Put a Number on a Pendulum's "Small Angle" and Ten Degrees Costs 164.78 Seconds a Day ── two degrees costs 6.58 s/day and thirty degrees 1504.12 s/day (25 minutes) ── yet at 170 degrees the period is only 2.4394 times, and it reaches three times at 175.8765 degrees ── the divergence bites only in the last fraction of a degree ── [Paper 396]

Abstract

We are taught that a pendulum is isochronous if the amplitude is small. This paper asks how small is small──even ten degrees costs 164.78 seconds a day, which is useless for a clock. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the exact period of a simple pendulum, its elliptic-integral form and Huygens’s cycloidal pendulum are all known. No clock is designed──escapements and temperature compensation are not the subject. Only geometry and mechanics. Damping is not treated──air resistance and bearing friction are not the subject. Only a conservative system. No measurement is claimed──the accuracy of real pendulum clocks is outside this paper. Only what the formula gives. Rigid bodies are not treated──only a point-mass simple pendulum; the moment of inertia of a physical pendulum is not the subject. Driving is not treated──how the amplitude is sustained is not the subject. Relation to earlier papers: Paper 379 showed that “twice as hot” has three answers──here the phrase “small angle” contains no number. Paper 391 showed that the significant wave height is neither the mean nor the maximum──in both, a word hides a number. Paper 392 showed that the boiling point is a property of substance and pressure together──here the period is a property of length and amplitude together. Paper 300 showed that same-root and different-root can be decided──the harmonic oscillator and the simple pendulum are different-root by that criterion. What is added is putting numbers on the period ratio and daily error at seven amplitudes, obtaining 164.78 s/day at ten degrees, showing that 170 degrees does not reach three times, locating the tripling amplitude at 175.8765 degrees, and placing the separator at “what the restoring force is proportional to”. First, the period ratio is T/T_0=(2/pi)K(sin^2(theta/2)), a complete elliptic integral of the first kind (Section 1). Second, one degree costs 1.64 s/day and two degrees 6.58 s/day (Section 2). Third, and this is the core of the paper. Ten degrees costs 164.78 s/day: two minutes and forty-five seconds (Section 2). Fourth, thirty degrees costs 1504.12 s/day (25.07 minutes) and ninety degrees 4.33 hours (Section 2). Fifth, yet at 170 degrees the period is only 2.4394 times, and reaches three times at 175.8765 degrees (Section 3). Sixth, the separator is whether the restoring force goes as the displacement or as its sine (Section 5). we are taught that a pendulum is isochronous if the amplitude is small──but the word “small” contains no number. Exactly, T/T_0=(2/pi)K(sin^2(theta/2))──isochronism comes from the approximation sinthetaapprox theta, and the equation itself is not isochronous. How small counts as small is fixed by the accuracy demanded. Ten degrees costs 164.78 seconds a day──two minutes and forty-five seconds, and ten degrees looks small enough by any intuition while being useless for a clock. Only at two degrees does it fall to 6.58 s/day, which is why working pendulum clocks hold the amplitude to a few degrees──the meaning of “small” is back-computed from the accuracy required. The error grows as the square of the amplitude (1.64 s at one degree, 6.58 s at two), reaching 1504.12 s (25.07 minutes) at thirty degrees and 4.33 hours at ninety. At the other end, the divergence bites far later than expected──at 170 degrees the period is only 2.4394 times, and three times arrives at 175.8765 degrees. T/T_0 diverges logarithmically at 180 degrees, but at 179.9 degrees it is still 5.3669. “The period diverges at large amplitude” is a qualitative statement that distorts the quantitative estimate. The two ends have different causes: theta^2 on the small side and ln(1/(180^ deg-theta)) on the large, two asymptotic forms of one curve. The small-angle approximation is not what breaks──the error of T/T_0approx 1+theta^2/16 at ten degrees is 3.329x10^-6, which is 0.29 seconds a day. At ninety degrees it opens to 2.613x10^-2, about 7800 times larger, but at ten degrees the problem is not the approximation error──it is that the true value itself is off by 164.78 seconds. “The approximation is bad” and “it is not isochronous” are different, and different-root by the criterion of Paper 300: mathematics on one side, mechanics on the other. One thing does the separating──is the restoring force proportional to theta or to sintheta. A spring is exactly isochronous, a simple pendulum is not, and a cycloidal pendulum is exactly isochronous at every amplitude (Huygens, 1673). So isochronism is a question about the shape of the path, not the law of force: under the same gravity a circular arc fails and a cycloid succeeds. And yet working clocks did not use the cycloid, because the friction of the cheeks exceeded the gain──a correct solution can lose in implementation. To be honest──both 164.78 s/day and 175.8765 degrees are values for an undamped conservative system, and a real pendulum loses amplitude so its error changes with time. What does not move is that ten degrees is not “small” for a clock, and that 170 degrees does not reach three times. One last thing──a condition that says “if it is small” is not a condition until a number is written. Ten degrees looks small and is not. Until the required accuracy is fixed, “small” is undetermined. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 「振り子は振幅が小さければ等時である」と習う。本稿が問うのはどれだけ小さければよいのかである──10 度でも一日 164.78 秒ずれ、時計としては使えない。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──単振り子の厳密周期、楕円積分による表現、ホイヘンスのサイクロイド振り子はすべて既知である。時計を設計しない──脱進機や温度補正は主題ではない。幾何と力学だけを見る。減衰を扱わない──空気抵抗や軸受の摩擦は主題ではない。保存系だけを見る。実測を主張しない──実際の振り子時計の精度は本稿の外である。式が与える値だけを言う。剛体を扱わない──質点の単振り子だけを扱い、実体振り子の慣性モーメントは主題ではない。駆動を扱わない──振幅を保つための力の供給は主題ではない。既刊との関係:論文379 は「二倍の温度」に三つの答があることを示した──ここでは「小さい角」という語に数が入っていない。論文391 は有義波高が平均でも最大でもないことを示した──どちらも、言葉が数を隠している。論文392 は沸点が物質と圧力の対の性質であることを示した──ここでは周期が長さと振幅の対の性質である。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──調和振動子と単振り子は、その基準で別根である。加えたのは、七つの振幅で周期比と一日の狂いを数に出したこと、10 度で 164.78 秒/日という値を出したこと、170 度でも 3 倍に届かないことを示したこと、3 倍になる振幅 175.8765 度を求めたこと、分離子を「復元力が何に比例するか」に置いたことである。 第一に、周期比は T/T_0=(2/pi)K(sin^2(theta/2)) で、第一種完全楕円積分で書ける(第1節)。 第二に、振幅 1 度で 1.64 秒/日、2 度で 6.58 秒/日である(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。10 度では 164.78 秒/日ずれる。二分四十五秒である(第2節)。 第四に、30 度では 1504.12 秒/日(25.07 分)、90 度では 4.33 時間ずれる(第2節)。 第五に、ところが 170 度でも 2.4394 倍にしかならず、3 倍になるのは 175.8765 度である(第3節)。 第六に、分離子は「復元力が変位に比例するか、sin に比例するか」である(第5節)。 「振り子は振幅が小さければ等時である」と習う──だが「小さい」という語に、数が入っていない。厳密には T/T_0=(2/pi)K(sin^2(theta/2)) である──等時性は sinthetaapprox theta の近似から出ており、方程式そのものは等時ではない。どこまでが「小さい」かを決めるのは、要求される精度である。10 度では、一日 164.78 秒ずれる──二分四十五秒であり、10 度は直感的には十分小さく見えて、時計としては使えない。2 度まで下げてようやく 6.58 秒/日になり、実用の振り子時計が振幅を数度に抑えているのはこのためである。狂いは振幅の二乗で増え(1 度の 1.64 秒から 2 度の 6.58 秒へほぼ四倍)、30 度では 1504.12 秒=25.07 分、90 度では 4.33 時間になる。ところが大振幅側では、発散が思ったほど効かない──170 度でも 2.4394 倍にしかならず、3 倍になるのは 175.8765 度である。 T/T_0 は 180 度で対数的に発散するが、179.9 度でもまだ 5.3669 倍で、発散は直前でしか効かない。「大振幅では周期が発散する」という定性的な言明が、量の見積もりを狂わせている。小さい側は theta^2、大きい側は ln(1/(180^ deg-theta)) という、同じ曲線の二つの漸近形である。小角近似が悪いわけではない──T/T_0approx 1+theta^2/16 の10 度での誤差は 3.329x10^-6、一日 0.29 秒でしかない。90 度では 2.613x10^-2 と約 7800 倍に開くが、10 度で問題なのは近似の誤差ではなく、真の値そのものが 164.78 秒ずれていることである。「近似が悪い」と「等時でない」は別で、論文300 の基準でも別根である──近似の誤差は数学が、等時性の破れは力学が決める。分けているものは一つ──復元力が変位に比例するか、sintheta に比例するか。ばねは厳密に等時、単振り子は等時でない。そしてサイクロイド振り子は全振幅で厳密に等時である(ホイヘンス 1673 年)。つまり等時性は力の法則ではなく軌道の形の問題で、同じ重力の下で円弧なら等時でなく、サイクロイドなら等時である。それでも実用の時計はサイクロイドを使わなかった──頬当ての摩擦が等時性の利得より大きかったからで、正しい解が実装で負けることがある。正直に言えば──164.78 秒/日も 175.8765 度も減衰の無い保存系での値であり、実際の振り子は振幅が減っていくので狂いも時間とともに変わる。動かないのは、10 度が時計にとって「小さくない」ことと、170 度が 3 倍に届かないことである。最後に一つ──「小さければ」という条件は、数を書かないかぎり条件になっていない。10 度は小さく見えて小さくない。どの精度で問うかを先に決めなければ、「小さい」は決まらない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。