In a Gravity Assist the Probe Speeds Up, and in the Planet's Frame Its Speed Never Changed ── Against Jupiter's orbital speed of 13.07 km/s, the gain seen from the Sun is at most 26.14 km/s ── Jupiter thereby loses 2.4310x10^-20 m/s of orbital speed ── The probe's change in speed is 1.0753x10^24 times Jupiter's ── [Paper 381]

Abstract

A gravity assist is described as accelerating on a planet’s gravity. This paper asks in which frame the acceleration happened──the answer is that from the Sun it accelerated and from the planet its speed never changed. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──the gravity assist, elastic scattering, and conservation of momentum are all standard. We do not build orbital mechanics──the validity of the patched-conic approximation and real trajectory design are not entered. They are named and no more. We do not derive the maximum──the geometry achieving 2U (the head-on limit) is used as a result and not derived. No real mission is treated──the trajectory and actual gain of any particular spacecraft are not used. The numbers are on stated assumptions. Relativity is not treated──speeds are taken as small compared with light. Tides are not treated──tidal forces during the pass and effects on rotation are not the subject. Relation to earlier papers: Paper 367 showed a conserved total with only the distribution free──there too something looked created and had only moved. Paper 356 showed what flows and what works to be different quantities──here one speed takes two values in two frames. Paper 300 showed whether two things share a root is decidable──by that test, the speed in the planet’s frame and in the Sun’s have distinct roots. Paper 373 showed the initial condition setting the amplitude──here the frame settles the conclusion. What is added is giving the maximum gain at five planets, computing the kinetic energy gained at Jupiter, solving backwards for Jupiter’s loss of 2.4310x10^-20 m/s, confirming the energy inversion closes, and putting the separator on the frame. First, in the planet’s frame the speed is unchanged and only the direction turns (as in elastic scattering) (Section 2). Second, this is the core of the paper. Seen from the Sun the gain is at most 2U, twice the planet’s orbital speed (Section 2). Third, that is 26.14 km/s at Jupiter and 70.04 km/s at Venus (Section 2). Fourth, a 1000 kg probe gains 6.0305x10^11 J at Jupiter (Section 3). Fifth, Jupiter thereby loses 2.4310x10^-20 m/s, a ratio of 1.0753x10^24 (Section 3). Sixth, the separator is which frame the speed is measured in, not the strength of the gravity (Section 5). A gravity assist is described as accelerating on a planet’s gravity──but in the planet’s frame the speed never changed. In the planet’s frame this is elastic scattering──gravity is conservative, so the speed is unchanged and only the direction turns. It is the shape of a ball bouncing off a wall, and because that wall is in orbit, the speed seen from outside changes. So the ceiling on the gain is set by orbital speed, not mass──at most 2U: 26.14 km/s at Jupiter and 70.04 km/s at Venus. Venus is far lighter and gives more than twice as much. A body at rest, however massive, gives nothing. (Mass acts in how far the path can be bent, so at a light planet one cannot approach 2U; this paper has not computed