The Number 32768 Inside a Wristwatch Was Not Chosen by Physics ── It Is 2^15 ── Fifteen Stages of Division Give Exactly 1 Hz, While 32000 Hz Leaves a Remainder of 125 ── Keeping to One Second a Day Demands 11.5741 ppm ── [Paper 336]

Abstract

Almost every wristwatch contains a crystal vibrating at 32768 Hz. This paper asks what fixed that number──the answer is not the physics of quartz but divisibility in binary. No new mathematical theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new mathematical theorem and no new law is claimed──tuning-fork quartz resonators, binary division, and the ppm notation for frequency tolerance are all standard. We do not build the physics of quartz──piezoelectricity, tuning-fork vibration modes, and the parabolic temperature characteristic are not entered. They are mentioned and no more. We design no circuit──oscillator and divider implementation and load-capacitance trimming are not entered. We do not treat time standards──atomic clocks, Coordinated Universal Time and leap seconds are not entered. They belong to Paper 319. We do not adjudicate history──who adopted this frequency and when is not entered. We do not treat temperature compensation──ovens and compensated implementations are not the subject. Relation to earlier papers: Paper 306 showed how many “base” units there are to be a promise──32768 belongs to the same category. But the promise in 306 was “into how many”, while the promise here is “at which value”. Paper 319 showed a calendar to be three approximations stacked──there human numbers were fitted to a natural period; here a natural vibration is fitted to a human number. The direction is reversed. Paper 95 separated convention from fact──32768 stands on the side of convention, while a crystal vibrating at 32768 Hz stands on the side of fact. One number stands on both sides. Paper 316 showed the same integer returning from three different counts──here one integer sits at the crossing of three different demands. What is added is actually dividing the neighbouring candidates to show they do not come out, separating which of the three demands fixes the value to a point, matching ppm to drift per day and per year, and putting the separator on nature against implementation. First, 32768=2^15, and fifteen stages of division give exactly 1 Hz (Section 2). Second, this is the core of the paper. The neighbouring 32000 Hz divides by two only eight times and leaves 125 (Section 2). Third, three demands pull in different directions. Low frequency for power, high frequency for resolution, and a power of two for the divider (Section 3). Fourth, only the last of the three picks one point out of the band (Section 3). Fifth, keeping to one second a day demands 11.5741 ppm. A 20 ppm crystal drifts 1.7280 seconds a day and 631.1520 a year (Section 4). Sixth, the separator is whether the number was fixed by nature or by the implementation (Section 5). Nearly every wristwatch holds a crystal at 32768 Hz, and that number is 2^15──fifteen flip-flop stages give exactly 1 Hz, with no division and no remainder. The neighbouring 32000 Hz looks round in decimal but is 2^8x125 and leaves 125. One less, 32767 is odd and does not divide even once. Yet dividing in binary does not by itself settle on this value──2^14=16384 and 2^16=65536 divide as well. Three demands act on the choice: power wants it low, resolution and stability want it high, and binary wants a power of two. The first two settle only a band, somewhere in the tens of kilohertz; what narrows the value to a point is the third alone.32768 stands in the middle of that binary staircase──a step down eases power, a step up raises resolution. One tick is 0.030518 milliseconds, and 32768 Hz sits 1.6384 above the upper edge of hearing──had 2^14 been chosen it would have fallen inside the audible range. This paper does not claim 32768 is optimal; it