Under the One Word Dyeing Live an Expression with a Ceiling and One Without, Indistinguishable When Dilute ── In the site-filling kind the number of sites is a ceiling, so even at a concentration of 1000 the occupancy is 0.999500 and never exceeds one ── the separator is whether the dye's destination is a finite set of sites or a volume ── [Paper 721]

Abstract

A dye entering a fibre and settling there is called dyeing. Beneath that word lie two mechanisms: one that saturates and one that takes in as much as offered. That the two diverge at high concentration and coincide at low is shown in numbers. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the Langmuir isotherm, the Nernst partition law, and the distinction between these two kinds in dyeing are all standard (Langmuir 1918, Atkins and de Paula 2010). No real combination is claimed──values for particular dye-fibre pairs are not treated; the equilibrium constant and the partition coefficient are representative values assumed here. Rates are not treated──the rate of dyeing, and whether it is diffusion- or reaction-limited, are not entered; only equilibrium is considered. Conditions are not discussed──temperature dependence, pH and electrolyte effects are not treated. The process is not designed──liquor ratio and dyeing procedure are not treated. Relation to earlier papers: Paper 284 showed that the Langmuir isotherm and the Fermi distribution are one and the same expression──there the subject was different names sharing one form, and its scope note stated that the mechanism of adsorption would not be discussed and the distinction between chemical and physical adsorption not treated at all. Here the direction is reversed: one name taking two different forms. Same form under different names, and same name over different forms. What is added is putting the site kind's ceiling at 0.999500, showing the gain to shrink from 1.428571 to 1.044776, showing the volume kind to reach 20000.000000, showing the two to coincide at 9.823529 on the dilute side, and placing the separator on sites against volume. First, the site-filling kind has a ceiling──even at a concentration of 1000 the occupancy is 0.999500 and never exceeds one (Section 2). Second, in that kind the gain shrinks──a tenfold rise in concentration gives 1.428571 at concentration 1 and 1.044776 at 10 (Section 2). Third, the volume kind has no ceiling──a tenfold rise always gives exactly 10.000000, reaching 20000.000000 at a concentration of 1000 (Section 3). Fourth, and this is the core. At low concentration the two cannot be told apart──between 0.001 and 0.01 even the site kind gives 9.823529, close to proportionality (Section 3). Fifth, so the presence of a ceiling cannot be settled on the dilute side──telling them apart requires raising the concentration until the ceiling is approached (Section 3). Sixth, the separator is whether the destination is a finite set of sites or a volume──sites can be counted; a volume cannot (Section 4). Under the one word dyeing live two expressions, one with a ceiling and one without, and at low concentration they cannot be told apart. In the site-filling kind the number of sites is the ceiling, so even at a concentration of 1000 the occupancy is 0.999500 and never exceeds one, while the gain