A Premium Is Not the Expected Loss ── And What Sets the Loading Is Not the Accuracy of the Probability but the Number of Policies ── With one policy, keeping the ruin probability at 1 per cent takes a loading of 23.1469 times the expected loss ── With a million policies it falls to 0.0231 ── The expected loss has not moved by a single unit ── [Paper 383]

Abstract

It is tempting to think a premium is the probability of loss times its size. This paper asks whether that suffices──the answer is that it does not, and what sets the shortfall is the number of policies. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──the law of large numbers, the safety loading, and the ruin probability are all standard. We do not build actuarial science──rigorous ruin bounds from risk theory and reinsurance design are not entered. They are named and no more. Institutions are not discussed──regulatory capital and accounting are not the subject. Independence is assumed──losses are taken as mutually independent. For correlated risks such as earthquakes or epidemics this computation does not hold. A normal approximation is used──the distribution of the total is approximated as normal. No accuracy is claimed for small n. Costs are not treated──administration, profit, adverse selection, and moral hazard are not the subject. Relation to earlier papers: Paper 364 showed selection alone raising a mean and shrinking a spread──there the cropping of the sample made the number; here the size of the sample does. Paper 371 showed a difference appearing with no cause──there too the provenance of an apparent difference was the issue. Paper 300 showed whether two things share a root is decidable──by that test, the expected loss and the safety loading have distinct roots. Paper 367 showed a conserved total with only the distribution free──here the total shrinks as 1/sqrt(n). What is added is giving the loading at four sizes, showing that one policy needs more than 23 times the expected loss, showing that a hundredfold in n gives exactly 0.1 in loading, solving backwards for the 214311 policies that hold the loading to 5 per cent, and putting the separator on how many share the risk. First, a probability of 0.01 and a loss of 1000000 give an expected loss of 10000 (Section 2). Second, one policy’s standard deviation is 99498.74, which is 9.9499 times the expected loss (Section 2). Third, this is the core of the paper. With one policy the required loading is 23.1469 times the expected loss (Section 3). Fourth, with a million policies the loading falls to 0.0231 times (Section 3). Fifth, multiplying the number of policies by 100 multiplies the loading by exactly 0.1 (Section 3). Sixth, the separator is how many the risk is divided among, not the accuracy of the probability (Section 5). It is tempting to think a premium is the probability of loss times its size──but on that alone the business does not stand. The expected loss is 10000 and one policy’s standard deviation is 99498.74──9.9499 times the mean. Since it is 0 in 99 per cent of cases and 1000000 in 1 per cent, a loss of exactly 10000 never occurs. Collect only the expected loss and the 1 per cent case ruins you. So a loading is needed ── and its size is set by the number of policies──holding the ruin probability at 1 per cent, n=1 needs a loading of 23.1469 times the expected loss, making the premium 241469 rather than 10000. Nobody buys it. n=10^6 needs 0.0231, a premium of 10231. The expected loss has not moved ── 10000 in every row ── and only the number of