Oil Drops Rule Out Half of e Only Because No Odd Multiple Appears, and With Large Errors Odd Multiples Emerge from Noise ── what rules them out is that counting in units of e/2 makes all 40 even, which, if a half unit appeared with odd and even multiples alike, would have probability 2^-40=9.094947x10^-13 ── the separator is whether the unit is chosen by peak height or by the absence of odd multiples ── [Paper 804]

Abstract

That oil-drop charges are integer multiples of the elementary charge e is a classic piece of evidence for the quantization of charge. But do those data rule out smaller units such as half or a third of e? With the charges of 40 oil drops made by random numbers, the Euclidean algorithm, peak heights and counts of odd multiples are compared. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──that oil-drop charges are integer multiples of the elementary charge (Millikan 1913), searching for the greatest common divisor of scattered values by how well their phases align, and the Euclidean algorithm for integers are all known. The measurement is not reproduced──Millikan’s apparatus, the viscosity of air and the estimation of drop sizes are not treated. Charges were made by random numbers, adding normally distributed errors to integers from 3 to 20 times e. Whether smaller charges exist in nature is not discussed──whether units smaller than e exist in nature is not the subject. Only what charge data rule out, and what they do not, is counted. The rule for choosing a peak is stated──among peaks of height, the largest unit is chosen by convention. The numbers are examples──40 drops, errors from 0.01e to 0.20e, and rounding steps of 0.01 and 0.1 (in 10^-19 C) are values for comparison. Relation to earlier papers: Paper 514 showed that a resistance containing no property of the sample is actually measurable, and its scope note stated “measurement is not discussed──actual measurement precision, temperature and sample quality are not the subject”──this paper stands beside that seat, counting, for charge rather than resistance, the side of reading a quantized quantity from measurements with error. Paper 801 showed that autocorrelation peaks of equal height stand at 5 ms and 10 ms, and that a rule decides which is taken──here charge peaks stand at e and e/2, and needing a rule to choose is the same type. Paper 605 counted, by the greatest common divisor of periods, that the sexagenary cycle has sixty pairs, not a hundred and twenty──there the periods were given as integers. Here the greatest common divisor is sought from real values with error. What is added is showing that the Euclidean algorithm on rounded integers returns only 1, counting that heights at fractions of e line up as the formula says, so height cannot rule out fractions, showing that what rules them out is the absence of odd multiples, with probability 2^-40, matching against expected counts that with large errors odd multiples emerge from noise, and placing the separator on choosing by height or by the absence of odd multiples. First, the Euclidean algorithm on rounded integers does not return e──for all five errors and both rounding steps, the greatest common divisor is 1 (Section 2). Second, peak height does not rule out fractions of e──at sigma=0.01e the height is 0.997624 at e and 0.990531 at e/2, with 6 peaks above 0.9 from e/6 to e (Section 3). Third, and this is the core. What rules them out is that no odd multiple ever appears──counted in units of e/2, all 40 are even, which would have probability 9.094947x10^-13 if a half unit appeared with odd and even multiples alike (Section 4). Fourth, with large errors, odd multiples emerge from noise──at sigma=0.20e, 9 drops (expected 8.451982) are odd in units of e/2, and the probability of none is 7.524603x10^-5 (Section 4). Fifth, smaller fractions break down sooner──at