Two Different States Carry Exactly the Same Load ── In the linear model, a flow of 3000 vehicles per hour occurs at densities 41.4590 and 108.5410 per km, at speeds of 72.3607 and 27.6393 km/h ── a factor of 2.6180 ── and the maximum 3750 occurs at half the free-flow speed ── [Paper 462]

Abstract

A road is thought to carry more the faster it runs. This paper shows that two states carry the same flow at speeds differing by 2.6180──and the maximum flow occurs at half the free-flow speed. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the fundamental diagram of traffic flow and the Greenshields linear model are entirely standard. No road is designed──lanes, merges, signals and tolls are not the subject. No driving is discussed──headway, speed choice and driver behaviour are not the subject. The linear model is a model──a speed falling linearly with density is too simple; measured diagrams are more complex and unstable near the peak. Congestion onset is not explained──where jams form and how shockwaves travel are not the subject; only steady states are treated. Relation to earlier papers: Paper 461 showed that reversing the direction lets the outlet overtake──there too, one device became a different quantity with its arrangement. Paper 300 showed that common root and distinct root can be decided──“a fast road” and “a road that carries much” are distinct roots by that criterion. Paper 447 showed that the optimum is interior──there too, looking at one side alone misled; this is a second instance. What is added is tabulating speed and flow at five densities, giving the maximum as 3750.000000000 and matching the closed form, solving for the two densities at a given flow, 41.4590 and 108.5410, giving the speed ratio as 2.6180, and placing the separator at speed versus the product. First, the maximum flow is 3750.000000000 per hour at a density of 75 per km (Section 2). Second, the speed there is exactly half the free-flow value, 50.000000000000 km/h (Section 2). Third, this is the core of the paper. A flow of 3000 occurs at densities 41.4590 and 108.5410, at 72.3607 against 27.6393 km/h (Section 3). Fourth, densities of 20 and 130 both give 1733.3333 per hour (Section 2). Fifth, the maximum matches the closed form v_fk_j/4 exactly (Section 2). Sixth, the separator is whether flow is set by speed or by the product of speed and density (Section 4). A road is thought to carry more the faster it runs──raise the limit and the traffic flows better, natural enough as an intuition. But what is carried is speed times number, and running faster means longer gaps, so the number falls. The maximum sits in the middle──the greatest flow is 3750.000000000 per hour at a density of 75 per km, matching the closed form v_fk_j/4 exactly. The speed there is 50.000000000000 km/h, exactly half the free-flow value: the state that carries most is not the fastest state. Densities of 20 and 130 both give 1733.3333 per hour at speeds differing by 6.5, and densities of 50 and 100 both give 3333.3333, arranged symmetrically about the peak. So two states carry the same flow──3000 per hour occurs at densities 41.4590 and 108.5410, at 72.3607 against 27.6393 km/h, a factor of 2.6180. Counted at a section the two cannot be told apart: a device recording only vehicles past a point sees the same number, and without density or speed the side is unknown. And the remedy reverses──on the uncongested side more inflow raises the flow, on the congested side only less inflow does. One observation, two opposite actions. On the congested side more inflow lowers the flow, which is the direction in which ramp metering works. The peak of 3750 is only 1.25 times 3000, at