from a tenfold rise shrinks from 1.428571 to 1.044776──the range over which "twice the dye gives twice the depth" holds is itself set by the concentration. The kind that dissolves into a volume has no ceiling, so a tenfold rise always gives exactly 10.000000, reaching 20000.000000 at a concentration of 1000──the destination is a volume rather than a set of sites, so no countable upper bound exists. Yet between 0.001 and 0.01 even the site kind gives 9.823529, close to 10.000000──so measuring only the dilute side and reading proportionality misses a kind that has a ceiling. Telling them apart requires raising the concentration until the ceiling is approached and seeing whether proportionality breaks──a good fit on the dilute side says nothing about which kind it is. And the difficulty is structural rather than accidental: the site kind is asymptotically proportional in the dilute limit, so the two must coincide there. The separator is whether the destination is a finite set of sites or a volume. Placed among the earlier papers──in Paper 284 different names shared one form; here one name takes two forms. To be honest──real combinations, rates and conditions are not treated, and both constants are representative. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: dyeing, adsorption isotherm, partition law, presence of a ceiling, dilute limit, one name over two forms. ----- 染料が繊維に入って落ち着くことを染着と呼ぶ。だがその下には、頭打ちになる仕組みと、いくらでも入る仕組みの二つがある。二つが濃い側で分かれ、薄い側で重なることを数で示す。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──ラングミュア型の吸着等温線、ネルンストの分配則、染着におけるこの二つの型の区別は、いずれも標準的である(ラングミュア 1918、アトキンス&ド・ポーラ 2010)。実在の組み合わせを主張しない──染料と繊維の組み合わせごとの値は扱わず、平衡定数と分配係数は前提として置いた代表値である。速度を扱わない──染着の速度、拡散律速か反応律速かには立ち入らない。平衡だけを見る。条件の効きを論じない──温度依存、pH、電解質の効きは扱わない。工程の設計をしない──浴比や染色の手順は扱わない。既刊との関係:論文284 は、ラングミュア吸着とフェルミ分布が同じ一つの式であることを示した──そこでは違う名前を持つものが同じ形を共有していることが主題で、射程注記は「吸着の機構を論じない、化学吸着と物理吸着の区別も一切扱わない」と明記していた。ここは逆向きで、同じ名前を持つものが違う形を取っている場合を扱う。形が同じで名が違う場合と、名が同じで形が違う場合になる。加えたのは、席の型の天井を 0.999500 と出したこと、増え方が 1.428571 から 1.044776 へしぼむことを示したこと、体積の型が 20000.000000 まで伸びることを示したこと、薄い側で 9.823529 倍と重なることを示したこと、分離子を「席か体積か」に置いたことである。 第一に、席に着く型には天井がある──濃度を 1000 にしても占有率は 0.999500 で、1 を超えない(第2節)。 第二に、その型では、増え方がしぼんでいく──濃度を 10 倍にしたときの増加は、濃度 1 で 1.428571 倍、濃度 10 で 1.044776 倍になる(第2節)。 第三に、体積に溶け込む型には天井が無い──濃度 10 倍はいつでもちょうど 10.000000 倍で、濃度 1000 では 20000.000000 になる(第3節)。 第四に、これが本稿の芯である。薄いところでは、二つを見分けられない──濃度 0.001 から 0.01 では、席の型でも 9.823529 倍で、比例からの隔たりが小さい(第3節)。 第五に、だから天井の有無は、薄い側の測定では決まらない──見分けるには、天井に近づくまで濃度を上げるしかない(第3節)。 第六に、分離子は、染料の行き先が有限個の席か、体積かである──席なら数え上げられ、体積なら数え上げられない(第4節)。 「染着」という一つの語の下に、天井のある式と天井のない式が同居している。しかも薄い側では見分けられない。席に着く型では席の数が天井になるので、濃度を 1000 にしても占有率は 0.999500 で 1 を超えず、濃度を 10 倍にしたときの増え方も 1.428571 倍から 1.044776 倍へしぼんでいく──「染料を倍にすれば倍濃く染まる」が成り立つ範囲が、濃度に依って決まる。体積に溶け込む型には天井が無いので、濃度 10 倍はいつでもちょうど 10.000000 倍で、濃度 1000 では 20000.000000 になる──行き先が席ではなく体積なので、数え上げられる上限が存在しない。ところが薄いところでは、席の型でも濃度 0.001 から 0.01 で 9.823529 倍になり、10.000000 倍との隔たりが小さい──だから薄い側だけを測って比例だと読むと、天井の有る型を見逃す。見分けるには天井に近づくまで濃度を上げて、比例が崩れるかどうかを見るしかない──薄い側での当てはまりの良さは、どちらの型かについて何も言っていない。しかもこの見分けにくさは偶然ではなく、席の型が薄い極限で比例に漸近するという式の形から出ている。分離子は、染料の行き先が有限個の席か、体積かである。既刊との位置──論文284 では違う名前が同じ形を共有していた。ここは同じ名前が違う形を取っている。正直に言えば──実在の組み合わせも速度も条件も扱わず、二つの定数は代表値として置いた。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:染着、吸着等温線、分配則、天井の有無、薄い極限、名が同じで形が違う。