What a Power System's Inertia Sets Is How Deep the Frequency Sinks, Not Where It Settles ── quadrupling inertia makes the frequency nadir only 1.745117 times shallower, and all cases settle at -0.238095 Hz, set only by governor droop and load frequency sensitivity ── the separator is whether one asks about the nadir on the way or the settling point ── [Paper 789]

Abstract

It is said that the smaller a power system's inertia (the weight of its spinning generators), the further the frequency drops when generation trips. With a simple one-area model, the initial fall, the nadir on the way and the settling point after a trip are counted while inertia is varied. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the swing equation of generators, the inertia constant, the initial rate of change of frequency being inversely proportional to inertia, and governor droop setting the settled frequency are all known (Kundur 1994, Machowski et al. 2008). One area only──inter-area oscillation, voltage, protection and load shedding are left out. Values are representative──a 10 % trip, load frequency sensitivity 1, droop 0.05 and governor time constant 2 s are for comparison; figures for real systems are not claimed. Governors as a single lag──detailed turbine and control forms are not included. Choice of generation is not discussed──which sources should be added is not stated. Relation to earlier papers: Paper 356 showed that the current flows and does no work──its scope note stated that transients were not treated and only steady sinusoids were considered. There, within the steady state, current that flows was separated from power that works. Here the moment after a trip breaks the steady state is followed, separating the nadir from the settling point. Paper 783 showed that where the tides end up is set by angular momentum alone, and how long it takes is set by dissipation──the same type, in which different quantities set the destination and the way there, appears here in a power system. What is added is tabulating initial fall, nadir and settling point for three inertias and showing that the nadir is not inversely proportional to inertia (1.745117 times), deriving the nadir two ways, by numerical integration and by a closed form using the matrix exponential, showing that the settling point -0.238095 Hz is independent of inertia and becomes -5.000000 Hz without governors, and placing the separator on nadir versus settling point. First, the initial fall is inversely proportional to inertia──-1.250000, -0.625000 and -0.312500 Hz per second for inertia constants of 2, 4 and 8 s (Section 2). Second, the nadir on the way is deeper the smaller the inertia──-0.746571, -0.563236 and -0.427806 Hz (Section 2). Third, yet the nadir is not inversely proportional to inertia──quadrupling inertia makes it only 1.745117 times shallower (Section 2). Fourth, and this is the core. The settling point does not depend on inertia──all three settle at -0.238095 Hz, set only by governor droop and load frequency sensitivity (Section 2). Fifth, what sets the settling point is the governors──without governors the frequency falls to -5.000000 Hz (Section 2). Sixth, the separator is whether one asks about the nadir on the way or the settling point──"a low-inertia system drops its frequency a lot" has no truth value until one says which is meant (Section 3). What a power system's inertia sets is how deep the frequency sinks, not where it settles. When 10 % of generation trips in a 50 Hz system, inertia constants of 2, 4 and 8 s give initial falls of -1.250000, -0.625000 and -0.312500 Hz per second and nadirs of -0.746571, -0.563236 and -0.427806 Hz──the fall is inversely proportional to inertia, but quadrupling inertia makes the nadir only 1.745117 times shallower. All three settle at -0.238095 Hz, set only by governor droop and load frequency sensitivity, and without governors the frequency falls to -5.000000 Hz──inertia sets the way there, not the destination. The separator is whether one asks about the nadir on the way or the settling point. Placed among the earlier papers──Paper 356 separated current and power within the steady state; this follows the moment the steady state breaks and counts the same type as Paper 783 in a power system. To be honest──it is a simple one-area model, and neither voltage, nor protection, nor real system figures are treated. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: power systems, frequency, inertia constant, governor control, frequency nadir, generation trip. ----- 回っている発電機の重さ(慣性)が小さい電力系統ほど、電源が抜けたとき周波数が大きく下がる、と言われる。一つの地域の簡単な模型で、電源が抜けた直後の落ち方、途中の底、落ち着く先を、慣性を変えて数える。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──発電機の揺動方程式、慣性定数、周波数の初めの変化率が慣性に反比例すること、調速の垂下率で落ち着く周波数が決まることは、いずれも既知である(クンドゥール 1994、マホフスキーほか 2008)。一つの地域だけを見る──地域どうしの揺れ、電圧、保護装置の動作、負荷の切り離しは入れない。値は代表値である──脱落 10 %、負荷の周波数特性 1、垂下率 0.05、調速の時定数 2 秒は比べるための値で、実在の系統の数は主張しない。調速を一つの遅れで表す──タービンや制御の細かい形は入れない。電源の選び方を論じない──どの電源を増やすべきかは述べない。既刊との関係:論文356 は、電流は流れているのに仕事をしていないことを示した──その射程注記は過渡を扱わず、定常の正弦波だけを扱うと明記していた。そこでは定常の中で、流れる電流と仕事をする電力を分けた。ここでは電源が抜けて定常が壊れた直後を追い、周波数の沈む底と落ち着く先を分ける。論文783 は、潮汐の行き着く先は角運動量だけで決まり、そこに着く時間は散逸で決まることを示した──行き着く先と途中を別の量が決めるという同じ型が、ここでは電力系統に出る。加えたのは、三つの慣性で初めの落ち方・底・落ち着く先を並べ、底が慣性に反比例しないこと(1.745117 倍)を示したこと、数値の積分と行列の指数関数による閉じた形の二通りで底を出したこと、落ち着く先 -0.238095 Hz が慣性に依らず、調速がなければ -5.000000 Hz になることを示したこと、分離子を「途中の底か、落ち着く先か」に置いたことである。 第一に、初めの落ち方は、慣性に反比例する──慣性定数 2・4・8 秒で -1.250000・-0.625000・-0.312500 Hz/秒(第2節)。 第二に、途中の底は、慣性が小さいほど深い──-0.746571・-0.563236・-0.427806 Hz(第2節)。 第三に、けれど底は、慣性に反比例しない──慣性を 4 倍にしても底は 1.745117 倍しか浅くならない(第2節)。 第四に、これが本稿の芯である。落ち着く先は、慣性に依らない──三つとも -0.238095 Hz で、調速の垂下率と負荷の周波数特性だけで決まる(第2節)。 第五に、落ち着く先を決めているのは、調速である──調速がなければ -5.000000 Hz まで落ちる(第2節)。 第六に、分離子は、問うているのが途中の底か、落ち着く先かである──「慣性の小さい系統は周波数が大きく下がる」は、どちらを言うのかを言うまで真偽が決まらない(第3節)。 系統の慣性が決めるのは、周波数が沈む底の深さであって、落ち着く先ではない。50 Hz の系統で 10 % の電源が脱落すると、慣性定数 2・4・8 秒で初めの落ち方は -1.250000・-0.625000・-0.312500 Hz/秒、底は -0.746571・-0.563236・-0.427806 Hz になる──落ち方は慣性に反比例するが、底は慣性を 4 倍にしても 1.745117 倍しか浅くならない。落ち着く先はどれも -0.238095 Hz で、調速の垂下率と負荷の周波数特性だけで決まり、調速がなければ -5.000000 Hz まで落ちる──慣性は途中を決め、行き着く先は決めない。分離子は、問うているのが途中の底か、落ち着く先かである。既刊との位置──論文356 は定常の中で電流と電力を分けた。ここは定常が壊れた直後を追い、論文783 と同じ型が電力系統にも出ることを数えた。正直に言えば──一つの地域の簡単な模型で、電圧も保護も実在の系統の数も扱っていない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:電力系統、周波数、慣性定数、調速、周波数の底、電源の脱落。