One Third of the Geodetic Precession Survives When Gravity Is Switched Off ── Turning the spatial-curvature parameter moves only one of the two ── the separator is whether one switches off gravity or switches off spatial curvature ── [Paper 1063]

Abstract

One word, precession, points at two different effects. One comes from fast motion itself, the other from the spacetime around a heavy body. Earlier papers treated the two separately, and none placed them in a single frame for comparison. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──Thomas precession, geodetic precession, parallel transport of a spin along a circular orbit, and the parametrised post-Newtonian metric are all standard. Why the spatial-curvature part counts twice is not answered──what is written is only what each of the two effects responds to and what it does not. It is not re-read through hyperbolic area──reading the precession of fast motion as the area of a curved surface has already been written. This paper takes another route and composes Lorentz transformations to extract the rotation. No post-Newtonian framework is built──the parameter that scales spatial curvature is used only as a standard tool. Experimental values are not cited──how far orbiting gyroscopes have confirmed this precession is not treated, because the sources have not been checked. Numerical integration is not called proof──what can be said is agreement with an independently stated formula to a definite number of digits. The two are not called one root──all they share is that both move with speed, and no mechanism by which moving one moves the other has been measured. Relation to earlier papers: Paper 60 read the precession of fast motion as an area in curved velocity space and judged which 4π appears there──this paper does not repeat that route, and obtains the same angle from the composition of transformations instead. Paper 63 paired the curvature of velocity space with that of spacetime──this paper separates that pair, on one orbit, into two precessions. Paper 66 placed velocity-space curvature beside gravitational redshift──what is moved here is not a redshift but the direction of a gyroscope. Paper 76 put velocity-space curvature and the spacetime metric in one frame on phase space──within that frame, this paper shows in numbers that the two effects move with different handles. Paper 1027 showed that the spatial curvature of a rotating disk and the curvature of velocity space differ in their argument──the same kind of separation is applied here to two precessions. Paper 300 showed that whether two things share a root is decidable──following that discipline, only the one shared point is written and the two are not called one root. What is added: producing the two precessions on one orbit by separate routes, measuring that the coefficient moves linearly with the spatial-curvature parameter, confirming that the intercept is the precession of fast motion itself, and showing in numbers that the whole is three times it. First, each was produced by a separate route──the former by composing Lorentz transformations and extracting only the rotation, the latter by parallel-transporting a spin around a circular orbit. Against independent formulas the relative differences are at most 4.716×10⁻⁷ and 1.498×10⁻⁹. Second, and this is the core. The latter is not a single effect──turning the spatial-curvature parameter from 0 to 1 moves the coefficient linearly, with slope 6.276908365 and intercept 3.145915309. Third, that intercept is the former itself──measuring the former at the same orbital speed gives 3.142771190, differing from the intercept by only 0.003144119. Fourth, so the whole is three times the former──dividing the general-relativistic value by the former gives 2.998875002. Fifth, the separator is which handle is turned──switching off gravity leaves the former standing (at speed 0.6 it is 1.570796290459 radians), while turning the