The Humidity Goes from 53.80 Per Cent to 100 Without a Drop of Water Being Added ── lift the parcel 1250 m and temperature and dew point meet at exactly 12.75 degrees ── cloud bases are flat because only height decides condensation ── the strength of the updraught does not appear in the formula ── [Paper 399]

Abstract

Humidity rising sounds like water being added. This paper shows that the humidity can be taken to 100 per cent with the amount of water untouched──it is enough to lift the air. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the lifting condensation level, the dry adiabatic lapse rate, the Magnus formula and Espy’s rule are all known in meteorology. No weather is forecast──cloud formation and precipitation are not the subject. Only the thermodynamics of one air parcel. No cloud physics is built──condensation nuclei, supersaturation and droplet growth are not entered. Only the height at which saturation is reached. Adiabatic behaviour is assumed──mixing with the surroundings (entrainment) is ignored; real cloud bases can be higher. The dew-point lapse rate is held constant──1.8 K/km is a representative value and strictly depends on pressure. Cloud shape is not treated──cloud tops, cloud types and convective structure are not the subject. Relation to earlier papers: Paper 392 showed that the boiling point is a property of substance and pressure together──here saturation is a property of water content and temperature together. Paper 386 showed that solubility is set by substance, solvent and temperature──the same shape: saturation is not the property of one quantity. Paper 379 showed that “twice as hot” has three answers──here “humidity” names two things. Paper 300 showed that same-root and different-root can be decided──absolute and relative humidity are different-root by that criterion. What is added is putting numbers on humidity and cloud base under four conditions, confirming from two independently followed lines that temperature and dew point coincide at the base, confirming that the mixing ratio is preserved, showing that only the difference matters and not the absolute values, and placing the separator at “more water or a smaller container”. First, air at 25 degrees with a dew point of 15 has a relative humidity of 53.80 per cent (Section 2). Second, on lifting, the temperature falls at 9.8 K/km and the dew point at 1.8 K/km, closing the gap at 8.0 K/km (Section 1). Third, and this is the core of the paper. At 1250 m both reach exactly 12.75 degrees and the relative humidity is 100.000000 per cent (Section 2). Fourth, throughout, the mixing ratio is held to within 1 per cent. No water was added (Section 2). Fifth, the updraught speed does not enter the cloud-base height, which is set by one line, 125 m/K (Section 3). Sixth, the separator is whether the water increased or the container shrank (Section 5). humidity rising sounds like water being added──but it can be taken to 100 per cent with the amount of water untouched. Relative humidity is the fraction e_s(T_d)/e_s(T), with the water in the numerator and the size of the container in the denominator──lifting conserves the numerator (the mixing ratio) and changes only the denominator. The temperature falls at 9.8 K/km and the dew point at 1.8, so the gap closes at 8.0 K/km and must eventually vanish. Air at 25 degrees with a dew point of 15 is at 53.80 per cent, far from saturation──and reaches 100 per cent by rising 1250 m. The temperature becomes 25-9.8x1.25=12.75 degrees and the dew point 15-1.8x1.25=12.75──two independently followed lines coinciding exactly. The relative humidity there is 100.000000 per cent, and throughout the mixing ratio is held to within 1 per cent. What rose was the humidity, not the water. What sets the cloud base is the difference alone──25/10 and 30/15 degrees differ in relative humidity (38.74 against 40.14) and share the same cloud base of 1875.0 m. Neither relative nor absolute humidity appears in z=125(T-T_d). Nor does