What Sets the Speed Is the Power, Not the Gear ── 200 W balances at 32.13 km/h, far above the 13.46 km/h a 34x28 reaches ── what a gear selects is not speed but cadence ── reaching 25 km/h in 34x28 demands 167.2 rpm ── [Paper 449]

Abstract

A low gear is slow and a high gear is fast──so it is thought. This paper shows that power sets the speed and the gear only selects the cadence──so “a lower gear makes you slower” is true only when the power drops. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──gear ratios, cadence and the road-load equation are all standard. No bicycle is designed──number of speeds, tooth counts and equipment choice are not the subject. No training is discussed──which cadence is efficient and how to train are not the subject. The numbers are representative──a wheel circumference of 2.096 m, a drag area of 0.30 m^2, a rolling resistance of 0.005 and a total mass of 80 kg are representative, not measured. Climbing is excluded──only level ground is treated; on a gradient the meaning of a gear changes. Relation to earlier papers: Paper 448 showed that the size of one photon is set by colour──there too, there was a place where adding more did not help. Paper 300 showed that common root and distinct root can be decided──“what the gear sets” and “what the power sets” are distinct roots by that criterion. Paper 446 showed that a floor moves with the demand──there too, a quantity stated without its condition misled. What is added is giving the reach of two gears, solving the 200 W balance by bisection at 32.13 km/h, giving the cadence ratio for a fixed speed as 3.82, placing the physiological wall at 167.2 rpm, and placing the separator at power versus geometry. First, at 90 rpm a 34x28 gives 13.46 km/h and a 50x11 gives 51.45 (Section 2). Second, the gear alone moves the speed by a factor of 3.82 (Section 2). Third, this is the core of the paper.200 W balances at 32.13 km/h, and that is settled independently of the gear (Section 3). Fourth, the cadence needed for the same 25 km/h differs by the same factor of 3.82 (Section 2). Fifth, 25 km/h in 34x28 demands 167.2 rpm, beyond what can be sustained (Section 2). Sixth, the separator is whether power or geometry sets the speed (Section 4). A low gear is slow and a high gear is fast──so it is thought──and it is true that a small ratio covers less ground per stroke. But the cadence appears in the expression for speed, and a small gear turned fast gives the same speed. The gear does a great deal──at 90 rpm a 34x28 gives 13.4620 km/h and a 50x11 gives 51.4500, a factor of 3.82. And the cadence needed for the same 25 km/h, 167.1810 against 43.7480, differs by the same 3.82: the speed ratio and the cadence ratio agree, because a gear is only a conversion between two quantities. But 167.2 rpm cannot be held. The sustainable ceiling is around 120, and there is a physiological wall here. The speed itself, though, is settled elsewhere──200 W balances at 32.1288 km/h, and neither gear nor tooth count nor wheel circumference appears anywhere in that expression. The balance is set by power, air and road alone. 