The Size of the Hole Is Not in the Stress Concentration ── Two Elliptical Holes Differing 10000-Fold in Area Carry the Same K_t=21.0 ── What Enters Is the Sharpness a/b Alone: 3.0 for a Circular Hole and 201.0 at a/b=100 ── [Paper 343]

Abstract

Cut a hole in a plate and the stress rises at its edge. This paper asks what decides how far it rises──the answer is not the size of the hole but only its sharpness. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──Inglis’s solution for the elliptical hole, the factor K_t=1+2a/b, and its form K_t=1+2sqrt(a/rho) in terms of curvature are all standard. We do not build elasticity──the derivation, complex stress functions and boundary conditions are not entered. The formula is used as given. We do not build fracture mechanics──the stress intensity factor K_I and crack growth laws are not entered. They are mentioned and no more. We do not treat plasticity──real materials yield, so K_t=201 does not mean stress rises 201-fold. Only the elastic range is looked at. We do not treat finite width──the infinite-plate solution is used; a hole large against the plate needs a correction. We do not treat fatigue──notch factors under cyclic loading are not entered. Relation to earlier papers: Paper 325 showed the size of the drop is not in the angle of the rainbow──this paper has exactly that form, with the size of the hole not in the stress concentration. In both, there is no route by which the other party’s size can enter. Paper 326 showed the square-cube “law” to be an identity──there too how dimensions act was settled by geometry. Paper 344 shows strength to be a function of volume and not a constant of the material──there size acts and here it does not. Within one subject, the failure of materials, a quantity where size acts stands beside one where it does not. Paper 342 showed the same two materials differing 16.93-fold by direction alone──there and here alike, direction changes the answer. What is added is confirming that the two expressions (a/b and curvature) agree exactly, exhibiting two holes 10^4 apart in area with the same K_t, giving the drop on turning the same ellipse through 90 degrees, and putting the separator on area against sharpness. First, the stress concentration factor of an elliptical hole is K_t=1+2a/b, and size does not enter (Section 2). Second, this is the core of the paper. Two holes differing 10000-fold in area carry the same K_t=21.0 (Section 2). Third, for a circular hole K_t=3.0, independent of its diameter entirely (Section 2). Fourth, multiply a/b by 100 and K_t multiplies by 67. From 3.0 to 201.0 (Section 2). Fifth, turn the same ellipse through 90 degrees and K_t falls from 21.0 to 1.2 (Section 4). Sixth, the separator is area against sharpness (Section 5). At the edge of an elliptical hole the stress rises by K_t=1+2a/b, and on the right a and b appear only as a ratio──the size of the hole is not in the formula. Two elliptical holes 10000-fold apart in area carry the same K_t=21.0──a flaw of area 0.314159 and a hole of 3141.592654 raise the edge stress by the same factor. The 3.0 of a circular hole likewise does not depend on diameter at all: a round hole the width of a hair and one that admits a fist both treble the stress. “It is small, so it is safe” does not hold for concentration. What enters is sharpness alone──multiply a/b by 100 and K_t goes from 3.0 to 201.0, a factor of 67. Rewritten by curvature, K_t=1+2sqrt(a/rho) agreed with 1+2a/b on every row──sqrt(a/rho) seems to carry an a, but rho=b^2/a cancels it: one quantity written two ways. And as b->0, K_t->infinity──a crack carries infinite stress within elasticity, and there the quantity K_t itself ceases to serve. The