White Is Made by a Difference, Not by a Colour ── The same "white powders" scatter as 1 to 0.006944 once mixed into a resin, a factor of 144 ── wet the paper and the difference falls from 1.70 to 1.37, taking 35.1 per cent of the scattering with it ── match the index and the white vanishes exactly ── [Paper 442]

Abstract

A white powder is taken to be white. This paper shows that whiteness is not a property of the powder──it is made by the difference from its surroundings, and vanishes when the difference does. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──light scattering, hiding power from index contrast and optical clearing are all standard. Scattering theory is not derived──no exact Mie calculation is performed; only the approximation that scattering goes as the square of the difference is used, which is coarse where the particle size approaches the wavelength. Optimal particle size is not discussed──that hiding power depends on size is standard, but only the index difference is varied here. No pigment is recommended──which material to use is not the subject. The indices are not asserted as measurements──2.70, 1.60, 1.55, 1.50 and 1.33 are representative and vary with wavelength. Colour is not treated──colour from absorption is not the subject; only white from scattering. Relation to earlier papers: Paper 441 showed that the metal reacting most readily is the one that does not corrode──there another quantity hid inside the name of a material; here whiteness is not fixed by the material alone. Paper 300 showed that common root and distinct root can be decided──“the powder is white” and “it whitens when mixed” are distinct roots by that criterion. Paper 424 showed that dividing turns a move in the denominator into an event──here too, a pairing of two quantities settles the result. Paper 440 showed that the direction is fixed only once two metals are paired──the same shape: a property undetermined alone. What is added is setting the difference in air against the difference in resin for three pigments, giving the ratio of scattering as a factor of 144 or more, confirming the square relation by inversion, giving the fall on wetting as 35.1 per cent, placing the matched case at exactly 0 as the other side of the boundary, and placing the separator at “property or difference”. First, titanium dioxide, calcium carbonate and quartz are all equally white powders on their own (Section 2). Second, this is the core of the paper. Mixed into a resin they scatter as 1, 0.006944 and 0.001736, a factor of 144 or more (Section 2). Third, shrink the difference by a ratio and the scattering falls by its square; inversion returns 0.006944444 (Section 2). Fourth, wetting paper takes the difference from 1.70 to 1.37 and the scattering falls by 35.1 per cent (Section 3). Fifth, match the indices exactly and the scattering is exactly 0 (Section 3). Sixth, the separator is a property of the powder against a difference from its surroundings (Section 4). A white powder is taken to be white──held in the hand they all look alike, so whiteness looks like a property of the powder──but what appears in the expression is a difference n_p-n_m, and the particle alone does not fix it. Change the surroundings and they separate by orders──in air the differences for titanium dioxide, calcium carbonate and quartz are 1.70, 0.60 and 0.55, of the same order, which is why all three look white as powders. In resin they become 1.20, 0.10 and 0.05, calcium carbonate being 0.0833 of titanium dioxide. Since scattering goes as the square, the strengths are 1, 0.006944 and 0.001736──a factor of 144 or more. That value matches the square of the ratio of differences exactly, 0.0833^2=0.006944444, an inversion that confirms the computation. And when the difference shrinks, the white fades──when the voids in paper change from air to water the difference falls from 1.70 to 1.37 and