32.13 km/h is far above the 13.46 a 34x28 reaches, so delivering that power in that gear means turning at 215 rpm──what the gear does not give is paid in cadence. And it cannot be paid: 215 rpm cannot be held, so in practice the power falls instead. This is what “a low gear is slow” really is──not a slow gear, but a power one cannot deliver. Conversely 200 W is not enough to hold 90 rpm in 50x11: a gear promises nothing. One thing separates them──does power set the speed, or geometry. If power sets it, the gear is only a choice of cadence, and at the same power any gear settles at the same speed with only the turning of the legs changing. If geometry sets it, changing gear changes the speed──true only when the cadence is held fixed, and that fixing lives in the rider, not the machine. They are distinct roots by the criterion of Paper 300, one a property of the power and one of geometry paired with a cadence. It is the same shape as Paper 446, where “how many times the floor” was undetermined without the recovery: here “a fast gear” is undetermined without the cadence. So dropping to a low gear on a climb is not a surrender──it is a conversion that delivers the same power at a cadence one can hold, protecting power rather than giving up speed. To be honest──only level ground has been treated. On a gradient a gravity term appears and the required power jumps; the direction of the conclusion is unchanged, the numbers are not. One last thing──the most efficient cadence differs between riders, and 90 was taken as representative. A view of the gear as a device for absorbing that individual variation follows from this. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: bicycle, gear ratio, cadence, resistive forces, power output. ----- 軽いギアは遅く、重いギアは速い──そう思われている。本稿が示すのは、速度を決めているのは出力であって、ギアは回転数を選んでいるだけであることである──だから「軽いギアにすると遅くなる」は、出力を落としたときにだけ正しい。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──ギア比、ケイデンス、走行抵抗の式はすべて既知である。自転車を設計しない──変速機の段数、歯数構成、機材の選択は主題ではない。訓練を論じない──どの回転数が効率的か、どう鍛えるかは主題ではない。数値は代表値である──車輪周長 2.096 m、空気抵抗係数 0.30 m^2、転がり抵抗 0.005、総重量 80 kg は代表値であり、実測ではない。登坂を含めない──平地のみを扱う。勾配があればギアの意味は変わる。既刊との関係:論文448 は光子 1 個の大きさが色で決まることを示した──そこでも、量を増やす方向が効かない場所があった。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──「ギアが決める量」と「出力が決める量」は、その基準で別根である。論文446 は下限が要求で動くことを示した──そこでも、条件を言わない量が誤解を生んだ。加えたのは、二つのギアで到達速度を出したこと、200 W の釣り合い速度を二分法で 32.13 km/h と出したこと、同じ速度に要る回転数の比を 3.82 倍と出したこと、167.2 回転という生理的な壁を境目として置いたこと、分離子を「出力か幾何か」に置いたことである。 第一に、毎分 90 回転で 34x28 は 13.46 km/h、50x11 は 51.35 km/h である(第2節)。 第二に、ギアだけで速度は 3.82 倍動く(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。200 W で釣り合う速度は 32.13 km/h であり、これはギアの選択と無関係に決まる(第3節)。 第四に、同じ 25 km/h を出すのに要る回転数は、ギアによって 3.82 倍違う(第2節)。 第五に、34x28 で 25 km/h を出すには毎分 167.2 回転が要り、これは持続可能な上限を超える(第2節)。 第六に、分離子は「出力が決めるか、幾何が決めるか」である(第4節)。 軽いギアは遅く、重いギアは速い──そう思われている──歯数の比が小さければ一漕ぎで進む距離が短いのは正しい。だが速度の式には回転数が入っており、ギアが小さくても速く回せば同じ速度が出る。ギアの効きは大きい──毎分 90 回転で 34x28 は 13.4620 km/h、50x11 は 51.4500 km/h と 3.82 倍違う。逆に同じ 25 km/h を出すのに要る回転数も 167.1810 対 43.7480 で同じ 3.82 倍であり、速度の比と回転数の比が一致する──ギアは二つの量の間の換算にすぎない。そして 167.2 回転は人間には維持できない。持続可能な上限はおよそ 120 で、ここに生理的な壁がある。ところが速度そのものは、別のところで決まっている──200 W と釣り合う速度は 32.1288 km/h であり、この式にはギアも歯数も車輪周長も一度も現れない。釣り合いは出力と空気と路面だけで決まる。32.13 km/h は 34x28 の到達域 13.46 を大きく超えるので、このギアでこの出力を出すには毎分 215 回転で回すことになる──足りないぶんは回転で払う。そして払えない。215 回転は維持できないから、実際には出力のほうが落ちる。「軽いギアだと遅い」の正体はこれで、ギアが遅いのではなく、出せる出力が落ちるのである。逆に重いギアでも出力が足りなければ速くならず、50x11 で毎分 90 回転を維持するには 200 W では足りない。ギアは約束をしない。分けているものは一つ──速度を決めているのが出力か、幾何か。出力が決めるならギアは回転数の選択でしかなく、同じ出力ならどのギアでも同じ速度に落ち着いて、変わるのは脚の回し方だけである。幾何が決めるならギアを変えれば速度が変わるが、それは回転数が固定されている場合にだけ正しく、その固定は機械ではなく人間の側にある。論文300 の基準で別根であり、一方は出力の量、一方は幾何と回転数の組の量である。論文446 と同じ形で、そこでは「下限の何倍か」が回収率を言わなければ決まらなかった。ここでは「速いギア」が回転数を言わなければ決まらない。だから登坂で軽いギアに落とすのは諦めではない──同じ出力を維持できる回転数で出すための換算であり、速度を捨てているのではなく出力を守っている。正直に言えば──平地しか扱っておらず、勾配があれば重力の項が加わって必要な出力が跳ね上がる。結論の向きは変わらないが、数は変わる。最後に一つ──最も効率のよい回転数は人によって違い、ここでは 90 を代表値として置いた。ギアの選択が個人差を吸収する装置である、という見方がここから出る。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:自転車、ギア比、ケイデンス、走行抵抗、出力。