Adding Noise Can Improve Detection ── But "More Is Better" Is Not the Rule ── Zero noise gives detection rate 0, sigma=0.50 gives correlation 0.687458, sigma=4 gives 0.127152 ── The optimum is not at either end but in the middle ── [Paper 353]

Abstract

One is taught that noise is to be reduced. This paper asks whether reducing it always improves matters──the answer is that in a system with a threshold it does not. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──stochastic resonance, threshold detectors, and signal-to-noise ratio are all standard. We do not build probability theory──the analytic theory of stochastic resonance (Kramers rate, linear response theory) is not entered. It is named and no more. We perform no experiment──no measurement in a sensory organ or an electronic circuit is made. The numbers are on a model stated explicitly. Kinds of noise are not treated──only white Gaussian noise is used; coloured and non-Gaussian noise are not the subject. We do not generalise──“noise is useful” is not claimed as a general law. It fails in a linear system without a threshold. We build no optimisation theory──the optimal sigma is found by scanning, not solved analytically. Relation to earlier papers: Paper 300 showed whether two things share a root is decidable──by that test, “noise” and “interference” have distinct roots. Paper 352 showed a transition temperature moving with the measurement’s time scale──there too where the threshold is placed fixed the number. Paper 313 showed only the fifth sense to have a threshold──the shape of presence-or-absence of a threshold as the axis of classification is the same. Paper 182 showed one word naming several things──“noise” has the same shape. What is added is showing numerically that the detection rate at zero noise is exactly 0, giving the correlation at ten points so the peak and its interior location are visible, showing as a control that raising the amplitude removes the need for noise, and putting the separator on presence of a threshold. First, against a threshold of 1.0, a signal of amplitude 0.7 can never cross it alone (Section 2). Second, this is the core of the paper. At zero noise the detection rate is 0.0000 and the correlation is 0.000000 (Section 3). Third, adding noise raises the correlation to a maximum of 0.687458 at sigma=0.50 (Section 3). Fourth, adding more lowers it, down to 0.127152 at sigma=4 (Section 3). Fifth, raise the amplitude above the threshold and detection needs no noise at all (Section 4). Sixth, the separator is whether there is a threshold, not any property of the noise (Section 5). One is taught that noise is to be reduced──and in many settings that is right. But in a system with a threshold it can fail──against a threshold of 1.0, a signal of amplitude 0.7 is never detected without noise. At sigma=0 the detection rate is 0.0000 and the correlation 0.000000 ── not because the probability is small but because the event is empty. The cleanest condition is the condition in which nothing at all is seen. Adding noise raises the correlation──0.244618 at sigma=0.10, 0.585053 at 0.20 (a factor of 2.39), and a maximum of 0.687458 at sigma=0.50. Adding more lowers it, down to 0.127152 at sigma=4. The optimum is not at either end but in the middle. But detecting and representing are different things──the detection rate rises monotonically with sigma and reaches 0.4027 at sigma=4, by which point the correlation has fallen. Detecting a great deal is worthless if it is