The Four Planck Quantities Are Four Instances of One Rule ── 3rd ed.: in the Yamagishi Complete Planck Unit Unpacking Theory, the mass dimension fixes the power of 4π, and l_p/t_p=c holds in every unit system ── [Paper 40]

Abstract

The Four Planck Quantities Are Four Instances of One Rule: Mass Dimension Fixes the Power of 4pi, and l_p/t_p = c Holds in Every Unit System. Third edition. This paper carried a table showing that under the Yamagishi patch G = 4pi, hbar = 1/(4pi) the four Planck quantities read l_p = c^(-3/2), t_p = c^(-5/2), m_p = sqrt(c)/(4pi), E_p = c^(5/2)/(4pi). THE TABLE ITSELF IS CORRECT AND IS UNCHANGED IN THIS EDITION. What the third edition adds is the REASON for that table, and the removal from it of two items that were never claims. FIRST, TWO OF THE FIVE LISTED RESULTS ARE IDENTITIES. l_p/t_p = c and E_p t_p = hbar USE hbar G = 1 NOWHERE: in the ratio of l_p = sqrt(hbar G/c^3) and t_p = sqrt(hbar G/c^5) the factor hbar G CANCELS. Ten assignments of hbar and G were tested (the patch, SI units, hbar = G = c = 1, and six random assignments with hbar G ranging from 0.139 to 6.4e3). The worst relative error was 0.00e0 for l_p/t_p = c and 1.81e-16 for E_p t_p = hbar (rounding). THEY HOLD IN EVERY UNIT SYSTEM AND ADMIT NO WAY OF FAILING. Since only what can fail is worth checking numerically, the second edition's line "all five items confirmed by numerical verification" PLACED TWO FACTS AND TWO IDENTITIES IN THE SAME COLUMN. An equation with no violable null hypothesis confirms nothing when verified (Papers 21, 16). The third edition counts them apart: FOUR PATCH-DEPENDENT FACTS AND TWO UNIT-SYSTEM-INDEPENDENT IDENTITIES. THE ASYMMETRY IS ITSELF THE BOUNDARY LINE. Fixing c = 3.7 and multiplying G by 1.3, or hbar by 2, BREAKS ALL FOUR FORMS (l_p, t_p, m_p) while l_p/t_p = c SURVIVES UNTOUCHED. Under one and the same perturbation one side collapses entirely and the other does not move. THAT ASYMMETRY IS THE LINE DIVIDING A FACT FROM AN IDENTITY - and the line is seen by perturbing, not by arguing. SECOND, THE 4PI IS DOING NO WORK. Paper 116 showed that setting G = a, hbar = 1/a for ANY a greater than zero makes hbar G = 1 hold identically, with the four quantities becoming l_p = c^(-3/2), t_p = c^(-5/2), m_p = sqrt(c)/a, E_p = c^(5/2)/a. NOTHING ANYWHERE REQUIRES a = 4pi. The second edition's conclusion that "all four are expressible in powers of c and THE SOLID ANGLE 4pi alone" therefore reads accurately as "expressible in powers of c and OF THE PATCH CONSTANT a alone". Writing 4pi is a CHOICE OF NAME, not a result (in Paper 95's vocabulary, A CONVENTION), and no meaning as a solid angle follows from these four quantities. Moreover the 4pi in m_p is not independent: since hbar = 1/G, the relation hbar/G = 1/G^2 holds EXACTLY (verified here for G = 4pi, 2, 11.7 to within 1e-14), so m_p = sqrt(hbar c/G) = sqrt(c)/G. THE 4PI IN m_p IS G'S 4PI, SQUARED AND SQUARE-ROOTED BACK - not a second one coming from hbar (Paper 39). In these four quantities the 4pi has exactly one address. THIRD, WHAT THEN EXPLAINS THE TABLE? MASS DIMENSION. Applying Paper 116's theorem epsilon = mu (under the one-parameter patch, X = hbar^p G^q c^N = a^(-mu) c^N): l_p (mu = 0) and t_p (mu = 0) carry no 4pi, while m_p (mu = 1) and E_p (mu = 1) carry one. ALL FOUR AGREE. What decides whether a 4pi appears is NOT THE FLAVOUR of the words "geometric" and "material" but A NUMBER, the mass dimension. And because no quantity of mass dimension 2 or more occurs among the four, the power of 4pi never reaches 2. THIS PAPER HELD THE TABLE AND DID NOT HOLD ITS REASON. The reason lies in Paper 116, written later, and these four quantities are the smallest roll-call of that theorem. FOURTH, WHERE DO THE HALF-INTEGER EXPONENTS COME FROM? THE DETERMINANT OF THE DIMENSION MATRIX. Arranging the dimensions of (hbar, G, c) in (L, M, T) gives a matrix A with det A = 2 (verified here in exact rational arithmetic, and by numpy as 2.0). If X = hbar^p G^q c^N satisfies [X] = L^lambda M^mu T^tau, Cramer's rule determines (p, q, N) uniquely as rationals with denominator det A. Solved exactly: l_p gives (1/2, 1/2, -3/2), t_p gives (1/2, 1/2, -5/2), m_p gives (1/2, -1/2, 1/2), E_p gives (1/2, -1/2, 5/2) - ALL TWELVE EXPONENTS HAVE REDUCED DENOMINATOR EXACTLY 2. Substituting the SI values of hbar, G, c and comparing with the textbook Planck quantities gave a maximum relative error of 1.52e-16. The second edition said the exponents are "fixed uniquely by dimensional analysis"; that is HALF THE STORY - uniqueness is given by det A being nonzero, and the denominator 2 is given by |det A| = 2. These are two different facts (Papers 38, 39). FIFTH, THE SCOPE IS RESTATED AS SEVEN ROWS. (1) l_p = c^(-3/2) and t_p = c^(-5/2) are patch-dependent facts; (2) m_p = sqrt(c)/a and E_p = c^(5/2)/a are patch-dependent facts; (3) the value 4pi is a convention; (4) whether epsilon is 0 or 1 is a consequence of mass dimension (Paper 116); (5) the denominator 2 in the exponents is a consequence of the determinant (Papers 38, 39); (6) l_p/t_p = c is an identity; (7) E_p t_p = hbar is an identity. OF THE SEVEN ROWS, ONLY THE FIRST TWO CARRY A CLAIM PROPER TO THIS PAPER - namely the forms of the four quantities. THIS IS NOT A SHRINKING BUT AN ADDRESSING: only by writing which row belongs to which root does the table become checkable (Paper 17). IMPORTANT (scope): a structural interpretation and self-audit of elementary established facts (Layer 2). The mathematics used is entirely known and elementary (the definition of the Planck units, the solution of a 3x3 linear system, dimensional analysis). From within this series it uses Paper 116's theorem epsilon = mu, the |det| = 2 of Papers 38 and 39, and Paper 44's form X = c^N/(4pi)^epsilon. NOT ONE NEW THEOREM IS PROVED. What is not claimed: an identity is not called a "check of self-consistency" (Papers 21, 16) / 4pi is not called a forced value (the closure holds for any a greater than zero; Paper 116) / 4pi is not read as a solid angle / the exponent of c is not read as a spatial dimension / the 4pi in m_p is not counted as an independent second one (Paper 39) / no new fact about the Planck system is asserted - it is a rewriting following from a choice of units (Paper 95) / the claim that c is the building material of dimension is neither supported nor denied (Layer 3, quarantined under a non-scientific label). Items retracted in the second edition (the correspondence with Paper 34's c^5, and the phrase "an algebraic proof of (3+1)-dimensional structure") are not reinstated. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. ----- 四つのプランク量は、一つの規則の四つの実例である——質量次元が 4π の冪を決め、l_p/t_p=c は単位系によらない。第3版。 本稿は、山岸パッチ G=4π、ħ=1/(4π) の下でプランク四量が l_p=c^(−3/2)、t_p=c^(−5/2)、m_p=√c/(4π)、E_p=c^(5/2)/(4π) と書けることを示した表を持っていた。表そのものは正しく、第3版でも変更していない。第3版が加えるのは、その表の理由と、表に紛れ込んでいた二つの非‐主張の除去である。 第一に、五項目のうち二項目は恒等式である。l_p/t_p=c と E_p・t_p=ħ は ħG=1 を一切使わない——l_p=√(ħG/c³) と t_p=√(ħG/c⁵) の比では ħG が約分で消えるからである。本稿は ħ と G を無作為に振った10通り(山岸パッチ、SI 単位系、ħ=G=c=1、および ħG が 0.139 から 6.4×10³ にわたる乱数6通り)で検査した。l_p/t_p=c の最悪相対誤差は 0.00×10⁰、E_p・t_p=ħ は 1.81×10⁻¹⁶(丸め誤差)。すなわちこの二つはあらゆる単位系で成立し、破れうる余地を持たない。破れうるものだけが検算に値する以上、第2版が「五項目すべて数値検算により確認済」と書いたのは、事実二つと恒等式二つを同じ欄に並べたことになる。破れうる帰無仮説を持たない等式は、検算しても何も確認しない(論文21・16)。第3版は両者を分けて数える——パッチに依存する事実が四つ、単位系によらない恒等式が二つ。 非対称そのものが境界線である。c=3.7 に固定して G を 1.3 倍する、あるいは ħ を 2 倍すると、四量の形(l_p、t_p、m_p)はすべて破れるのに、l_p/t_p=c だけは破れない。同じ摂動で片方が全部壊れ、もう片方が無傷である——この非対称が、事実と恒等式を分ける線である。線は議論ではなく、摂動で見える。 第二に、4π は働いていない。論文116 は、G=a、ħ=1/a(a は任意の正数)としても ħG=1 が恒等的に成り立ち、四量が l_p=c^(−3/2)、t_p=c^(−5/2)、m_p=√c/a、E_p=c^(5/2)/a となることを示した。a=4π である必要はどこにもない。したがって第2版の結論「全4量が c の冪と立体角 4π のみで書ける」は、正確には「c の冪とパッチ定数 a の冪のみで書ける」である。4π と書くことは名前の選択であって結果ではなく(論文95 の語彙で規約)、立体角としての意味はこの四量からは出てこない。さらに m_p の 4π は独立ではない——ħ=1/G ゆえ ħ/G=1/G² が厳密に成り立ち(本稿で G=4π, 2, 11.7 について 10⁻¹⁴ 以内に確認)、m_p=√(ħc/G)=√c/G である。m_p の 4π は G の 4π を二乗して平方根に戻したものであり、ħ 由来の二つ目の 4π ではない(論文39)。本稿の四量に 4π の住所は一つしかない。 第三に、では表の理由は何か——質量次元である。論文116 の定理 ε=μ(一径数パッチの下で X=ħ^p G^q c^N = a^(−μ) c^N)を四量に当てると、l_p(μ=0)と t_p(μ=0)には 4π が付かず、m_p(μ=1)と E_p(μ=1)には一つ付く。四つとも一致する。4π が付くかどうかを決めているのは「幾何量か物質量か」という語感ではなく、質量次元という数である。そして質量次元 2 以上の量が四量に無いから、4π の冪は 2 に達しない。本稿は表を持っていて、その理由を持っていなかった。理由は後から書かれた論文116 にあり、本稿の四量はその定理の最小の点呼である。 第四に、半整数の指数はどこから来たか——次元行列の行列式である。(ħ, G, c) の次元を (L, M, T) で並べた行列 A は det A = 2(本稿で有理数演算により確認、numpy でも 2.0)。X=ħ^p G^q c^N が [X]=L^λ M^μ T^τ を満たすとき (p,q,N) はクラメルの公式で分母 det A の有理数として一意に定まる。四量について厳密に解くと、l_p が (1/2, 1/2, −3/2)、t_p が (1/2, 1/2, −5/2)、m_p が (1/2, −1/2, 1/2)、E_p が (1/2, −1/2, 5/2)——12個の指数すべての既約分母がちょうど 2 であった。SI の ħ, G, c を代入して教科書のプランク量と照合し、相対誤差は最大 1.52×10⁻¹⁶。第2版は指数を「次元解析によって一意に定まる」と書いたが、これは半分である——一意性は det A ≠ 0 が与え、分母の 2 は |det A|=2 が与える。この二つは別の事実である(論文38・39)。 第五に、それゆえ本稿が示していることを七行に書き直した。(1) l_p=c^(−3/2)、t_p=c^(−5/2) はパッチに依存する事実、(2) m_p=√c/a、E_p=c^(5/2)/a もパッチに依存する事実、(3) 4π という値は規約、(4) ε が 0 か 1 かは質量次元の帰結(論文116)、(5) 指数の分母が 2 なのは行列式の帰結(論文38・39)、(6) l_p/t_p=c は恒等式、(7) E_p・t_p=ħ も恒等式。七行のうち、本稿に固有の主張は上の二行、すなわち四量の形だけである。これは縮小ではなく住所づけである——どの行がどの根に属するかを書いて初めて、表は検査可能になる(論文17)。 重要(射程):確立された初等的事実の構造的解釈と自己点検(第2層)。用いた数学はすべて既知かつ初等である(プランク単位の定義、3元1次連立の求解、次元解析)。体系内部からは論文116 の定理 ε=μ、論文38・39 の |det|=2、論文44 の X=c^N/(4π)^ε を用いる。新しい定理は一つも証明しない。示さないこと:恒等式を「自己整合性の確認」と呼ばない(論文21・16)/4π を強制された値としない(a が正であればどれでも閉包する・論文116)/4π を立体角として読まない/c の指数を空間次元と読まない/m_p の 4π を独立な二つ目としない(論文39)/プランク単位系についての新事実を主張しない——単位の選択に伴う書き換えである(論文95)/c が次元の建築資材であるという主張を支持も否定もしない(第3層・非科学の札つきで隔離)。なお第2版で撤回済の項目(論文34 の c⁵ との対応、および「(3+1) 次元構造の代数証明」)は本版でも復活しない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。