sigma=0.10e the expected number of odd multiples is 0.496773 for e/2 and 3.823228 for e/3 (Section 4). Sixth, the separator is whether the unit is chosen by peak height or by the absence of odd multiples──“the data rule out units smaller than e” is not decided true or false until one says which way the unit is chosen (Section 5). Oil-drop charges rule out half of e only because no odd multiple ever appears, and with large errors the odd multiples emerge from noise. With 40 drops of 3 to 20 elementary charges, the Euclidean algorithm on rounded integers returns only 1, and at sigma=0.01e the peak height 0.990531 at e/2 stands beside 0.997624 at e──height does not rule out fractions of e; a rule chooses. What rules them out is that all 40 are even in units of e/2, which would have probability 9.094947x10^-13 if a half unit appeared odd and even alike. Yet at sigma=0.20e, 9 drops (expected 8.451982) become odd in units of e/2──a half charge that does not exist becomes visible out of noise. The separator is whether the unit is chosen by peak height or by the absence of odd multiples. Placed among the earlier papers──Paper 514 counted quantization while leaving measurement aside, and Paper 801 showed a rule choosing among peaks of equal height. This is the side of reading a quantized quantity from measurements with error, standing beside that seat. To be honest──the charges were made by random numbers, and neither the actual Millikan measurement nor whether charges smaller than e exist in nature is treated. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: elementary charge, oil drop, greatest common divisor, Euclidean algorithm, quantization of charge, Millikan. ----- 油滴の電荷が素電荷 e の整数倍であることは、電荷の量子化の古典的な証拠である。では、そのデータは e の半分や三分の一という、もっと小さい単位を否定しているのか。乱数で作った 40 個の油滴の電荷で、互除法、高さ、半端な倍数の数を比べる。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──油滴の電荷が素電荷の整数倍であること(ミリカン 1913)、ばらつきのある値の最大公約数を位相のそろい方で探すこと、整数の互除法は、いずれも既知である。測定を再現しない──ミリカンの装置、空気の粘性、油滴の大きさの見積りは扱わない。電荷は e の 3〜20 倍の整数に正規分布の誤差を足して乱数で作った。小さい電荷が自然に在るかを論じない──e より小さい単位が自然に在るかどうかは主題ではない。電荷のデータが何を否定し、何を否定しないかだけを数える。山を選ぶ規則を明示する──高さの山からは、最も大きい単位を選ぶと約束する。数は例である──油滴 40 個、誤差 0.01e〜0.20e、丸めの刻み 0.01 と 0.1(10^-19 C)は比べるための値である。既刊との関係:論文514 は、試料の性質が一つも入っていない抵抗が実際に測れることを示し、射程注記で「測定を論じない──実際の測定精度、温度、試料の質は主題ではない」とした──本稿はその席の隣に置く。量子化された量を誤差のある測定から読む側を、抵抗ではなく電荷で数える。論文801 は、自己相関の山が 5 ms と 10 ms に同じ高さで立ち、どちらを拾うかは規則が決めることを示した──ここでは電荷の山が e と e/2 に立ち、選ぶ規則が要るのは同じ型である。論文605 は、干支が百二十通りではなく六十通りしかないことを、周期の最大公約数で数えた──そこでは周期は整数で与えられていた。ここでは誤差のある実数から最大公約数を探す。加えたのは、丸めた整数の互除法が 1 しか返さないことを示したこと、e の分数の高さが式どおりに並び、高さでは分数を否定できないことを数えたこと、否定しているのが半端な倍数の不在であり、その確率が 2^-40 であることを示したこと、誤差が大きいと半端な倍数が雑音から現れることを、期待の数と突き合わせたこと、分離子を「高さで選ぶか、半端な倍数の不在で選ぶか」に置いたことである。 第一に、丸めた整数の互除法は、e を返さない──五つの誤差と二つの丸めの刻みのすべてで、最大公約数は 1(第2節)。 第二に、山の高さは、e の分数を否定しない──sigma=0.01e で e の高さ 0.997624 に対し e/2 は 0.990531 で、高さ 0.9 を超える山が e/6 から e まで 6 本並ぶ(第3節)。 第三に、これが本稿の芯である。否定しているのは、半端な倍数が一度も出ないことである──e/2 を単位に数えると 40 個とも偶数で、半端な単位が偶奇を問わず出るならその確率は 9.094947x10^-13(第4節)。 第四に、誤差が大きいと、半端な倍数は雑音から現れる──sigma=0.20e では e/2 を単位に奇数の油滴が 9 個(期待 8.451982 個)、一個も出ない確率は 7.524603x10^-5(第4節)。 第五に、小さい分数ほど、早く崩れる──sigma=0.10e で、e/2 の半端の期待は 0.496773 個、e/3 の半端の期待は 3.823228 個(第4節)。 第六に、分離子は、山の高さで単位を選ぶか、半端な倍数が出ないことで選ぶか──「データは e より小さい単位を否定する」は、どちらで選ぶかを言うまで正しいかどうかが決まらない(第5節)。 油滴の電荷が e の半分を否定するのは、半端な倍数が一度も出ないからで、誤差が大きいと半端は雑音から現れる。素電荷の 3〜20 倍の油滴 40 個で、丸めた整数の互除法は 1 しか返さず、高さの山は sigma=0.01e で e の 0.997624 に e/2 の 0.990531 が並ぶ──高さは e の分数を否定せず、選ぶのは規則である。否定しているのは、e/2 を単位に数えて 40 個とも偶数になることで、半端な単位が偶奇を問わず出るならその確率は 9.094947x10^-13 である。ところが sigma=0.20e では、e/2 を単位に奇数の油滴が 9 個(期待 8.451982 個)現れる──存在しない半分の電荷が、雑音から見える。分離子は、山の高さで単位を選ぶか、半端な倍数が出ないことで選ぶかである。既刊との位置──論文514 は測定を論じず量子化を数え、論文801 は同じ高さの山を規則が選ぶことを示した。ここは量子化された量を誤差のある測定から読む側で、その席の隣に置いた。正直に言えば──電荷は乱数で作ったもので、ミリカンの測定の実際も、e より小さい電荷が自然に在るかどうかも扱っていない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:素電荷、油滴、最大公約数、互除法、電荷の量子化、測定の誤差。