An Aperture and Its Complement Make the Same Pattern Only Away From the Forward Direction ── the intensities of a slit and of its complement converge away from the forward direction, while in the forward direction alone they do not agree, the ratio being 18.9055 ── [Paper 546]

Abstract

Babinet's principle says that an aperture and its complement produce the same diffraction pattern. What this paper shows is that this holds only away from the forward direction, and that why it holds and why it fails follow from one and the same identity. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──Babinet's principle and Fraunhofer diffraction are standard. Vector diffraction is not treated──the complement of a polarised field, exchanging conductor and aperture, needs a separate argument; only a scalar field is examined. Near fields are not treated──only the far field was computed. No experiment is proposed──how to block the forward beam in practice is not the subject. Only one dimension──two-dimensional apertures are not entered. Numerical limits are not used as claims──the agreement is imperfect because the aperture and the grid are finite, not because the principle fails. Relation to earlier papers: Paper 41 showed that fringes do not remember the exponent──fringe positions come from phase and are a separate root from amplitude, and this paper likewise separates amplitude from intensity. Paper 442 showed that white is made by a difference in refractive index rather than by a colour──there too what is seen is a difference; here the difference of two fields survives as the open field. Paper 300 showed that sharing a root is decidable──forward and off-forward are separate roots under the criterion of what a quantity carries. What is added is confirming the sum to the 10^-13 level, showing the open field held at 0.010000 off axis, confirming that the closeness follows the residual by refining the grid, setting the forward ratio of 18.9055 beside it, and placing the separator on whether the open field is negligible. First, the two sum to the open screen──the field of a slit plus that of its complement equals the field of the open screen at every angle, to the 10^-13 level (Section 2). Second, the open screen's field is almost zero except forward──40.010000 at u=0 and only 0.010000 from u=0.05 onward (Section 2). Third, and this is the core. So away from the forward direction the complement's field is the slit's with the sign reversed──intensity is the squared modulus, so the two patterns coincide (Section 3). Fourth, the closeness is set by what remains of the open field──refining the grid from 0.0100 to 0.0020 improves the ratio from 0.99467820 to 0.99893196 (Section 3). Fifth, the forward direction alone does not agree──the ratio there is 18.9055, an order apart (Section 4). Sixth, the separator is whether the open field is negligible──not the shape of the aperture but the angle being viewed (Section 4). Babinet's principle says that an aperture and its complement produce the same diffraction pattern. They sum to the open screen──the field of a slit plus that of its complement equals the field of an unobstructed screen at every angle, to the 10^-13 level. The transmittances are t and 1-t and sum to one, so this is a consequence of linearity rather than a property of diffraction. That open field is large only forward, 40.010000 at u=0 and 0.010000 elsewhere, more than four thousandfold apart. Even the 0.010000 is only the residue of a finite aperture and grid, exactly the size of the step. So away from forward the two agree──with the open field nearly zero, the complement's field is the slit's with the sign reversed, and intensity takes the squared modulus, so the sign disappears. The ratios run from 0.9949412482 at u=0.05 to 0.9782433626 at u=0.40, off by 0.5 to 2 per cent. That is not the principle failing: refining the grid from 0.0100 to 0.0020 moves the ratio from 