The Limit on Running Speed Is Not How Fast the Legs Move but How Hard the Ground Is Pushed ── As speed rises only the contact time shortens, and the duty factor falls from 0.6667 to 0.3714 ── Supporting the same body weight then takes a mean vertical force rising from 1.5 to 2.6923 times body weight ── The aerial time barely changes ── [Paper 380]

Abstract

It is tempting to think one cannot run faster because the legs cannot turn over quickly enough. This paper asks which quantity reaches its limit first──the answer is the force applied to the ground. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──the duty factor, ground reaction force, and the aerial time of a jump are all standard. We do not build biomechanics──the force-velocity relation of muscle and tendon and elastic energy storage are not entered. They are named and no more. We measure nothing──no athlete is measured. A body mass of 86 kg, a stride of 2.6 m, and a centre-of-mass excursion of 0.0212 m are stated assumptions. Peak values are not treated──what is given is the mean vertical force during contact. The instantaneous peak is larger. Acceleration is not treated──the start is not the subject. Only the steady state at top speed. Training is not discussed──no advice on how to train is given. Relation to earlier papers: Paper 359 showed the gyroscope to be orders too small──there an explanation failed on magnitude; here the bottleneck was elsewhere. Paper 362 showed lifting not to be the bottleneck──the same shape. Paper 300 showed whether two things share a root is decidable──by that test, leg-return speed and ground force have distinct roots. Paper 357 showed “optimal” undetermined without an objective──here “the limit” is undetermined without saying the limit on what. What is added is giving duty factor and mean force at five speeds, showing that the aerial time barely changes, confirming the formula closes by the product returning to body weight, solving backwards from a force ceiling for a top speed of 13.1804 m/s, and putting the separator on speed against force. First, as speed rises, only the contact time shortens (Section 2). Second, the aerial time goes from 0.100 to 0.132 seconds ── it lengthens slightly (Section 2). Third, this is the core of the paper. The duty factor falls from 0.6667 to 0.3714, so the mean vertical force rises from 1.5 to 2.6923 times body weight (Section 2). Fourth, the product of duty factor and mean force returns to body weight at every speed (Section 2). Fifth, putting the mean-force ceiling at 3 times body weight gives a top speed of 13.1804 m/s (Section 3). Sixth, the separator is leg-return speed against ground force, not total muscular strength (Section 5). It is tempting to think one cannot run faster because the legs cannot turn over quickly enough──but set out the numbers and it is the other side that gives way. While airborne the body is not supported──so a whole cycle’s worth of body weight must be supported during contact, and the shorter the fraction in contact, the larger the force during it (F=W/d). And what shrinks as speed rises is only the contact side──the contact time shortens 2.56-fold, from 0.200 to 0.078 seconds, while the aerial time lengthens slightly, from 0.100 to 0.132. The duty factor falls from 0.6667 to 0.3714 and the mean vertical force rises from 1.5 to 2.6923 body weights, a factor of 1.79. The body weight has not changed at all. Duty factor times mean force returns 843.371900 N in every row ── the condition that one cycle’s impulse equals the weight. So leg speed cannot be the bottleneck──the time available to swing a leg through is the aerial time, and it does not shrink; at low speed it is shorter, 