the scattering by 35.1 per cent. Nothing about the paper changed: the fibres and pigment are as they were, and only what fills the voids changed. That is why wet paper goes translucent, and soaking it in oil goes further because oil has a higher index than water. Match the indices exactly and the scattering is exactly 0, where the particle optically ceases to exist──and a heap of sugar or salt going clear on dissolving is the same thing: not that it dissolved, but that the difference went. One thing separates them──a property of the powder, or a difference from its surroundings. A property would stay white anywhere, and it does not; a difference is removed by changing the surroundings, and wetting, mixing and soaking all remove it. They are distinct roots by the criterion of Paper 300, one a property of a substance and one of a pairing. So the hiding power of a paint cannot be read from the pigment alone but only when paired with the index of the resin──the same shape as Paper 440, where the direction was fixed only once two metals were paired. And since it goes as the square, halving the difference quarters the scattering, so a small difference in the difference becomes a large difference in appearance. To be honest──the square relation is an approximation, coarse where the particle size approaches the wavelength. What does not change is that a zero difference gives zero scattering. One last thing──hiding power also depends on particle size. Only the index difference has been varied here; choosing an optimal size is another axis, not treated. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: light scattering, refractive index contrast, hiding power, white pigment, Mie scattering. ----- 白い粉は白い、と思われている。本稿が示すのは、白さが粉の性質ではないことである──周りとの屈折率の差が作っており、差が消えれば白も消える。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──光散乱、屈折率差による隠蔽力、透明化の現象はすべて既知である。散乱理論を導出しない──ミー散乱の厳密な計算は行わず、差の二乗に比例するという近似だけを使う。粒径が波長に近い領域では、この近似は粗い。最適な粒径を論じない──隠蔽力が粒径に依ることは既知だが、本稿は屈折率の差だけを動かす。顔料を推奨しない──どの材料を使うべきかは主題ではない。屈折率の値を実測として主張しない──2.70・1.60・1.55・1.50・1.33 は代表値であり、波長で動く。色を扱わない──吸収による色は主題ではない。散乱による白だけを扱う。既刊との関係:論文441 は最も反応しやすい金属が最も錆びないことを示した──そこでは材料名の中に別の量が隠れていた。ここでは材料単体では白さが決まらない。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──「粉が白い」と「混ぜて白くなる」は、その基準で別根である。論文424 は割ると分母の動きが分子の出来事になることを示した──ここでも、二つの量の差という組が結果を決める。論文440 は組にして初めて向きが決まることを示した──同じ形で、単体では性質が決まらない。加えたのは、三つの顔料で空気との差と樹脂との差を並べたこと、散乱の比を 144 倍以上と数に出したこと、差の二乗との一致を逆算で確かめたこと、濡らしたときの落ち方を 35.1 パーセントと出したこと、一致した場合をちょうど 0 として境目の反対側に置いたこと、分離子を「粉の性質か差か」に置いたことである。 第一に、酸化チタンも炭酸カルシウムも石英も、単体では同じように白い粉である(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。樹脂に混ぜると散乱は 1 対 0.006944 対 0.001736 と、144 倍以上違う(第2節)。 第三に、差が同じ比で縮めば、散乱はその二乗で落ちる。逆算しても 0.006944444 と一致する(第2節)。 第四に、紙を水で濡らすと差は 1.70 から 1.37 へ縮み、散乱は 35.1 パーセント落ちる(第3節)。 第五に、屈折率がぴったり一致すれば、散乱はちょうど 0 になる(第3節)。 第六に、分離子は「粉の性質か、周りとの差か」である(第4節)。 白い粉は白い、と思われている──手に取ればどれも同じように白いので、白さがその粉の性質に見える。だが式に入っているのは差 n_p-n_m であって、粒子だけでは決まらない。周りを変えると、桁で分かれる──空気中では酸化チタン・炭酸カルシウム・石英の差は 1.70・0.60・0.55 と同じ桁で、粉のままではどれも白く見える。ところが樹脂に混ぜると 1.20 対 0.10 対 0.05 になり、炭酸カルシウムは酸化チタンの 0.0833 しかない。散乱は差の二乗で効くので、強さは 1 対 0.006944 対 0.001736、144 倍以上の差になる。この値は差の比の二乗 0.0833^2=0.006944444 と厳密に一致し、逆算になっている。そして差が縮めば、白は薄れる──紙の隙間が空気から水に変わると差は 1.70 から 1.37 へ縮み、散乱は 35.1 パーセント落ちる。紙は何も変わっておらず、繊維も顔料もそのままで、変わったのは隙間に入っているものだけである。それで白さが三分の一以上落ちる──濡れた紙が透けるのはそのためで、油をしみ込ませればもっと透ける。油は水より屈折率が高いからである。屈折率がぴったり一致すれば散乱はちょうど 0 になり、そのとき粒子は光学的に存在しない。砂糖や塩の山が白く、溶かすと透明になるのも同じ理屈で、溶けたのではなく差が消えたのである。分けているものは一つ──粉の性質か、周りとの差か。粉の性質ならどこに置いても白いはずだが、そうはならない。差なら周りを変えれば消え、実際に濡らす・混ぜる・しみ込ませるで消える。論文300 の基準で別根であり、一方は物質の性質、一方は組み合わせの性質である。だから塗料の隠蔽力は粉だけを見ても分からず、樹脂の屈折率と組にして初めて決まる──論文440 で金属が組にして初めて向きを決めたのと、同じ形である。そして差の二乗で効くので、差が半分になれば散乱は四分の一になり、わずかな差の違いが大きな見え方の違いになる。正直に言えば──散乱が差の二乗に比例するのは近似で、粒径が光の波長に近い領域では粗い。動かないのは、差がゼロなら散乱もゼロだという点である。最後に一つ──隠蔽力は粒径にも依る。本稿は屈折率の差だけを動かしており、粒径を最適に選ぶという別の軸は扱っていない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:光散乱、屈折率差、隠蔽力、白色顔料、ミー散乱。