best a 25 per cent gain, while on the congested side, left alone, it can fall to 1733.3333. One thing separates them──is flow set by speed, or by the product of speed and density. Set by speed, faster is better, and the monotone relation yields the prescription of a higher limit. Set by the product, the peak is interior: speed and density move against each other, so maximising either alone does not maximise the product. They are distinct roots by the criterion of Paper 300, one a property of speed and one of speed paired with density. It is the same shape as Paper 447, where thickening the sludge too far cost effective performance: in both, the increasing direction has a peak. It overlaps Paper 461 too, where one device became a different quantity with its arrangement: in both, the observation alone does not fix the state. So flow records should carry a density or a speed──“3000 per hour” alone does not say whether the road is comfortable or jammed, one number naming opposite states. To be honest──the linear model is too simple, and measured diagrams scatter near the peak and become unstable. The values 3750 and 50 km/h depend on the model; the existence of a peak and of two states at one flow does not. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: traffic flow, fundamental diagram, traffic capacity, Greenshields model, congestion. ----- 道路は速く走らせるほど多く運べると思われている。本稿が示すのは、同じ流量を出す状態が二つあり、速度が 2.6180 倍違うことである──そして最大流量は、自由流の半分の速度で出る。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──交通流の基本図、グリーンシールズの線形モデルはすべて既知である。道路を設計しない──車線数、合流部、信号制御、料金は主題ではない。運転を論じない──車間、速度選択、運転行動は主題ではない。線形モデルは模型である──速度が密度に線形という仮定は単純すぎる。実測の基本図はもっと複雑で、頂点付近が不安定になる。渋滞の発生を説明しない──どこでどう詰まるか、衝撃波の伝播は主題ではない。定常状態だけを見る。既刊との関係:論文461 は向きを変えるだけで出口が追い越すことを示した──そこでも、同じ装置が配置で別の量になった。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──「速い道路」と「よく運ぶ道路」は、その基準で別根である。論文447 は最良点が内部にあることを示した──そこでも、片側だけを見ると誤った。本稿はその二例目である。加えたのは、五つの密度で速度と流量を並べたこと、最大流量を 3750.000000000 台/時と出して閉じた式と照合したこと、同じ流量を出す二つの密度を 41.4590 と 108.5410 と出したこと、速度の比を 2.6180 倍と出したこと、分離子を「速度か、速度と密度の積か」に置いたことである。 第一に、最大流量は密度 75 台/km で 3750.000000000 台/時である(第2節)。 第二に、そのときの速度は自由流のちょうど半分、50.000000000000 km/h である(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。流量 3000 台/時を出す密度は 41.4590 と 108.5410 の二つあり、速度は 72.3607 対 27.6393 km/h である(第3節)。 第四に、密度 20 の 1733.3333 台/時と、密度 130 の 1733.3333 台/時は同じである(第2節)。 第五に、最大流量は閉じた式 v_fk_j/4 と厳密に一致する(第2節)。 第六に、分離子は「流量が速度で決まるか、速度と密度の積で決まるか」である(第4節)。 道路は速く走らせるほど多く運べると思われている──速度制限を上げれば流れがよくなる、というのは直観として自然である。だが運ぶ量は速度と台数の積であり、速く走らせるには車間を空けるので、台数のほうが減る。最大は、真ん中にある──最大流量は密度 75 台/km で 3750.000000000 台/時、閉じた式 v_fk_j/4 と厳密に一致する。そのときの速度は 50.000000000000 km/h、自由流のちょうど半分である。最もよく運ぶ状態は、最も速い状態ではない。密度 20 と密度 130 は同じ 1733.3333 台/時で、速度は 86.6667 と 13.3333 と 6.5 倍違うのに運んでいる量は同じ。密度 50 と 100 も同じ 3333.3333 台/時で、頂点をはさんで対称に並ぶ。だから同じ流量を出す状態が、二つある──流量 3000 台/時を出す密度は 41.4590 と 108.5410 の二つで、速度は 72.3607 対 27.6393 km/h と 2.6180 倍違う。断面で通過台数だけを数えているかぎり、この二つは区別できない。密度か速度を測らなければ、どちら側にいるか分からない。そして打つ手が正反対になる──空いている側なら流入を増やせば流量が伸び、混んでいる側なら流入を減らさなければ伸びない。同じ観測値に、逆向きの対処が対応する。混んでいる側では流入を増やすと流量が減り、渋滞時の流入規制はこの向きに効いている。頂点の 3750 は 3000 の 1.25 倍にすぎず、最良でも 25 パーセントしか増えない。一方、混んでいる側で放置すれば 1733.3333 まで落ちうる。分けているものは一つ──流量が速度で決まるか、速度と密度の積で決まるか。速度で決まるなら速いほどよく、単調な関係から「速度制限を上げる」という処方が出る。積で決まるなら頂点が内部にあり、速度と密度は互いに反対に動くので、どちらか一方を最大にしても積は最大にならない。論文300 の基準で別根であり、一方は速度の量、一方は速度と密度の組の量である。論文447 と同じ形で、そこでは汚泥を濃くしすぎると実効性能が落ちた。どちらも、増やす方向に頂点がある。論文461 とも重なり、そこでは同じ装置が向きで別の量になった。どちらも、観測値だけでは状態が決まらない。だから流量の記録には密度か速度を添える──3000 台/時という数だけでは、道路が快適なのか渋滞しているのか分からず、同じ数が正反対の状態を指す。正直に言えば──線形モデルは単純すぎる。実測の基本図は頂点付近で散らばり、不安定になる。3750 や 50 km/h という数はこの模型に依るが、頂点が存在して同じ流量が二つの状態に対応するという結論は依らない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:交通流、基本図、交通容量、グリーンシールズ模型、渋滞。