claims that what fixed the value to a point was the binary demand. And binary gives no accuracy whatever──however exactly the divider is 2^15, the crystal’s own tolerance survives. A 20 ppm crystal drifts 1.7280 seconds a day and 631.1520 a year, about 10.5 minutes. Keeping to one second a day demands 11.5741 ppm, which a 20 ppm part does not reach. A property of integers and a magnitude of drift are wholly separate matters. One thing separates them──whether the number turned out that way on measurement, or was placed there for convenience. The clue is how clean it is──a year of 365.2422 days is all remainder, and 32768 is exactly 2^15; nature almost never hands over an exact power of two. Paper 319 wrote that a calendar is three approximations stacked──there the natural period was not divisible so the human side stacked approximations. Here it runs the other way: the human side fixed the clean number 2^15 first and made the crystal’s dimensions follow. To be said honestly──a tuning-fork crystal’s frequency is set by its dimensions, so the band of tens of kilohertz is fixed by physics. What is claimed is that binary picked one point inside the band, not that the band itself is arbitrary. One last thing──this is one of the most widely carried powers of two in ordinary life. Most people wear it on a wrist and nobody thinks of it as 2^15. And once seen, the most exactly determined thing inside the watch is this integer, and not the frequency of the crystal. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- ほとんどすべての腕時計に、32768 Hz で振れる水晶が入っている。本稿が問うのは、その数を決めたのは何かである──答は、水晶の物理ではなく、二進で割り切れることである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい数学定理も新しい法則も主張しない──音叉型水晶振動子、二進分周、周波数偏差の ppm 表記はいずれも標準的である。水晶の物理を作らない──圧電効果、音叉型の振動モード、温度特性の二次曲線には立ち入らない。触れるにとどめる。回路を設計しない──発振回路や分周器の実装、負荷容量の調整には入らない。時刻の標準を扱わない──原子時計や協定世界時、うるう秒には立ち入らない。論文319 の射程である。歴史を裁定しない──誰がいつこの周波数を採用したかの帰属には立ち入らない。温度補償を扱わない──恒温槽や温度補償型の実装は主題にしない。既刊との関係:論文306 は「基本」単位の個数が約束だと示した──本稿の 32768 も同じ圏にある。ただし 306 の約束が「いくつに分けるか」だったのに対し、本稿の約束は「どの値に置くか」である。論文319 は暦が近似を三段重ねたものだと示した──そこでは自然の周期に人間の数を合わせ、ここでは人間の数に自然の振動を合わせている。向きが逆である。論文95 は規約と事実を分けた──32768 は規約の側にあり、水晶が 32768 Hz で振れることは事実の側にある。同じ数が両側に立っている。論文316 は同じ整数を三つの別の数え方が返すと示した──ここでは一つの整数が、三つの別の要求の交点にある。加えたのは近傍の候補が二進で割り切れないことを実際に割って示したこと、三つの要求のどれが値を一点に決めているかを分けたこと、ppm と一日・一年のずれを対応させたこと、分離子を「自然か実装か」に置いたことである。 第一に、32768=2^15 であり、15 段の分周でちょうど 1 Hz になる(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。近くの 32000 Hz では 2 で 8 回しか割れず、125 が残る(第2節)。 第三に、三つの要求が別々の向きに引いている。低い周波数は電力を、高い周波数は分解能を、二進は分周を要求する(第3節)。 第四に、最後の一つだけが、帯の中から一点を選んでいる(第3節)。 第五に、一日 1 秒に収めるには 11.5741 ppm が要る。20 ppm の水晶なら一日 1.7280 秒、一年 631.1520 秒ずれる(第4節)。 第六に、分離子は「数を決めたのが自然か、実装か」である(第5節)。 ほとんどすべての腕時計に 32768 Hz の水晶が入っており、その数は 2^15 である──フリップフロップを 15 段通すだけでちょうど 1 Hz になり、割り算も余りも要らない。近くの 32000 Hz は十進できりがよく見えるが 2^8x125 で、125 という端数が残る。1 だけ小さい 32767 は奇数なので、一度も割れない。ただし二進で割り切れるだけでは、この値に決まらない──2^14=16384 も 2^16=65536 も割り切れる。周波数を選ぶ要求は三つあり、消費電力は低いほうを、分解能と安定は高いほうを、二進は 2 の冪を求める。最初の二つは「数万ヘルツのどこか」という帯しか決めず、値を一点に絞っているのは三つ目だけである。32768 は、二進の階段の上で真ん中に立っている──一つ下げれば電力が助かり、一つ上げれば分解能が上がる。一刻みは 0.030518 ミリ秒で、32768 Hz は可聴域の上端の 1.6384 倍にあたる──もし 2^14 を選んでいたら、可聴域の内側になっていた。本稿は「32768 が最適だ」とは主張しない。値を一点に絞ったのが二進の要求だ、と言うだけである。そして二進は、精度を一切与えない──分周が厳密に 2^15 でも、水晶そのものの偏差はそのまま残る。20 ppm の水晶なら一日 1.7280 秒、一年 631.1520 秒、およそ 10.5 分ずれる。一日 1 秒に収めるには 11.5741 ppm が要り、20 ppm の品では届かない。整数の性質と、偏差の大きさは、まったく別の話である。分けるものは一つ──その数が、測ってみたらそうだった数か、都合がよいから置いた数か。見分ける手がかりは、その数がどれだけきれいかである──一年の 365.2422 日は端数だらけで、32768 はちょうど 2^15 である。自然が 2 の冪をぴったり出してくることは、まず無い。論文319 は暦が近似を三段重ねたものだと書いた──そこでは自然の周期が割り切れなかったので人間の側が近似を重ねた。本稿では逆で、人間の側が 2^15 というきれいな数を先に決め、自然(水晶の寸法)をそこに合わせている。正直に書いておく──音叉型の水晶は寸法で周波数が決まるので、数万ヘルツという帯そのものは物理が決めている。本稿が言うのは「帯の中のどこか一点を選んだのが二進だ」であって、「帯まで含めて任意だ」ではない。最後に一つ──この数は、身の回りで最もよく使われている 2 の冪の一つである。ほとんどの人が腕に付け、誰も 2^15 だとは思っていない。そして分かってみれば、時計の中で一番正確に決まっているのはこの整数であって、水晶の周波数のほうではない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。