stress intensity factor that fracture mechanics turns to, K_I=sigmasqrt(pi a), carries a standing alone──the size that could not enter K_t enters K_I, and which one is used decides whether size acts. Turn the same ellipse through 90 degrees and 21.0 becomes 1.2──the same hole, area and material, 17.5-fold from orientation. A slender hole laid along the pull is close to harmless, and aircraft windows have rounded corners to keep a/b small. One thing separates them──whether the danger is measured by the section removed or by the curvature at the edge. By area a large round hole is worse; by concentration a small sharp flaw is. And the separator can be moved──drill a round hole at the tip of a sharp flaw and a/b falls with K_t: adding area to gain safety works, and that remedy cannot be understood if the separator is mistaken. To be said honestly──no real material turns K_t=201 into 201 times the stress; yielding blunts the tip and K_t is an elastic bound. Nor is a stop hole always effective: in fatigue the cycling of stress acts, and what is claimed is that K_t falls, not that life is extended. One last thing──what this formula says is that danger cannot be measured by how much material was lost. With the same area lost, the shape of the loss changes it 67-fold. It is not the amount but the outline that decides. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 板に穴を開けると、その縁で応力が高くなる。本稿が問うのは、どれだけ高くなるかを決めているのは何かである──答は、穴の大きさではなく、尖りだけである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい数学定理も新しい法則も主張しない──インギリスの楕円孔解、応力集中係数 K_t=1+2a/b、曲率半径による表現 K_t=1+2sqrt(a/rho) はいずれも標準的である。弾性論を作らない──解の導出、複素応力関数、境界条件の扱いには立ち入らない。式は与えられたものとして使う。破壊力学を作らない──応力拡大係数 K_I やき裂進展則には入らない。触れるにとどめる。塑性を扱わない──実際の材料は降伏するので、K_t が 201 でも応力が 201 倍にはならない。弾性の範囲だけを見る。有限幅を扱わない──無限平板の解を使う。板幅に対して穴が大きい場合は別の補正が要る。疲労を扱わない──繰り返し荷重下の切欠き係数には立ち入らない。既刊との関係:論文325 は虹の角度に水滴の大きさが入っていないと示した──本稿はまったく同じ型で、応力集中に穴の大きさが入っていない。どちらも「相手の大きさが式に入る道が無い」。論文326 は二乗三乗の「法則」が恒等式だと示した──そこでも寸法の効き方が幾何から決まっていた。論文344 は強度が体積の関数であって材料の定数ではないと示す──そこでは大きさが効き、本稿では効かない。同じ「材料の破壊」の中で、大きさが効く量と効かない量が並んでいる。論文342 は同じ二材料が向きだけで 16.93 倍ちがうと示した──そこでも本稿でも、向きが答を変えている。加えたのは二つの表現(a/b と曲率半径)が厳密に一致することを確かめたこと、面積が 10^4 倍ちがう二つで K_t が同じになることを明示したこと、同じ楕円を 90 度回したときの落差を出したこと、分離子を「面積か尖りか」に置いたことである。 第一に、楕円孔の応力集中係数は K_t=1+2a/b で、大きさが入っていない(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。面積が 10000 倍ちがう二つの穴が、同じ K_t=21.0 を持つ(第2節)。 第三に、円孔では K_t=3.0 で、これは穴の大きさに一切依らない(第2節)。 第四に、a/b を 100 倍にすると K_t は 67 倍になる。3.0 から 201.0 へ(第2節)。 第五に、同じ楕円を 90 度回すと、K_t は 21.0 から 1.2 に落ちる(第4節)。 第六に、分離子は「面積か、尖りか」である(第5節)。 板の楕円孔の縁では応力が K_t=1+2a/b 倍になり、右辺に a と b は比としてしか現れない──つまり穴の大きさが、式に入っていない。面積が 10000 倍ちがう二つの楕円孔が、同じ K_t=21.0 を持つ──0.314159 の傷と 3141.592654 の孔が、縁では同じ倍率で応力を上げる。円孔の 3.0 も直径に一切依らず、髪の毛ほどの丸穴も拳が入る丸穴も縁の応力は 3 倍である。「小さいから大丈夫」は、集中については成り立たない。入っているのは尖りだけである──a/b を 100 倍にすれば K_t は 3.0 から 201.0 へ 67 倍になる。曲率半径で書き直しても同じで、K_t=1+2sqrt(a/rho) は全行で 1+2a/b と一致した──sqrt(a/rho) には a が残っているように見えるが、rho=b^2/a を代入すれば消える。二通りに書いた同じ一つの量である。そして b->0 の極限で K_t->infinity になる──き裂は弾性論の中で無限の応力を持ち、そこで K_t という量そのものが使えなくなる。破壊力学が乗り換える先の応力拡大係数 K_I=sigmasqrt(pi a) には、a が単独で現れる──K_t には入らなかった大きさが、K_I には入る。どちらを使うかで、大きさが効くかどうかが変わる。同じ楕円を 90 度回すと 21.0 が 1.2 になる──同じ穴、同じ面積、同じ材料で 17.5 倍である。細長い穴は引張方向に寝かせれば無害に近く、航空機の窓が角丸なのは a/b を小さく保つためである。分けるものは一つ──危険を測っている量が、断面の欠損(面積)か、縁の曲率(尖り)か。面積で言えば大きな丸穴が危なく、集中で言えば小さな鋭い傷が危ない。そして分離子は動かせる──鋭い傷の先端に丸穴を開ければ a/b が下がり K_t が落ちる。面積を増やして安全にするという一見矛盾した処置(ストップホール)が成り立つのは、危険を測っている量が面積ではないからである。正直に書いておく──実際の材料は降伏するので K_t=201 が 201 倍の応力にはならない。 K_t は弾性解であって上限を与えるにすぎない。ストップホールも常に有効ではなく、疲労では応力の繰り返しが効くので、本稿が言うのは K_t が下がることであって寿命が延びることではない。最後に一つ──この式が言っているのは、危険が「どれだけ材料が失われたか」では測れないということである。失われた面積が同じでも、失われ方の形で 67 倍ちがう。量ではなく、輪郭が決めている。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。