policies changed. A hundredfold in n gives exactly 0.1 in loading, the law of large numbers appearing directly as 1/sqrt(n). Inverted, holding the loading to 5 per cent takes 214311 policies. So insurance is not the business of guessing probabilities──knowing p perfectly still needs 23.1469 times with one policy; this is not estimation but spread. Conversely an imperfect p works when n is large. The core is “collect independent counterparties” rather than “estimate the probability”. One thing separates them──how many the risk is divided among; not the accuracy of the probability. All three rows share one risk, one probability, one loss size, with an expected loss of 10000 ── and only viability differs. Ceding to a reinsurer raises the effective n, but correlated risks do not shrink their variance with n, which is why catastrophes are hard to insure. To be said honestly──23.1469 and 214311 rest on stated assumptions: p=0.01, L=10^6, independence, and a normal approximation. What does not move is the structure: the loading shrinks as 1/sqrt(n). One last thing──look only at the expectation and an unviable business looks viable. The expected loss is 10000 in all three rows. A mean says nothing about how far that mean can be trusted, and without the variance one cannot tell whether the business stands. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 保険料は「事故の確率かける損害額」で決まると考えたくなる。本稿が問うのはそれで足りるかである──答えは足りず、足りない分を決めているのは加入者の数である。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──大数の法則・安全割増(セーフティローディング)・破産確率はすべて既知である。保険数理を作らない──リスク理論の破産確率の厳密な評価や、再保険の設計には立ち入らない。名前を挙げるにとどめる。制度を論じない──規制上の必要資本や会計は主題ではない。独立性を仮定する──事故が互いに独立であるとする。地震や感染のように相関する危険では、この計算は成り立たない。正規近似を用いる──合計の分布を正規分布で近似する。 n が小さいときの精度は主張しない。費用を扱わない──事務費・利潤・逆選択・モラルハザードは主題ではない。既刊との関係:論文364 は選別だけで平均が上がりばらつきが縮むことを示した──そこでは標本の切り取りが数を作った。ここでは標本の数が数を作る。論文371 は原因が無くても差が出ることを示した──そこでも「見えた差」の出所が問題だった。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──期待損失と安全割増は、その基準で別根である。論文367 は総量が保存され配分だけが選べることを示した──ここでは総量が 1/sqrt(n) で縮む。加えたのは、四つの規模で上乗せを数に出したこと、一件では上乗せが期待損失の 23 倍を超えることを示したこと、n を 100 倍にすると上乗せがちょうど 0.1 倍になることを示したこと、上乗せを 5 パーセントに抑える加入者数 214311 人を逆算したこと、分離子を「何人で分けたか」に置いたことである。 第一に、事故確率 0.01・損害 100 万円なら、期待損失は 10000 円である(第2節)。 第二に、一件あたりの標準偏差は 99498.74 円で、期待損失の 9.9499 倍ある(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。一件だけなら、必要な上乗せは期待損失の 23.1469 倍になる(第3節)。 第四に、100 万人集めると、上乗せは期待損失の 0.0231 倍まで落ちる(第3節)。 第五に、加入者を 100 倍にすると、上乗せはちょうど 0.1 倍になる(第3節)。 第六に、分離子は「危険を何人で分けたか」であって、確率の推定精度ではない(第5節)。 保険料は「事故の確率かける損害額」で決まると考えたくなる──だがそれだけでは、事業が成立しない。期待損失は 10000 円だが、一件あたりの標準偏差は 99498.74 円ある──期待値の 9.9499 倍。99 パーセントの場合に 0 円、1 パーセントの場合に 100 万円なのだから、実際に 10000 円の損害が出ることは一度も無い。期待損失だけを集めれば、1 パーセントの場合に破綻する。だから上乗せが要る──そしてその大きさを決めているのは、加入者の数である──破綻確率 1 パーセントに抑えるとして、n=1 なら上乗せは期待損失の 23.1469 倍、保険料は 10000 円ではなく 241469 円になる。誰も買わない。 n=10^6 なら 0.0231 倍、保険料 10231 円で済む。期待損失は一円も変わっていない──どの行でも 10000 円で、変えたのは加入者の数だけである。 n を 100 倍にすると上乗せはちょうど 0.1 倍になり、大数の法則が 1/sqrt(n) の形でそのまま出ている。逆算すれば、上乗せを 5 パーセントに抑えるのに 214311 人である。つまり保険業は、確率を当てる仕事ではない──確率 p を完璧に知っていても、一件では 23.1469 倍が要る。推定精度の問題ではなく、ばらつきそのものの問題である。逆に p の推定が多少ずれていても、n が大きければ成立する。中核は「確率を当てる」ことよりも「独立な相手を集める」ことにある。分けているものは一つ──危険を何人で分けたかであって、確率の推定精度ではない。三行とも同じ危険・同じ確率・同じ損害額で、期待損失は 10000 円のまま、成立するかどうかだけが分かれる。再保険に出せば実効的な n を増やせるが、相関する危険では n を増やしても分散が縮まない──だから巨大災害は保険になりにくい。正直に言えば──23.1469 倍も 214311 人も、p=0.01・L=10^6・独立・正規近似という明示した仮定の上での値である。動かないのは、上乗せが 1/sqrt(n) で縮むという構造だけである。最後に一つ──期待値だけを見ると、成立しない事業が成立して見える。期待損失は三行とも同じ 10000 円である。平均は、その平均がどれだけ信用できるかを語らない。分散を見ないかぎり、事業が成り立つかは分からない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。