という報告が来たとき、mu の見積もりが外れたのか、期待値と中央値を取り違えたのかで直す先が違う。正直に言えば──分布を対数正規と置いている。幾何ブラウン運動の帰結としてであり、実際の価格には跳びも、ボラティリティの時間変動もあって、そのとき exp(sigma^2T/2) という閉じた形は保たれない。保たれるのは「掛け算の世界で足し算の平均を取るとずれる」という向きだけである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:伊藤の補題、幾何ブラウン運動、対数正規分布、期待値と中央値、ブラック=ショールズ式。