0.100 seconds. Running faster leaves more time to reposition the leg, not less. The same shape as Paper 362, where lifting was not the bottleneck: the quantity being watched was not the one that acts. A force ceiling gives a top speed──putting the mean-force ceiling at 3 body weights (just above the 2.6923 measured) gives a minimum duty factor of 0.3333; with a centre-of-mass excursion of 0.0212 m the aerial time is 0.1315 seconds, the minimum contact 0.0658, and with a 2.6 m stride the top speed is 13.1804 m/s. World-record top speeds are given as in the twelves, so both order and value agree (the 100 m average of 10.44 m/s is a different quantity). One thing separates them──whether the limit lies in leg-return speed or in ground force; not in total muscular strength. Which one gets harder as speed rises settles it, and the one that lengthens cannot be the bottleneck. A larger excursion would raise the duty factor, but the excursion itself costs energy that does not convert into speed. To be said honestly──these are means over the contact and the instantaneous peak is larger; a figure such as “four times body weight” is a peak. The ceiling of 3 is likewise an assumption, set to be consistent with the 2.6923. One last thing──saying “the limit” requires saying the limit on what. One “cannot run faster” had two candidates, and mistaking the one that gets easier for the bottleneck means training the wrong thing. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 速く走れないのは脚の回転が追いつかないからだ、と考えたくなる。本稿が問うのは何が先に限界に来るかである──答えは地面を押す力である。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──接地率(デューティ比)・地面反力・跳躍の滞空時間はすべて既知である。生体力学を作らない──筋腱の力速度関係や弾性エネルギーの蓄積には立ち入らない。名前を挙げるにとどめる。実測をしない──選手の測定は行わない。体重 86 kg、歩幅 2.6 m、重心の上下動 0.0212 m は明示した仮定である。ピーク値を扱わない──本稿が出すのは接地中の平均鉛直力である。瞬間の最大値はこれより大きい。加速局面を扱わない──スタートからの加速は主題ではない。最高速度で走っている定常状態だけを見る。訓練を論じない──どう鍛えるべきかという助言はしない。既刊との関係:論文359 はジャイロ効果の桁が足りないことを示した──そこでは説明が桁で落ちた。ここでは律速が別の場所にあった。論文362 は持ち上げる仕事が律速でないことを示した──同じ形である。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──脚を戻す速さと地面を押す力は、その基準で別根である。論文357 は「最適」が目的関数なしに決まらないことを示した──ここでは「限界」がどの量の限界かを言わないと決まらない。加えたのは、五つの速度で接地率と平均力を数に出したこと、滞空時間がほとんど変わらないことを示したこと、積が体重に戻ることで式が閉じることを確かめたこと、力の上限から最高速度 13.1804 m/s を逆算したこと、分離子を「速さか力か」に置いたことである。 第一に、速度が上がると、短くなるのは接地時間だけである(第2節)。 第二に、滞空時間は 0.100 秒から 0.132 秒へ、むしろ少し伸びる(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。接地率が 0.6667 から 0.3714 へ落ちるので、平均鉛直力は体重の 1.5 倍から 2.6923 倍へ増える(第2節)。 第四に、接地率と平均力の積は、どの速度でも体重に戻る(第2節)。 第五に、平均力の上限を体重の 3 倍と置くと、最高速度は 13.1804 m/s と出る(第3節)。 第六に、分離子は「脚を戻す速さ」か「地面を押す力」かであって、筋力の総量ではない(第5節)。 速く走れないのは脚の回転が追いつかないからだ、と考えたくなる──だが数を並べると、追いつかなくなるのは別の側である。空中にいるあいだ、体は支えられていない──だから接地しているあいだに一周期ぶんの体重を支えなければならず、接地している割合が短いほど、その間の力は大きくなる(F=W/d)。そして速度が上がって縮むのは、接地の側だけである──接地時間は 0.200 秒から 0.078 秒へ 2.56 倍短くなるのに、滞空時間は 0.100 秒から 0.132 秒へ、むしろ少し伸びている。接地率は 0.6667 から 0.3714 へ落ち、平均鉛直力は体重の 1.5 倍から 2.6923 倍へ、1.79 倍になる。体重は一つも変わっていない。接地率と平均力の積はどの行でも 843.371900 N に戻り、一周期の力積が体重に等しいという条件がそのまま出ている。だから脚の速さは律速になりえない──脚を戻すのに使える時間は滞空時間であり、速度が上がってもそこは縮まない。むしろ低速のほうが 0.100 秒と短い。速く走るほど、脚を戻す時間には余裕ができる。論文362 で持ち上げる仕事が律速でなかったのと同じ形で、注目されていた量ではないほうが効いている。力の上限から最高速度が出る──平均力の上限を体重の 3 倍(計算 2.1 の 2.6923 倍のわずかに上)と置くと接地率の下限は 0.3333、重心の上下動 0.0212 m から滞空 0.1315 秒、接地の下限 0.0658 秒、歩幅 2.6 m で 最高速度 13.1804 m/s。世界記録の最高速度が 12 m/s 台とされるのと、桁も値も合う(100 m の平均 10.44 m/s とは別の量である)。分けているものは一つ──限界が脚を戻す速さにあるか、地面を押す力にあるかであって、筋力の総量ではない。速度を上げたときに厳しくなるのはどちらかを見ればよく、伸びる側は律速になりえない。重心の上下動を大きくすれば滞空が伸びて接地率は上がるが、上下動そのものにエネルギーを使うので速度には結びつかない。正直に言えば──ここで出したのは接地中の平均であって、瞬間の最大値はこれより大きい。「体重の 4 倍」といった数を見たら、それはピークである。3 倍という上限も、2.6923 倍と整合させて置いた仮定にすぎない。最後に一つ──「限界」と言うときは、どの量の限界かを言わなければならない。同じ「速く走れない」に二つの候補があり、速度を上げたときに緩くなるほうを律速と取り違えると、鍛える場所を間違える。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。