The Maximum Drawdown Belongs to the Order of the Trades — Shuffling Alone Moves It by up to 4.23 Times Its Smallest Value, While the Total and the Win Rate Do Not Move at All [F031]

Abstract

資金曲線を見せて「最大ドローダウンは N pips でした」と書くことがある。だが合計は足す順番に依らない。どう並べ替えても同じであり、それは足し算がそういうものだからで、測定の結果ではない。一方で最大ドローダウンは途中経過を見る量であり、負けが固まって来れば深くなり、散らばって来れば浅くなる。同じ取引の集合でも並べ方で変わる。本稿の分離子は取引を並べる順序であり、取引の集合・件数・合計をすべて固定して、並べる順序だけを変える。 四銘柄(USDJPY・EURUSD・GBPUSD・XAUUSD)の2019年から2024年までの1時間足で、24 本ごとに一件建てて 24 本後に切る(重複しない)取引を作り、向きを四通り(常に買い・常に売り・移動平均20の傾きの符号・乖離の符号)とした。銘柄あたり約 1,500 件、合わせて 16 通りの集合である。これを 1,000 回並べ替え、そのたびに最大ドローダウンと最長の水面下を出した。ロットは固定一単位で、コストは入れていない。まず検算として、合計・平均・勝率は並べ替えでまったく動かない。常に買いと常に売りの合計は 4781.85 と −4781.85、13172.91 と −13172.91 のように符号違いでぴったり一致し、計算が壊れていないことが確かめられる。 本稿の芯はここにある。並べ替えだけで、最大ドローダウンは最小の 1.77 倍から 5.39 倍(中央 4.23 倍)まで動く。幅は 2,713.40 から 12,267.52 pips である。USDJPY の常に買いは、同じ取引・同じ合計のまま 1,120.20 pips にも 4,604.10 pips にもなる。「最大ドローダウンは 2,247.70 pips でした」という一文は、その広がりのうち一つを報告しているにすぎない。合計はびくとも動かないのに最大ドローダウンはこれだけ動く。二つは同じ資金曲線から出ているのに、片方は順序に依らず、片方は順序にしか依らない。 では実際の並びは特別なのか。最大ドローダウンの百分位は中央 0.5330、幅 0.0060 から 0.8760 で、0.95 を超えたものは 16 のうち 0 である。負けが固まって来ているなら百分位は 1.0 に寄るはずだが、そうなっていない。端に出たのは一つだけで、しかも EURUSD の乖離の符号が 0.0060、つまり 1,000 通りの並べ替えのどれよりも小さいドローダウンという良い側だった。最長の水面下も百分位の中央が 0.3745、幅 0.0170 から 0.9730 で、分布の中にある。基準線として足の中まで独立な正規増分で作った合成系列で同じことをすると、百分位は中央 0.3915、幅 0.0440 から 0.9820 で実測と同じ帯にあり、並べ替えの幅も中央 4.28 倍と実測の 4.23 倍にほとんど等しい。したがってこの幅は市場の性質ではなく、並べ替えの算術である。なお実測の「常に買い」だけ百分位が乱数より高い(0.6560 対 0.3745)が、16 のうち 0.95 を超えたものが無いので、本稿はそれを効果として主張しない。結論は、最大ドローダウンを報告するときに必要なのは同じ取引を並べ替えた分布である、ということである。そして本稿はロットを固定して測っている。複利にすれば、後ろの取引ほど資金への影響が大きくなり、順序の効果はさらに増える。 この論文の位置づけ:新しい数学定理も新しい法則も主張しない。並べ替え検定、ドローダウンの定義はどちらも既知である。特定の教材やその著者、販売元は主題ではなく、一切名指していない。コストを入れていないので、本稿の数字は売買の成績ではない。ロットを固定一単位にしており、複利では順序の効果がさらに増える。取引の作り方を一通りに固定している。四つの向きは独立ではない(常に買いと常に売りは同じ取引の符号違い)。並べ替えは 1,000 回で、百分位の分解能は 0.001 までである。ドリフトを分離していない。最長の水面下は件数で数えており、時間ではない。測定は日中・少数銘柄・四銘柄六年に限られ、月次の時系列モメンタムのようにより長い保有で文書化されている結果を否定するものではない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、集計に用いたスクリプトの作成には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 ----- An equity curve is shown and the text reads "the maximum drawdown was N pips". But a total does not depend on the order of addition: shuffle as you like and it stays the same, because that is what addition is, not a measurement result. The maximum drawdown, by contrast, looks at the path: it deepens when losses arrive together and shallows when they are spread out, so the same set of trades gives different values under different orders. The separator here is the order in which the trades are placed: the set, the count and the total are all held fixed, and only the order is varied. Using one-hour bars for four series (USDJPY, EURUSD, GBPUSD, XAUUSD) from 2019 to 2024, trades were built with one entry every 24 bars exited 24 bars later (no overlap), in four directions (always buy, always sell, the sign of the SMA(20) slope, the sign of the deviation): about 1,500 trades per instrument and 16 sets in all. Each set was shuffled 1,000 times, with the maximum drawdown and the longest stretch under water recorded each time. The position size is one fixed unit and no costs are included. As a check, the total, the mean and the