the updraught speed──rise slowly or quickly and condensation happens at the same height. Which is why cloud bases are flat──T and T_d are nearly uniform horizontally, so however uneven the lifting, the condensation height is level. A cloud base is not the underside of an object but a surface of constant height; only the air that passes through it turns white, and nothing is “floating”. Cloud tops are not flat, because the top is set by the strength of the lifting and only the base is independent of speed. The 125 m/K agrees with Espy’s independently known rule. One thing does the separating──did the numerator grow, or did the denominator shrink. Evaporation raises the mixing ratio and the dew point; lifting leaves the mixing ratio unchanged and lowers the dew point. The relative humidity rises either way, so deciding requires one further measurement. By the criterion of Paper 300 they are different-root──absolute humidity set by the water alone, relative humidity by water and temperature together, the shape of Paper 392. So “the humidity is 80 per cent today” says nothing about the water: there is more water at 50 per cent in summer than at 80 per cent in winter. To be honest──both 1250 m and 12.75 degrees come from a model with constant lapse rates, and the dew-point rate shifts a little with pressure. What does not move is that the mixing ratio is conserved and that the two lines must cross. One last thing──“saturated” does not mean the water became full. The same water overflowed because the container shrank. Whether it overflows is not settled by the amount of water alone. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 湿度が上がるのは、水が増えるからだと思える。本稿が示すのは水の量を一切変えずに湿度を 100 パーセントにできることである──持ち上げるだけでよい。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──持ち上げ凝結高度、乾燥断熱減率、マグナス式、エスピーの経験則はすべて気象学で既知である。天気を予報しない──雲の発生や降水は主題ではない。一つの空気塊の熱力学だけを見る。雲物理を作らない──凝結核・過飽和・雲粒の成長には立ち入らない。飽和に達する高度だけを見る。断熱を仮定している──周囲の空気との混合(エントレインメント)は無視する。実際の雲底はこれより高くなりうる。露点の減率を定数と置いている──1.8 K/km は代表値であり、厳密には気圧に依る。雲の形を扱わない──雲頂・雲の種類・対流の構造は主題ではない。既刊との関係:論文392 は沸点が物質と圧力の対の性質であることを示した──ここでは飽和が水の量と温度の対で決まる。論文386 は溶解度が物質と溶媒と温度の組で決まることを示した──同じ形で、飽和も一つの量の性質ではない。論文379 は「二倍の温度」に三つの答があることを示した──ここでは「湿度」が二つを指している。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──絶対湿度と相対湿度は、その基準で別根である。加えたのは、四つの条件で相対湿度と雲底高度を数に出したこと、雲底で気温と露点がちょうど一致することを二本の直線から独立に確かめたこと、混合比が保たれることを確かめたこと、差だけが効いて絶対値が効かないことを示したこと、分離子を「水が増えたか、容れ物が縮んだか」に置いたことである。 第一に、気温 25 度・露点 15 度の空気の相対湿度は 53.80 パーセントである(第2節)。 第二に、持ち上げると気温は 9.8 K/km、露点は 1.8 K/km で下がり、差が 8.0 K/km で縮む(第1節)。 第三に、これが本稿の芯である。1250 m で気温と露点がちょうど同じ 12.75 度になり、相対湿度が 100.000000 パーセントになる(第2節)。 第四に、そのあいだ混合比は 1 パーセント以内で保たれている。水は増えていない(第2節)。 第五に、雲底の高さに上昇気流の強さは入っていない。125 m/K の一本で決まる(第3節)。 第六に、分離子は「水が増えたか、容れ物が縮んだか」である(第5節)。 湿度が上がるのは水が増えるからだと思える──だが水の量を一切変えずに、100 パーセントにできる。相対湿度は e_s(T_d)/e_s(T) という分数で、分子が水の量、分母が容れ物の大きさである──持ち上げても分子(混合比)は保存され、変わるのは分母だけである。気温は 9.8 K/km、露点は 1.8 K/km で下がるので、差が 8.0 K/km で縮み、いつか出会う。気温 25 度・露点 15 度の空気は相対湿度 53.80 パーセントで、飽和にはほど遠い──ところが 1250 m 上がるだけで 100 パーセントになる。気温は 25-9.8x1.25=12.75 度、露点は 15-1.8x1.25=12.75 度──独立に追った二本の直線がちょうど一致する。そこでの相対湿度は 100.000000 パーセントで、そのあいだ混合比は 1 パーセント以内で保たれている。増えたのは湿度であって、水ではない。雲底を決めているのは差だけである──25/10 度と 30/15 度は相対湿度が 38.74 と 40.14 で違うのに、雲底はどちらも 1875.0 m で同じである。 z=125(T-T_d) に相対湿度も絶対湿度も現れない。そして上昇気流の速度も現れない──ゆっくり上がっても速く上がっても、同じ高さで凝結する。だから雲の底が平らになる──水平方向に T と T_d がほぼ一様なので、上昇の強さがばらついても凝結する高さは揃う。雲の底は物体の下面ではなく、一つの高度の面であり、そこを通った空気だけが白くなる。「浮かんでいる」のではない。雲頂が平らにならないのは、上端が上昇の強さで決まるからで、下端だけが揃うのは下端だけが速度に依らないからである。125 m/K はエスピーの経験則として独立に知られた値と一致する。分けているものは一つ──分子が増えたか、分母が減ったか。水が蒸発して加われば混合比も露点も上がるが、持ち上げて冷えたなら混合比は変わらず露点は下がる。相対湿度はどちらでも上がるので、判定には露点をもう一つ測ることが要る。論文300 の基準で別根であり、絶対湿度は水の量が、相対湿度は水の量と温度の組が決める──論文392 で沸点が物質と圧力の対の性質だったのと同じ形である。だから「今日は湿度 80 パーセント」は水の量を言っておらず、冬の 80 パーセントより夏の 50 パーセントのほうが水は多い。正直に言えば──1250 m も 12.75 度も減率を定数と置いた模型の値であり、露点の減率 1.8 K/km は気圧で少し動く。動かないのは、混合比が保たれることと、二本の直線が必ず交わることである。最後に一つ──「飽和した」は、水がいっぱいになったという意味ではない。同じ量の水が、容れ物が縮んだせいで溢れただけである。溢れるかどうかは、水の量だけでは決まらない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。