The ABC Conjecture Is a Theorem for Polynomials and a Conjecture for Integers: Integers Lack the Derivative ── for polynomials maxdeg never exceeds the number of distinct roots minus 1 (the Mason--Stothers theorem), so the same inequality never fails ── its proof uses that the Wronskian ab'-a'b is divisible by the repeated part of the roots, and integers have no such derivative ── [Paper 641]

Abstract

For coprime positive integers a+b=c, write rad(abc) for the product of the distinct primes dividing abc, and define the quality q=log c/lograd(abc). The ABC conjecture says that for every epsilon>0 only finitely many triples have q>1+epsilon. The same question can be posed for polynomials, where it is a theorem. This paper proves nothing; it counts both and sets them side by side. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the ABC conjecture (Masser and Oesterlé, around 1985), the theorem for polynomials (Stothers 1981, Mason 1984), the triple 2+3^10x109=23^5 known for the highest quality, and counts of triples with q>1 are all known. The ABC conjecture is not proved──only triples up to c<10^6 are counted, and counting is not proof. The merits of Mochizuki's claimed proof (2012) are not discussed──it is only noted that it has not been widely accepted in the mathematical community. It is not said that "with a derivative the integer case would be solved"──what is shown is only which step of the polynomial proof does not carry over to integers. Relation to earlier papers: Paper 236 measured the dimension of the solution set of a differential equation with the Wronskian──here the same Wronskian counts the repeated roots of polynomials. Paper 640 counted that the number of ways to write an even number as a sum of two primes carries factors set by division by small primes, and noted that counting is not proof──here too the meeting of an addition a+b=c with the multiplicative structure rad(abc) is counted. What is added is counting integer triples up to 10^6 while matching three ways of counting, checking the polynomial inequality and the divisibility of the Wronskian on random triples, and placing the separator on whether there is a derivative. First, among integers there are triples with q>1──triples with q>1 number 6 with c<10^2, 31 with 10^3, 120 with 10^4, 418 with 10^5 and 1268 with 10^6. Among the 151895 coprime triples with c<10^3 there are 31, a share of 0.000204 (Section 2). Second, triples far above 1 are rare──of the 1268 triples with c<10^6, 102 have q>1.2, 11 have q>1.4 and only 2 have q>1.5; the highest is 1+4374=4375 at 1.567887. The triple known for the highest quality, 2+3^10x109=23^5, has 1.629912. The family 1+(3^2^k-1)=3^2^k keeps q>1 for k=1 to 6, but approaches 1, from 1.292030 at k=2 to 1.056393 at k=6 (Section 3). Third, and this is the core. For polynomials, the same inequality never fails──for coprime polynomials a+b=c, maxdeg does not exceed the number of distinct roots of abc minus 1 (the Mason--Stothers theorem). This inequality, the counterpart of log c<=lograd(abc) for integers, never failed in 600 triples built to have repeated roots, and the family a=x^n, c=(x+1)^n reached equality for n=2 to 8 (Section 4). Fourth, the polynomial proof uses the derivative, and integers have no such derivative──the Wronskian W=ab'-a'b is not 0 and is divisible m-1 times by each root repeated with weight m. In all 600 triples, W was divisible by abc/rad(abc). This step yields the polynomial inequality. Integers have nothing corresponding to a', and the step does not carry over (Section 5). For coprime a+b=c, triples whose quality q=log c/lograd(abc) exceeds 1 number 1268 with c<10^6, only 2 exceed 1.5, and the known highest, 2+3^10x109=23^5, has 1.629912. For polynomials, the same inequality maxdeg<= n_0(abc)-1 never fails (the Mason--Stothers theorem)──its proof uses that the Wronskian ab'-a'b is divisible by the repeated part of the roots, and integers have no such derivative. The separator is whether there is a derivative. Placed among the earlier papers──the Wronskian that measured the dimension of solutions in Paper 236 here counts repeated roots. To be honest──neither a proof of the ABC conjecture nor the merits of Mochizuki's claim is entered, and the count reaches only c<10^6. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: abc conjecture, radical, Mason-Stothers theorem, polynomials, Wronskian. ----- 互いに素な正の整数 a+b=c について、abc を割る相異なる素数の積を rad(abc) と書き、質を q=log c/lograd(abc) とする。 ABC 予想は、どんな epsilon>0 についても q>1+epsilon となる組は有限個しかない、と言う。多項式でも同じ問いが立ち、そこでは定理である。本稿は証明をせず、両方を数えて並べる。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──ABC 予想(マッサーとエステルレ、1985 年ごろ)、多項式での定理(ストザース 1981、メイソン 1984)、質が最高として知られる 2+3^10x109=23^5、q>1 の組の数え上げは、いずれも既知である。 ABC 予想を証明しない──c<10^6 までを数えただけで、数えることは証明にならない。望月氏による証明の主張(2012 年)の是非は論じない──数学界で広く受け入れられてはいない、とだけ記す。「微分があれば整数でも解ける」とは言わない──示すのは、多項式の証明のどの一歩が整数に写らないかだけである。既刊との関係:論文236 は、微分方程式の解の集まりの次元をロンスキアンで測った──ここでは同じロンスキアンが、多項式の重なった根の数を数える。論文640 は、偶数を二つの素数の和に表す仕方の数が小さな素数の割り算で決まる倍率を持つことを数え、数えることは証明にならないと書いた──ここでも足し算 a+b=c と、掛け算の構造 rad(abc) の出会いを数える。加えたのは、整数の組を三段の数え方で突き合わせながら 10^6 まで数えたこと、多項式の不等式とロンスキアンの割り切れを乱数の組で確かめたこと、分離子を「微分があるかどうか」に置いたことである。 第一に、整数では q>1 の組がある──q>1 の組は、c<10^2 で 6 組、10^3 で 31 組、10^4 で 120 組、10^5 で 418 組、10^6 で 1268 組だった。 c<10^3 の互いに素な組 151895 組のうちでは 31 組、割合 0.000204 である(第2節)。 第二に、1 を大きく超える組はまれである──c<10^6 の 1268 組のうち、q>1.2 は 102 組、q>1.4 は 11 組、q>1.5 は 2 組だけで、最高は 1+4374=4375 の 1.567887 である。質の最高として知られる 2+3^10x109=23^5 は 1.629912 だった。1+(3^2^k-1)=3^2^k は k=1 から 6 まで q>1 が続くが、k=2 の 1.292030 から k=6 の 1.056393 へと 1 に近づく(第3節)。 第三に、これが本稿の芯である。多項式では、同じ不等式が一度も破れない──互いに素な多項式 a+b=c では、maxdeg が abc の相異なる根の数 -1 を超えない(メイソン=ストザースの定理)。整数の log c<=lograd(abc) に当たるこの不等式は、重なった根を持つように作った 600 組で一度も破れず、a=x^n、c=(x+1)^n の族では n=2 から 8 まで等号になった(第4節)。 第四に、多項式の証明は微分を使い、整数にはその微分が無い──ロンスキアン W=ab'-a'b は 0 でなく、重さ m で重なった根ごとに m-1 回ずつ割り切れる。600 組すべてで、W は abc/rad(abc) で割り切れた。この一歩が多項式の不等式を生む。整数には a' に当たるものが無く、この一歩が写らない(第5節)。 互いに素な a+b=c で、質 q=log c/lograd(abc) が 1 を超える組は、c<10^6 に 1268 組あり、1.5 を超えるのは 2 組、知られた最高の 2+3^10x109=23^5 は 1.629912 だった。多項式では、同じ不等式 maxdeg<= n_0(abc)-1 が一度も破れない(メイソン=ストザースの定理)──その証明は、ロンスキアン ab'-a'b が重なった根の分で割り切れることを使い、整数にはその微分が無い。分離子は、微分があるかどうかである。既刊との位置──論文236 で解の次元を測ったロンスキアンが、ここでは重なった根を数える。正直に言えば──ABC 予想の証明にも、望月氏の主張の是非にも入っておらず、数えたのは c<10^6 までである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:ABC 予想、根基、メイソン=ストザーズの定理、多項式、ロンスキアン。 ----- Für teilerfremde positive ganze Zahlen a+b=c schreibe rad(abc) für das Produkt der verschiedenen Primzahlen, die abc teilen, und definiere die Qualität q=log c/log rad(abc). Die ABC-Vermutung besagt, dass es für jedes ε>0 nur endlich viele Tripel mit q>1+ε gibt. Dieselbe Frage lässt sich für Polynome stellen, wo sie ein Satz ist. Dieser Aufsatz beweist nichts; er zählt beides und stellt es nebeneinander. Es wird kein neuer Satz und kein neues Gesetz beansprucht. Tragweite (scope note): Es wird kein neuer Satz und kein neues Gesetz beansprucht──die ABC-Vermutung (Masser und Oesterlé, um 1985), der Satz für Polynome (Stothers 1981, Mason 1984), das für die höchste Qualität bekannte Tripel 2+3¹⁰×109=23⁵ und Zählungen von Tripeln mit q>1 sind alle bekannt. Die ABC-Vermutung wird nicht bewiesen──gezählt werden nur Tripel bis c<10⁶, und Zählen ist kein Beweis. Die Stichhaltigkeit von Mochizukis behauptetem Beweis (2012) wird nicht erörtert──es wird nur festgehalten, dass er in der mathematischen Gemeinschaft nicht allgemein anerkannt ist. Es wird nicht gesagt, "mit einer Ableitung wäre der Fall der ganzen Zahlen gelöst"──gezeigt wird nur, welcher Schritt des Beweises für Polynome sich nicht auf ganze Zahlen überträgt. Beziehung zu früheren Aufsätzen: Aufsatz 236 maß die Dimension der Lösungsmenge einer Differentialgleichung mit der Wronski-Determinante──hier zählt dieselbe Wronski-Determinante die wiederholten Nullstellen von Polynomen. Aufsatz 640 zählte, dass die Anzahl der Weisen, eine gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen zu schreiben, Faktoren trägt, die durch die Division durch kleine Primzahlen festgelegt sind, und hielt fest, dass Zählen kein Beweis ist──auch hier wird das Zusammentreffen einer Addition a+b=c mit der multiplikativen Struktur rad(abc) gezählt. Hinzugefügt wird, ganzzahlige Tripel bis 10⁶ zu zählen und dabei drei Zählweisen abzugleichen, die Ungleichung für Polynome und die Teilbarkeit der Wronski-Determinante an zufälligen Tripeln zu prüfen, und den Separator darauf zu legen, ob es eine Ableitung gibt. Erstens, unter den ganzen Zahlen gibt es Tripel mit q>1──Tripel mit q>1 gibt es 6 mit c<10², 31 mit 10³, 120 mit 10⁴, 418 mit 10⁵ und 1268 mit 10⁶. Unter den 151895 teilerfremden Tripeln mit c<10³ sind es 31, ein Anteil von 0.000204 (Abschnitt 2). Zweitens, Tripel weit über 1 sind selten──von den 1268 Tripeln mit c<10⁶ haben 102 ein q>1.2, 11 ein q>1.4 und nur 2 ein q>1.5; das höchste ist 1+4374=4375 mit 1.567887. Das für die höchste Qualität bekannte Tripel, 2+3¹⁰×109=23⁵, hat 1.629912. Die Familie 1+(3^(2^k)-1)=3^(2^k) behält q>1 für k=1 bis 6, nähert sich aber 1, von 1.292030 bei k=2 bis 1.056393 bei k=6 (Abschnitt 3). Drittens, und das ist der Kern. Für Polynome scheitert dieselbe Ungleichung nie──für teilerfremde Polynome a+b=c übersteigt maxdeg nicht die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von abc minus 1 (der Satz von Mason–Stothers). Diese Ungleichung, das Gegenstück zu log c≤log rad(abc) für ganze Zahlen, scheiterte nie in 600 Tripeln, die so gebaut waren, dass sie wiederholte Nullstellen haben, und die Familie a=x^n, c=(x+1)^n erreichte die Gleichheit für n=2 bis 8 (Abschnitt 4). Viertens, der Beweis für Polynome benutzt die Ableitung, und ganze Zahlen haben keine solche Ableitung──die Wronski-Determinante W=ab'-a'b ist nicht 0 und ist m-1-mal durch jede mit dem Gewicht m wiederholte Nullstelle teilbar. In allen 600 Tripeln war W durch abc/rad(abc) teilbar. Dieser Schritt liefert die Ungleichung für Polynome. Ganze Zahlen haben nichts, was a' entspricht,