win rate do not move at all under shuffling, and the totals of always-buy and always-sell match exactly with opposite signs — 4781.85 against −4781.85, 13172.91 against −13172.91 — confirming that the arithmetic is not broken. The core of the paper is here. Shuffling alone takes the maximum drawdown from 1.77 to 5.39 times its smallest value (median 4.23 times), a range of 2,713.40 to 12,267.52 pips. USDJPY always-buy comes out anywhere from 1,120.20 to 4,604.10 pips on the same trades with the same total, so the sentence "the maximum drawdown was 2,247.70 pips" reports one value out of that spread. The total does not budge while the maximum drawdown moves this far: both come from the same equity curve, yet one does not depend on the order at all and the other depends on nothing else. Is the actual order special, then? The drawdown percentile has a median of 0.5330 and a range of 0.0060 to 0.8760, exceeding 0.95 in 0 of 16 cases. If losses arrived together the percentile would push toward 1.0, and it does not. Only one case landed at an extreme, and it was the good side: EURUSD on the sign of the deviation at 0.0060, a smaller drawdown than any of the 1,000 shuffles. The longest stretch under water takes the same shape, with a median percentile of 0.3745 and a range of 0.0170 to 0.9730, inside the distribution as well. Running the same thing on a synthetic series built from independent normal increments down to the movement inside each bar gives a median percentile of 0.3915 with a range of 0.0440 to 0.9820 — the same band as the measurement — and a shuffling range of 4.28 times, barely different from the measurement's 4.23. This range is therefore not a property of the market but the arithmetic of shuffling. Only the measurement's always-buy has a higher percentile than the random walk's (0.6560 against 0.3745), but with 0 of 16 above 0.95 this paper does not claim it as an effect. The conclusion is that a report of a maximum drawdown needs the distribution from shuffling the same trades. And this paper measures with a fixed position size: with compounding, later trades weigh more on the account and the effect of order grows further. Scope of this paper: no new mathematical theorem and no new law is claimed; permutation tests and the definition of drawdown are both known. No real course, author, or vendor is the subject here, and none is named. No costs are included, so the figures are not trading performance. The position size is one fixed unit, and with compounding the effect of order grows further. One way of building trades is fixed. The four directions are not independent (always-buy and always-sell are the same trades with the sign flipped). There are 1,000 shuffles, so the percentile resolves to 0.001. The drift is not separated. The longest stretch under water is counted in trades, not time. The measurement is intraday and covers four instruments over six years, and does not contradict results documented at longer holding periods, such as monthly time-series momentum. Acknowledgement: The ideas and content of this paper stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and writing the scripts used for the measurement. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated.