Going Faster Makes the Wind Stronger, Which Is Why a Sailing Craft Can Outrun the Wind ── dead downwind the apparent wind reaches 0 the instant the boat matches the wind ── across the wind, a boat doing 50 m/s feels 50.9902 m/s ── same wind, same sail: one is capped and the other is not ── [Paper 390]

Abstract

A sail is pushed by the wind, so a boat cannot outrun the wind──so it seems. This paper shows that changing only the heading removes the cap──neither the wind nor the sail is altered at all. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──apparent wind, propulsion by lift and the drag-angle speed limit are all known in yacht engineering. No craft is designed──sail plan, trim and hull form are not given. Only the velocity triangle and the drag angles are examined. No fluid dynamics is built──the generation of lift and stall are not entered. Lift-to-drag ratios are treated as given numbers. Waves and the sea surface are not treated──wave resistance, planing and sea state are not the subject. This is why an ice boat sits closer to the formula. Wind structure is not treated──the vertical wind profile and turbulence are not the subject; the wind is taken as uniform. No record is claimed──whether any particular speed record stands is not the subject. Relation to earlier papers: Paper 387 showed that when to leave is decided outside the place──here the presence of a cap is decided by the heading. Paper 384 showed that the frequency term of free-space loss comes from the receiving side──here the apparent wind comes from one’s own speed. Paper 357 showed that maximum power and maximum efficiency are different points──here the balance of thrust and drag sets the ceiling. Paper 300 showed that same-root and different-root can be decided──true wind and apparent wind are different-root by that criterion. What is added is putting numbers on the apparent wind at six boat speeds, showing that the cap is present downwind and absent across the wind, obtaining 50.9902 m/s at 50 m/s, confirming the 4.4444 ceiling and the symmetry of the formula, and placing the separator at “parallel to the true wind”. First, dead downwind, the apparent wind reaches 0.000000 m/s the instant the boat matches the 10 m/s wind (Section 2). Second, across the wind, a boat doing 10 m/s still feels 14.1421 m/s (Section 2). Third, and this is the core of the paper. At 50 m/s the apparent wind is 50.9902 m/s──stronger the faster you go, with no ceiling (Section 2). Fourth, the ceiling is set by the sum of the drag angles of sail and craft, giving 4.4444 for an ice boat (Section 3). Fifth, improving the sail alone is not enough: the formula is symmetric in sail and craft (Section 3). Sixth, the separator is whether the heading is parallel to the true wind or not (Section 5). a sail is pushed by the wind, so a boat cannot outrun the wind──so it seems──yet changing only the heading removes that cap. Dead downwind the apparent wind is |V_t-V_b|; across the wind it is sqrtV_t^2+V_b^2──one is a difference and reaches exactly zero at V_b=V_t; the other is a sum of squares and never does. Since the driving force comes from the apparent wind, the presence of a cap is settled at this one point. On the 10 m/s row, downwind gives 0.0000 m/s and across the wind 14.1421 m/s──same wind, same boat speed: the heading alone decides whether the thrust vanishes or the boat feels a wind 41 per cent stronger than the true one. The across-the-wind column rises monotonically from 10.0000 to 50.9902, with no ceiling. The angle closes from 90 degrees to 11.31, but the wind itself does not weaken. Five times the true wind is first exceeded at 49 m/s, bracketed by 49.912 at 48.9 m/s and 50.010 at 49 m/s. The ceiling is set by both sail and craft──V_b/V_t|_max=1/(1/(L/D)_sail+1/(L/D)_craft), giving 4.4444 for an ice boat (5, 40) and 2.5000 for an ordinary boat (5, 5). Both exceed one, so beating the wind speed is not an exception but the ordinary consequence of the formula. The formula is symmetric: (100,5) and (5,100) both give 4.7619, so improving only the sail buys exactly as much as improving only the craft. An ice boat is therefore not fast because of its sail──the sail stays at L/D=5, and changing only the contact side from 5 to 40 turns 2.5000 into 4.4444. The cap is made by the heading, not by the wind──running with the wind closes the difference, and no improvement to the sail removes it; orthogonal components do not cancel, and sqrtV_t^2+V_b^2>V_b always holds. As in Paper 384, where the frequency term came from the receiving antenna, a quantity thought to be outside comes from one’s own side. By the criterion of Paper 300 they are different-root: the true wind is set by the weather, the apparent wind by the weather and one’s own speed together. One thing does the separating──does the boat’s course lie along the true wind, or at an angle to it. The separator is not continuous: only the parallel case is singular, and any angle other than zero, however small, removes the cap. Which is why one sails at an angle and zigzags even when the destination is downwind──the longer path arrives sooner. Race the same craft both ways on ice and the difference is an order of magnitude. To be honest──both 4.4444 and 2.5000 come from a model holding the lift-to-drag ratios constant, and in practice they vary with speed. What does not move is that the apparent wind reaches zero only dead downwind, and never on any other heading. One last thing──“you cannot outrun the wind” is correct for exactly one heading. On that heading it is exactly correct. Fail to check the scope of a true statement and its very truth manufactures the error. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 帆は風に押されて進むのだから、風より速くは走れない──そう思える。本稿が示すのは走る向きを変えるだけで頭打ちが消えることである──風も帆も一切変えていない。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──見かけの風、揚力による推進、抗力角による艇速上限はすべてヨット工学で既知である。艇を設計しない──帆型・セールトリム・船体形状は与えない。速度三角形と抗力角だけを見る。流体力学を作らない──揚力の発生機構や失速には立ち入らない。揚抗比を与えられた数として扱う。波と海面を扱わない──造波抵抗・滑走・海面状態は主題ではない。そのため氷上艇のほうが式に近い。風の構造を扱わない──風速の高度分布や乱れは主題ではない。一様な風とする。記録を主張しない──実艇の最高速度記録の当否は主題ではない。既刊との関係:論文387 はいつ出るかが場所の外で決まることを示した──ここでは頭打ちの有無が向きで決まる。論文384 は自由空間損失の周波数の項が受信側から出ることを示した──ここでは見かけの風が自分の速度から出る。論文357 は最大出力と最大効率が別の点であることを示した──ここでは推力と抗力の釣り合いが上限を決める。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──真風と見かけの風は、その基準で別根である。加えたのは、六つの艇速で見かけの風を数に出したこと、真風下と横走りで頭打ちの有無が逆になることを示したこと、50 m/s で 50.9902 m/s という値を出したこと、上限が 4.4444 倍になることと式が対称であることを確かめたこと、分離子を「真風と平行か」に置いたことである。 第一に、真風下では、艇速が風速 10 m/s に達した瞬間に見かけの風が 0.000000 m/s になる(第2節)。 第二に、真風に直角に走ると、艇速 10 m/s でも見かけの風は 14.1421 m/s ある(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。艇速 50 m/s では見かけの風が 50.9902 m/s──速くなるほど強くなり、上限が無い(第2節)。 第四に、上限を決めるのは帆と艇の抗力角の和で、氷上艇なら 4.4444 倍である(第3節)。 第五に、帆だけを良くしても足りない。式は帆と艇について対称である(第3節)。 第六に、分離子は「進む向きが真風と平行か、そうでないか」である(第5節)。 帆は風に押されて進むのだから、風より速くは走れない──そう思える──だが走る向きを変えるだけで、その頭打ちが消える。真風下では見かけの風が |V_t-V_b|、真風に直角なら sqrtV_t^2+V_b^2 である──片方は引き算で、V_b=V_t のときちょうどゼロになる。もう片方は二乗和で、ゼロにならない。推進力は見かけの風から出るのだから、頭打ちの有無はこの一点で決まる。艇速 10 m/s の行で、真風下は 0.0000 m/s、横走りは 14.1421 m/s である──同じ風・同じ艇速で、向きを変えただけで、推進力がゼロになるか、真風より 41 パーセント強い風を受けるかが分かれる。横走りの列は 10.0000 から 50.9902 まで単調に増え、上限が無い。角度は 90 度から 11.31 度へ閉じていくが、風そのものは弱まらない。真風の 5 倍を超えるのは艇速 49 m/s からで、48.9 m/s の 49.912 と 49 m/s の 50.010 で境目を挟んだ。上限を決めるのは、帆と艇の両方である──V_b/V_t|_max=1/(1/(L/D)_帆+1/(L/D)_艇) で、氷上艇(5・40)なら 4.4444 倍、普通の帆船(5・5)なら 2.5000 倍。どちらも 1 より大きく、風速を超えることは例外ではなく式の普通の帰結である。式は帆と艇について対称で、(100,5) と (5,100) がどちらも 4.7619 倍──帆だけを良くしても同じだけしか伸びない。だから氷上艇が速いのは帆のせいではない。帆の揚抗比は普通の艇と同じ 5 のままで、接地側の 5 を 40 にしただけで 2.5000 倍が 4.4444 倍になる。頭打ちは風ではなく向きが作っている──風と同じ向きに走れば差が縮むのは幾何の帰結で、帆をどれだけ良くしても消えない。直交する二つの成分は打ち消し合わず、sqrtV_t^2+V_b^2>V_b が常に成り立つ。論文384 で周波数の項が受信アンテナから出ていたのと同じ形で、外にあると思っていた量が自分の側から来ている。論文300 の基準で別根であり、真風は気象が、見かけの風は気象と自分の速度の両方が決める。分けているものは一つ──艇の進行が真風と同じ直線上にあるか、角度をもつか。分離子は連続ではなく、平行のところだけが特異である──角度が 0 でなければ、どんなに小さくても頭打ちは消える。だから風下へ行きたいときでも斜めに走ってジグザグに下るほうが速く着く。同じ艇で真下りとジグザグを競走させれば、氷上艇では差が桁で出る。正直に言えば──4.4444 倍も 2.5000 倍も揚抗比を定数と置いた模型の値であり、実際には速度で変わる。動かないのは、真風下でだけ見かけの風がゼロになることと、それ以外の向きではならないことである。最後に一つ──「風より速くは走れない」は、一つの向きについてだけ正しい。その向きでは厳密に正しい。正しい命題の適用範囲を確かめないと、正しさのほうが誤解を作る。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。