0.99467820 to 0.99893196, and dividing the spacing by five divides the departure by about five. Keeping amplitude and intensity apart is what makes this legible, the separation Paper 41 made between fringe position and amplitude. The separator is whether the open field is negligible──decided by the viewing angle rather than the shape of the aperture, so one aperture fails forward and holds elsewhere. Forward the ratio is 18.9055, an order apart, and stating the principle without qualification fails there. One identity explains both, since slit plus complement equals open, and everything turns on whether that right-hand side is small or large. Under Paper 300, agreement forward carries the open field as a belonging while agreement elsewhere does not. As in Paper 442, what is seen is a difference: the difference of two fields survives as the open field. To be honest──vector diffraction was not entered; the complement of a polarised field, exchanging conductor and aperture, needs a separate argument. Near fields were not treated and only the far field computed. Only one dimension was examined, and two-dimensional apertures were not entered. How to block the forward beam in practice was not discussed, and the imperfect agreement was not used as a claim about the principle, since aperture and grid are finite. What can be said is that the range of validity is set by angle, and that its boundary is explained by the size of the open field, and no further. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Babinet's principle, Fraunhofer diffraction, complementary aperture, diffraction pattern, forward scattering. ----- バビネの原理は、穴とその補集合が同じ回折像を作ると言う。本稿が示すのは、それが成り立つのが前方を外したときだけであり、成り立つ理由と成り立たない理由が同じ一本の等式から出ることである。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──バビネの原理も、フラウンホーファー回折も標準的である。ベクトル回折を扱わない──偏光を持つ場合の補集合(導体と開口の入れ替え)は別の議論が要る。本稿はスカラー場だけを見る。近接場を扱わない──遠方場だけを計算した。実験を提案しない──前方の光をどう遮るかという実験の工夫は主題ではない。一次元だけを見る──二次元の開口へ広げてはいない。数値の限界を主張に使わない──一致が完全でないのは開口と格子が有限だからで、原理の限界ではない。既刊との関係:論文41 は干渉縞が指数を覚えていないと示した──縞の位置は位相で決まり、振幅の大きさとは別根である。本稿も振幅と強度を分ける。論文442 は白が色ではなく屈折率の差が作ると示した──あちらも見えているものが差であった。本稿では二つの場の差が全面の場という形で残る。論文300 は同根か別根かが判定できると示した──前方と前方以外は「量の持ち物」の基準で別根である。加えたのは、足すと全面になることを 10^-13 で確かめたこと、全面の場が前方以外で 0.010000 にとどまることを示したこと、一致の度合いが全面の残りで決まることを格子の細かさを変えて確かめたこと、前方の比が 18.9055 になることを対照に置いたこと、分離子を「全面の場が無視できるか」に置いたことである。 第一に、足せば全面になる──スリットの場と補集合の場を足すと、どの角でも全面の場に 10^-13 の桁で一致する(第2節)。 第二に、全面の場は前方以外でほとんど零である──u=0 で 40.010000 なのに、u=0.05 以降は 0.010000 にすぎない(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。だから前方以外では、補集合の場がスリットの場の符号を変えたものになる──強度は絶対値の二乗なので、二つの像が一致する(第3節)。 第四に、一致の度合いは、全面の残りで決まる──格子を 0.0100 から 0.0020 へ細かくすると、比が 0.99467820 から 0.99893196 へ改善する(第3節)。 第五に、前方だけは一致しない──比が 18.9055 で、桁が違う(第4節)。 第六に、分離子は、全面の場が無視できるかどうかである──開口の形ではなく、見ている角である(第4節)。 バビネの原理は、穴とその補集合が同じ回折像を作ると言う。足すと全面になる──スリットの場と補集合の場を足すと、どの角でも全面の場に 10^-13 の桁で一致する。透過率が t と 1-t で足すと 1 になるからで、これは回折の性質ではなく線形性の帰結である。その全面の場は前方だけ大きく、u=0 で 40.010000、それ以外では 0.010000 にとどまる。4000 倍以上の差である。その 0.010000 も、開口と格子が有限であることの残りにすぎず、格子の間隔ちょうどである。だから前方を外すと、二つが一致する──全面がほとんど零なので、補集合の場はスリットの場の符号を変えたものになり、強度は絶対値の二乗を取るので符号が消える。比は u=0.05 で 0.9949412482、u=0.40 で 0.9782433626 と、0.5 から 2 パーセントずれる。ずれているのは原理が破れているからではない。格子を 0.0100 から 0.0020 へ細かくすると比が 0.99467820 から 0.99893196 へ改善し、間隔を 5 分の 1 にするとずれも約 5 分の 1 になる。振幅と強度を分けていることが効いている。論文41 が縞の位置と振幅の大きさを別根だと示したのと同じ分け方である。分離子は、全面の場が無視できるかどうかである──開口の形ではなく、見ている角で決まる。同じ開口でも前方では成り立たず、外せば成り立つ。前方では比が 18.9055 と桁が違い、バビネの原理を無条件に述べるとここで外れる。理由は一本の等式で説明される。スリットと補集合の和が全面であり、成り立つ理由も成り立たない理由も、その右辺が小さいか大きいかである。論文300 の「量の持ち物」でいえば、前方の一致は全面の場という持ち物を要り、前方以外の一致は要らない。論文442 が白を屈折率の差として見たのと同じで、ここでも見えているのは差であり、二つの場の差が全面の場として残っている。正直に言えば──ベクトル回折には立ち入っていない。偏光を持つ場合、導体と開口を入れ替える補集合には別の議論が要る。近接場も扱わず、遠方場だけを計算した。一次元だけを見ており、二次元の開口へは広げていない。前方の光をどう遮るかという実験の工夫も述べていない。一致が完全でないことを原理の限界として使うこともしない。開口と格子が有限だからである。言えるのは、成り立つ範囲が角で決まり、その境目が全面の場の大きさで説明される、そこまでである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:バビネの原理、フラウンホーファー回折、補集合の開口、回折像、前方散乱。