that geometry.)And the price is paid──a 1000 kg probe going from 10.00 to 36.14 km/s at Jupiter gains 6.0305x10^11 J, and Jupiter loses 2.4310x10^-20 m/s of orbital speed. That is unmeasurable ── less than 10^16 times smaller than 1 mm/s ── and it is not zero. No energy was created; it was taken from Jupiter’s orbital motion, and the counterpart simply weighs 1.898x10^27 kg. The ratio 1.0753x10^24 is the mass ratio itself, and Delta E=MUDelta U returns the original energy. One thing separates them──which frame the speed is measured in; not the strength of the gravity. Read the planet’s frame alone and “nothing happened”; read the Sun’s alone and “energy appeared” ── only both together show a transfer. Both are correct, because velocity is frame-dependent, and “which is really true” has no answer. To be said honestly──26.14 km/s is a ceiling assuming ideal geometry, not an achieved gain; real missions get less, and this paper has not computed the shortfall. One last thing──saying “it increased” requires saying relative to what. One pass changes nothing in one frame and gives 26.14 km/s in another. An increase without a stated reference is not even settled as an increase. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- スイングバイは「惑星の重力で加速する」と説明される。本稿が問うのはどの系から見て加速したのかである──答えは太陽から見れば加速し、惑星から見れば速さは変わっていない。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──スイングバイ・弾性散乱・運動量保存はすべて既知である。軌道力学を作らない──パッチドコニック近似の妥当性や、実際の軌道設計には立ち入らない。名前を挙げるにとどめる。最大値の条件を導かない──2U が達成される幾何(正面から回り込む極限)は結果として使い、導出しない。実機を扱わない──特定の探査機の航路や実際の増速量は用いない。数値は明示した仮定の上でのものである。相対論を扱わない──速度は光速に比べて十分小さいものとする。潮汐を扱わない──通過時の潮汐力や自転への影響は主題ではない。既刊との関係:論文367 は感度の総量が保存され配分だけが選べることを示した──そこでも「増えたように見えて移動しただけ」だった。論文356 は流れている量と働いている量が別であることを示した──ここでは同じ速さが二つの系で別の値をもつ。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──惑星から見た速さと太陽から見た速さは、その基準で別根である。論文373 は初期値が振幅を決めることを示した──ここでは基準系が結論を決める。加えたのは、五つの惑星で最大増速を数に出したこと、木星での運動エネルギーの増加を計算したこと、木星が失う速度 2.4310x10^-20 m/s を逆算したこと、エネルギーの逆算が閉じることを確かめたこと、分離子を「どの系で測るか」に置いたことである。 第一に、惑星から見れば、探査機の速さは変わらず向きだけが変わる(弾性散乱と同じ)(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。太陽から見た増速は、惑星の公転速度 U の最大 2U である(第2節)。 第三に、木星なら 26.14 km/s、金星なら 70.04 km/s になる(第2節)。 第四に、1000 kg の探査機が木星で得る運動エネルギーは 6.0305x10^11 J である(第3節)。 第五に、そのとき木星が失う公転速度は 2.4310x10^-20 m/s で、比は 1.0753x10^24 倍である(第3節)。 第六に、分離子は「どの系で速さを測るか」であって、重力の強さではない(第5節)。 スイングバイは「惑星の重力で加速する」と説明される──だが惑星から見れば、速さは一切変わっていない。惑星から見れば、これは弾性散乱である──重力は保存力なので速さは同じで、向きだけが変わる。ボールが壁で跳ね返るのと同じ形であり、その壁が公転しているために、外から見た速さが変わる。だから増速の上限は、惑星の質量ではなく公転速度で決まる──最大 2U であり、木星なら 26.14 km/s、金星なら 70.04 km/s。金星は木星よりずっと軽いのに二倍以上大きい。静止した天体なら、どんなに重くても増速はゼロである。(質量が効くのは「どれだけ大きく曲げられるか」のほうで、軽い惑星では 2U に近づけない。本稿はその幾何を計算していない。)そして代価は払われている──1000 kg の探査機が木星で 10.00 から 36.14 km/s へ加速すると得る運動エネルギーは 6.0305x10^11 J、そのとき木星が失う公転速度は 2.4310x10^-20 m/s である。1 mm/s の 10^16 分の 1 以下という測れない量だが、ゼロではない。エネルギーは生まれておらず、木星の公転運動から取っている──相手が 1.898x10^27 kg なので、割り算の結果が測れないほど小さくなるだけである。比は 1.0753x10^24 倍で、質量比がそのまま出ており、Delta E=MUDelta U に戻すと元のエネルギーが返る。分けているものは一つ──どの系で速さを測るかであって、重力の強さではない。惑星系だけを見れば「何も起きていない」、太陽系だけを見れば「エネルギーが増えた」──両方を見て初めて、移動だと分かる。どちらも正しく、「本当はどちらか」という問いには答が無い。速度は基準系に依存する量だからである。正直に言えば──26.14 km/s は幾何が理想的な場合の上限であって、実機の増速はこれより小さい。本稿はその差を計算していない。最後に一つ──「増えた」と言うときは、何に対して増えたのかを言わなければならない。同じ通過が、一方の系では何も変えず、他方では 26.14 km/s を与える。基準を言わない増加は、増加かどうかすら決まっていない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。