The Theoretical Floor Rises When You Ask for More ── From an osmotic pressure of 29.7458 bar, the minimum work is 0.9508 kWh/m^3 at 25 per cent recovery and 1.5273 at 75 ── against a plant at 3.0 the ratio is 2.6190, and the floor is a moving target ── [Paper 446]

Abstract

A theoretical floor is taken to be a fixed target. This paper shows that how much one asks for moves the floor itself──so “how many times the floor” is undetermined without stating the condition. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──osmotic pressure, the minimum work of reversible separation and the thermodynamic floor for reverse osmosis are all standard. No plant is designed──choice of membrane, number of stages and energy recovery are not the subject. No plant figure is asserted──3.0 kWh/m^3 is representative and moves with scale, site and pretreatment. Pre- and post-treatment are excluded──intake, clarification, disinfection and distribution are not the subject; only the separation itself. The composition is simplified──seawater is treated as an ideal 0.6 mol/L sodium chloride solution, with no activity coefficients and no other ions. No process is preferred──comparing thermal and membrane methods is not the subject. Relation to earlier papers: Paper 445 showed that the waiting is for diffusion, not reaction──there too, which of two limits decided what to do. Paper 300 showed that common root and distinct root can be decided──“a fixed floor” and “a floor that moves with demand” are distinct roots by that criterion. Paper 417 showed that the ceiling on chain length moves with the requirement──there too, moving the demand moved the limit. This is a second instance of the same shape. Paper 423 showed that a right table still loses──there too, a quantity stated without its condition misled. What is added is giving the osmotic pressure as 29.7458 bar and checking it against the known range, tabulating the minimum work at three recoveries, showing the floor moving by a factor of 1.61, giving the ratio to a plant as 2.6190, placing the zero-recovery limit as the boundary, and placing the separator at “fixed or moving with demand”. First, the osmotic pressure of seawater is 29.7458 bar, inside the known range of 25 to 30 (Section 2). Second, the minimum work at 50 per cent recovery is 1.1455 kWh/m^3 (Section 2). Third, this is the core of the paper. Raising the recovery from 25 to 75 per cent takes the floor from 0.9508 to 1.5273 kWh/m^3, a factor of 1.61 (Section 3). Fourth, against a plant at 3.0 kWh/m^3, the ratio at 50 per cent recovery is 2.6190 (Section 2). Fifth, as the recovery approaches zero, the floor approaches the osmotic pressure itself (Section 3). Sixth, the separator is whether the floor is fixed or moves with the demand (Section 4). A theoretical floor is taken to be a fixed target──a number set by thermodynamics, something one approaches──but the recovery r appears in the expression, and until one fixes how much to extract the minimum work is undetermined. The floor itself is a function of the demand. The value of the floor is trustworthy enough──the osmotic pressure of seawater is 29.7458 bar, inside the known 25 to 30, so even the simplified composition matches. At 50 per cent recovery the minimum work is 1.1455 kWh/m^3, and against a plant at 3.0 the ratio is 2.6190. Under three times the floor, far closer than the common picture of a tenfold waste──there is only a factor of 2.6 of room left, and this number says the ceiling is near. But that floor moves with the demand──raising the recovery through 0.25, 0.50 and 0.75 takes the minimum work through 0.9508, 1.1455 and 1.5273 kWh/m^3, a factor of 1.61. The more one tries to take, the more each cubic metre costs at minimum──because what remains gets saltier, and the last drop is the dearest. As the recovery approaches