unrelated to the signal. What noise helps is the latter, and only in a middling amount. Drop the condition and the claim becomes false──raise the amplitude above the threshold and it is crossed at 17 of 64 points even at zero noise, and adding noise there merely makes things worse. So what can be said is not “noise is useful” but “for a signal beneath the threshold, the right amount of noise is useful”. Without a threshold the output is proportional to the input, and nonlinearity is a necessary condition for the phenomenon. One thing separates them──whether the system has a threshold; not any property of the noise. And the separator can be moved──lower the threshold and A>theta and noise becomes unnecessary, so “add noise” is a substitute for “lower the threshold”. If it can be lowered, lower it; only where the threshold is physically fixed is the noise the easier thing to move. To be said honestly──this paper does not show that stochastic resonance occurs in real systems; what is shown is only that the correlation forms a hill on a model stated explicitly. The 0.687458 and sigma=0.50 hold for theta=1.0 and A=0.7, and what does not move is only that the optimum lies in the middle. One last thing──before a hill-shaped function, “more is better” and “less is better” are both wrong. Assume monotonicity and head for an end, and one arrives on the far side of the hill. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 雑音は減らすものだと教わる。本稿が問うのは減らせば必ず良くなるかである──答えは閾値がある系では、そうならない。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──確率共鳴・閾値検出器・信号対雑音比はすべて既知である。確率論を作らない──確率共鳴の解析的な理論(クラマース速度・線形応答理論)には立ち入らない。名前を挙げるにとどめる。実験をしない──生体の感覚器や電子回路での実測は行わない。数値は明示した模型の上でのものである。雑音の種類を扱わない──白色ガウス雑音のみを使い、色つき雑音や非ガウス雑音は主題ではない。一般化しない──「雑音は役に立つ」を一般則として主張しない。閾値のない線形系では成り立たない。最適化の理論を作らない──最適な sigma の解析解は求めず、走査で出す。既刊との関係:論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──「雑音」と「妨害」は、その基準で別根である。論文352 は転移温度が測定の時間尺度で動くことを示した──そこでも「閾値をどこに置くか」が数を決めた。論文313 は閾値をもつのが第五の意味だけであることを示した──閾値の有無が分類の軸になる形が同じである。論文182 は一語が複数を指すことを示した──「雑音」も同じ形をしている。加えたのは、雑音ゼロで検出率が厳密に 0 になることを数で示したこと、相関が山形になり最適値が中間にあることを十点で出したこと、振幅を上げれば雑音が不要になることを対照として示したこと、分離子を「閾値の有無」に置いたことである。 第一に、閾値 1.0 に対して振幅 0.7 の信号は、単独では絶対に閾値を超えない(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。雑音ゼロでは検出率が 0.0000、相関も 0.000000 である(第3節)。 第三に、雑音を足すと相関が上がり、sigma=0.50 で最大 0.687458 に達する(第3節)。 第四に、さらに足すと下がり、sigma=4 では 0.127152 まで落ちる(第3節)。 第五に、振幅を閾値より大きくすれば、雑音なしで検出できる(第4節)。 第六に、分離子は「閾値があるかどうか」であって、雑音の性質ではない(第5節)。 雑音は減らすものだと教わる──そして多くの場面でそれは正しい。だが閾値のある系では、そうならないことがある──閾値 1.0 に対して振幅 0.7 の信号は、雑音がなければ原理的に一度も検出されない。 sigma=0 での検出率は 0.0000、相関も 0.000000 であり、これは確率が小さいのではなく事象が空だからである。「最も清浄な条件」が「最も何も見えない条件」になっている。雑音を足すと相関は上がる──sigma=0.10 で 0.244618、0.20 で 0.585053(2.39 倍)、そして sigma=0.50 で最大 0.687458 に達する。さらに足すと下がり、sigma=4 では 0.127152 まで落ちる。最適値は両端ではなく中間にある。ただし「検出する」と「正しく写す」は別物である──検出率は sigma とともに単調に増え sigma=4 で 0.4027 に達するが、相関はそこで落ちている。たくさん検出しても、信号と無関係なら意味がない。雑音が助けるのは後者であり、しかも中間の量だけである。条件を落とすと主張は偽になる──振幅を閾値より大きくすれば雑音ゼロでも 64 点中 17 点で超え、そのときに雑音を足せばただ悪くなる。だから言えるのは「雑音は役に立つ」ではなく「閾値の下にある信号に対しては、適量の雑音が役に立つ」である。閾値がなければ出力は入力に比例し、非線形性がこの現象の必要条件である。分けているものは一つ──系に閾値があるかどうかであって、雑音の性質ではない。そして分離子は動かせる──閾値を下げれば A>theta になり雑音は不要になるから、「雑音を足す」は「閾値を下げる」の代用である。下げられるなら下げたほうがよく、閾値が物理的に固定されている検出器でだけ、雑音のほうが動かしやすい。正直に言えば──本稿は確率共鳴が実在の系で起きることを示していない。示したのは、明示した模型の上で相関が山形になることだけである。0.687458 も sigma=0.50 も theta=1.0・A=0.7 の上での値であって、動かないのは最適値が中間にあることだけである。最後に一つ──「多いほどよい」も「少ないほどよい」も、山形の関数の前では両方とも誤りである。単調だと思い込んだまま端を目指すと、山の反対側へ行く。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。