spatial-curvature parameter moves only the latter, by 6.276908595, against 0.000×10⁰ for the former. Stated plainly──why the spatial-curvature part counts twice is not answered. Numerical integration reaches agreement with an independent formula, not proof. Closing: one third of the geodetic precession survives when gravity is switched off. The two were produced by separate routes──composition of transformations and integration of parallel transport, agreeing with independent formulas to at most 4.716×10⁻⁷ and 1.498×10⁻⁹. The precession from spacetime is not a single effect──turning the spatial-curvature parameter moves the coefficient linearly, with slope 6.276908365, intercept 3.145915309 and residuals at most 7.843×10⁻⁴. The intercept is the precession of fast motion itself──measured at the same orbital speed 0.022360680 the coefficient is 3.142771190, differing by only 0.003144119. So the whole is three times it──dividing 9.424777961 by 3.142771190 gives 2.998875002. They look alike because both move with speed──on a circular orbit the square of the speed equals the ratio of mass to radius, so on one orbit the two come out equally small. Stated plainly──why the spatial-curvature part counts twice is not answered. Numerical integration reaches agreement with an independent formula, not proof, and no experimental value is cited. The separator──whether one switches off gravity or switches off spatial curvature. The first leaves only the precession of fast motion; the second moves only the precession from spacetime. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Thomas precession, geodetic precession, parallel transport, spatial curvature, Lorentz transformation, circular orbit, separator. ----- 同じ「歳差」という一語が、二つの別の効きを指している。速い運動そのものから出るものと、重い天体のまわりの時空から出るものである。体系はこの二つを別々の編で扱ってきたが、同じ枠に置いて比べた編は無い。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──トーマス歳差、測地線歳差、円軌道でのスピンの平行移動、パラメータ化された後ニュートンの計量は、いずれも標準的である。なぜ空間の曲率のぶんが二倍効くのかに答えない──本稿が書くのは、二つの効きがそれぞれ何に反応して何に反応しないか、までである。双曲面の面積では読み直さない──速い運動から出る歳差を曲がった面の面積として読む道はすでに書かれている。本稿は別の道を取り、ローレンツ変換を実際に合成して回転だけを取り出す。後ニュートンの枠組みを作らない──空間の曲率を加減する径数は、標準的な道具として使うだけである。実験の値を引かない──人工衛星のコマがこの歳差をどこまで確かめたかは、原典を確かめていないので扱わない。数値積分を証明と書かない──言えるのは、独立に立てた式と決まった桁で一致することまでである。二つを同根とは呼ばない──共有しているのは「速さで動く」ことだけで、片方を動かして他方が動く仕組みは何も測っていない。既刊との関係:論文60 は速い運動から出る歳差を、曲がった速度の空間の面積として読み、そこに現れる 4π がどの 4π かを判定した──本稿はその面積の道を再演せず、変換の合成という別の道から同じ角を出して突き合わせる。論文63 は速度の空間の曲率と時空の曲率を対にして読んだ──本稿はその対を、一つの軌道の上で二つの歳差として測り分ける。論文66 は速度の空間の曲率と重力赤方偏移を並べた──本稿が動かすのは赤方偏移ではなく、コマの向きである。論文76 は位相空間の上で速度の空間の曲率と時空の計量を同じ枠に置いた──本稿はその枠の中で、二つの効きが別の取っ手で動くことを数で示す。論文1027 は回る円板の空間の曲率と速度の空間の曲率が引数の違う別物だと示した──本稿は同じ型の分け方を、二つの歳差に当てる。論文300 は同根か別根かは判定できると示した──その規律に従い、共有している一点だけを書いて同根とは呼ばない。加えたのは、二つの歳差を一つの軌道の上で別々の道から出したこと、空間の曲率の径数を動かして係数が一次に動くことを測ったこと、その切片が速い運動から出る歳差そのものだと確かめたこと、全体がその三倍になることを数で示したことである。 第一に、二つをそれぞれ別の道で出した──前者はローレンツ変換を実際に合成して回転だけを取り出し、後者は円軌道でスピンを平行移動して積分した。独立な式との相対差はそれぞれ最大 4.716×10⁻⁷ と 1.498×10⁻⁹ である。 第二に、これが本稿の芯である。後者は一つの効きではない──空間の曲率の径数を 0 から 1 まで動かすと係数は一次に動き、傾きは 6.276908365、切片は 3.145915309 である。 第三に、その切片は前者そのものである──同じ軌道の速さで前者を測ると係数は 3.142771190 で、切片との差は 0.003144119 しかない。 第四に、だから全体は前者の三倍である──一般相対論の値を前者で割ると 2.998875002 になる。 第五に、分離子は動かす取っ手である──重力を消しても前者は残り(速さ 0.6 で 1.570796290459 ラジアン)、空間の曲率の径数を動かすと後者だけが散らばり 6.276908595 で動いて前者は 0.000×10⁰ である。 正直に書く──なぜ空間の曲率のぶんが二倍効くのかには答えない。数値積分は独立な式との突合せまでで、証明ではない。 結び:測地線歳差の三分の一は、重力を消しても残る。二つを別の道で出した──変換の合成と平行移動の積分で、独立な式との相対差はそれぞれ最大 4.716×10⁻⁷ と 1.498×10⁻⁹ である。時空から出る歳差は一つの効きではない──空間の曲率の径数を動かすと係数は一次に動き、傾き 6.276908365・切片 3.145915309、残り最大 7.843×10⁻⁴ である。切片は速い運動から出る歳差そのものである──同じ軌道の速さ 0.022360680 で測ると係数は 3.142771190 で、差は 0.003144119 しかない。だから全体は三倍になる──9.424777961 を 3.142771190 で割ると 2.998875002 である。似て見えるのは速さで両方が動くからである──円軌道では速さの二乗が質量と半径の比に等しく、同じ軌道の上では二つが同じ小ささになる。正直に書く──なぜ空間の曲率のぶんが二倍効くのかには答えない。数値積分は独立な式との突合せまでで、証明ではない。実験の値も引いていない。分離子──重力を消すか、空間の曲率を消すか。前者を消すと速い運動の歳差だけが残り、後者を動かすと時空の歳差だけが動く。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:トーマス歳差、測地線歳差、平行移動、空間の曲率、ローレンツ変換、円軌道、分離子。