zero nothing is concentrated and the floor approaches the osmotic pressure itself, which is the true minimum. So “how many times the floor” is undetermined without the recovery: the same plant reads 3.16 times at 0.25 and 1.96 at 0.75. One thing separates them──is the floor fixed, or does it move with the demand. With a fixed floor the ratio measures the plant alone and two plants can be compared directly; with a moving floor it mixes performance with how much was asked, and lowering the recovery improves the ratio without touching the plant. They are distinct roots by the criterion of Paper 300, one a property of the plant and one of the plant paired with a demand. It is the same shape as Paper 417, where raising the requirement from 1 to 10 alone dropped the ceiling from 6 steps to 5: in both, the limit was a function of the demand. So print the recovery whenever the ratio is reported──the same shape as Paper 423, where a probability needed its starting point and stopping rule. To be honest──seawater has been treated as an ideal sodium chloride solution with no activity coefficients and no other ions. The values shift a little, but the floor remains an increasing function of the recovery. One last thing──the plant figure of 3.0 excludes pretreatment and distribution, so only the separation is being compared. Compare total electricity and the ratio grows. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: seawater desalination, reverse osmosis, osmotic pressure, minimum work of separation, recovery ratio. ----- 理論の下限は、変わらない目標だと思われている。本稿が示すのは、どれだけ取ろうとするかで下限そのものが動くことである──だから「下限の何倍か」という比も、条件を言わなければ決まらない。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──浸透圧、可逆分離の最小仕事、逆浸透の熱力学的下限はすべて既知である。装置を設計しない──膜の選び方、段数、エネルギー回収装置は主題ではない。実機の値を主張しない──3.0 kWh/m^3 は代表値であり、規模・立地・前処理で動く。前処理と後処理を含めない──取水、除濁、殺菌、送水は主題ではない。分離そのものだけを見る。海水の組成を単純化する──塩化ナトリウム 0.6 mol/L の理想溶液として扱い、活量係数も他のイオンも入れていない。どの方式が良いかを論じない──蒸発法と膜法の比較は主題ではない。既刊との関係:論文445 は待っているのが反応ではなく拡散であることを示した──そこでも、どちらが律速かで打つ手が変わった。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──「固定された下限」と「要求で動く下限」は、その基準で別根である。論文417 は段数の上限が必要量で動くことを示した──そこでも、要求の側を動かすと限界が動いた。本稿は同じ形の二例目である。論文423 は表が当たっていても売買が負けることを示した──そこでも、条件を言わない量が誤解を生んだ。加えたのは、浸透圧を 29.7458 bar と出して既知の範囲と照合したこと、三つの回収率で最小仕事を並べたこと、下限が 1.61 倍動くことを示したこと、実機との比を 2.6190 倍と出したこと、回収率ゼロの極限を境目として置いたこと、分離子を「固定か、要求で動くか」に置いたことである。 第一に、海水の浸透圧は 29.7458 bar で、既知の 25〜30 bar の範囲に入る(第2節)。 第二に、回収率 50 パーセントでの最小仕事は 1.1455 kWh/m^3 である(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。回収率を 25 から 75 パーセントへ上げると、下限は 0.9508 から 1.5273 kWh/m^3 へ 1.61 倍になる(第3節)。 第四に、実機の 3.0 kWh/m^3 に対する比は、回収率 50 パーセントで 2.6190 倍である(第2節)。 第五に、回収率をゼロに近づけると、下限は浸透圧そのものへ近づく(第3節)。 第六に、分離子は「下限が固定か、要求で動くか」である(第4節)。 理論の下限は、変わらない目標だと思われている──熱力学が決めた数へ向かって近づいていく、という像である。だが式には回収率 r が入っており、どれだけ取り出すかを決めなければ最小仕事は決まらない。下限そのものが、要求の関数である。まず、下限の値そのものは信頼できる──海水の浸透圧は 29.7458 bar で、既知の 25〜30 bar に入る。単純化した組成でも桁と値が合う。回収率 50 パーセントでの最小仕事は 1.1455 kWh/m^3、実機の代表値 3.0 との比は 2.6190 倍である。下限の三倍弱で、よくある「まだ 10 倍も無駄がある」という像よりずっと近く、改善の余地は 2.6 倍ぶんしかない──天井が近いことを、この数が言っている。ところが、その下限が要求で動く──回収率を 0.25・0.50・0.75 と上げると、最小仕事は 0.9508・1.1455・1.5273 kWh/m^3 と 1.61 倍動く。たくさん取ろうとするほど、一立方メートルあたりの最小の仕事が増える──取り出すほど残った海水の浸透圧が上がるからで、最後の一滴を取り出すのがいちばん高くつく。回収率をゼロに近づけると濃くならないので、下限は浸透圧そのものへ近づく。そこが本当の最小である。だから「下限の何倍か」という比は、回収率を言わなければ決まらない──同じ実機でも 0.25 で比べれば 3.16 倍、0.75 なら 1.96 倍になる。分けているものは一つ──下限が固定か、要求で動くか。固定なら比は装置の性能だけを表し、どちらが優れているかを直接比べられる。要求で動くなら、比には装置の性能とどれだけ取ろうとしたかが混ざり、回収率を下げれば性能を変えずに比が良くなる。論文300 の基準で別根であり、一方は装置の量、一方は装置と要求の組の量である。論文417 と同じ形で、そこでは必要量を 1 から 10 に上げるだけで段数の上限が 6 から 5 へ落ちた。どちらも、限界が要求の関数だった。だから比を報告するときは回収率を併記する──論文423 で確率に出発点と停止条件が要ったのと、同じ形である。正直に言えば──海水を塩化ナトリウムの理想溶液として扱い、活量係数も他のイオンも入れていない。値は少し動くが、下限が回収率の増加関数であることは変わらない。最後に一つ──実機の 3.0 には前処理も送水も入っておらず、分離そのものだけを比べている。全体の電力で比べれば、比はもっと大きくなる。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:海水淡水化、逆浸透、浸透圧、分離の最小仕事、回収率。