Halving the Size Beats Changing the Material Forty Times Over ── Spheres of radius 5 mm and 20 cm have cooling time constants of 348.8333 and 13953.3333 seconds, a ratio of exactly 40.000000000 ── changing the material from water to metal at one size gives only 1.3081 ── what sets the cooling is not specific heat but the surface-to-volume ratio ── [Paper 465]

Abstract

How fast a thing cools is thought to be set by its material. This paper shows that size acts 40 times harder──changing from water to metal gives only 1.3081. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──Newton’s law of cooling, the lumped capacitance method and the surface-to-volume ratio are all standard. No apparatus is designed──insulation, forced air and vacuum flasks are not the subject. Internal gradients are excluded──the lumped capacitance method is used; at large Biot number internal gradients matter and this treatment fails. The heat transfer coefficient is fixed──h=20 W/(m^2 K) is taken as representative of natural convection; in reality it varies with size and temperature difference. Radiation and evaporation are excluded──radiation matters when hot and evaporation at a liquid surface, but only convection is treated. Relation to earlier papers: Paper 464 showed that what cools is evaporation, not the temperature of the water──there too, the conspicuous quantity and the acting one differed. Paper 300 showed that common root and distinct root can be decided──“cooling set by material” and “by shape” are distinct roots by that criterion. Paper 451 showed that what insulates is the air and not the snow──there too, the name of the material did not settle how heat passes. What is added is giving the time constant at four radii, showing the ratio to be exactly 40.000000000, giving the effect of material as 1.3081, confirming that the product with the surface-to-volume ratio is constant, confirming that changing the temperature interval leaves the ratio unchanged, and placing the separator at substance versus shape. First, a sphere of radius 5 mm has a time constant of 348.8333 seconds (Section 2). Second, at 20 cm it is 13953.3333, a ratio of exactly 40.000000000 (Section 2). Third, this is the core of the paper. Changing the material at one size gives only 1.3081 (Section 3). Fourth, the product of time constant and surface-to-volume ratio is independent of radius (Section 2). Fifth, cooling from 90 to 60 takes 3.2535 and 130.1418 minutes (Section 3). Sixth, the separator is whether the property belongs to the substance or to the shape (Section 4). How fast a thing cools is thought to be set by its material──low specific heat cools quickly, and c does appear in the expression. But so does r: heat leaves through the surface and is stored in the volume, and that ratio changes with size. Size acts forty times over──a sphere of radius 5 mm has a time constant of 348.8333 seconds and one of 20 cm has 13953.3333, a ratio of exactly 40.000000000, because volume goes as r^3, area as r^2 and the ratio as r. The surface-to-volume ratio is 600.0000 at 5 mm and 15.0000 at 20 cm, the same factor of 40: small things have much surface for their volume. And the product of the two is independent of radius, tau.(A/V)=rho c/h, with the geometry cancelling. So “how fast it cools” is the product of a substance-and-surroundings factor and a shape factor. The material acts only 1.3 times──fixing the radius at 5 cm, water gives 3488.3333 seconds and metal 2666.6667, a ratio of 1.3081. The specific heats differ more than tenfold, 400 against 4186, but density works the other way and the product nearly cancels. Set 40 against 1.3081 and size acts more than thirty times harder: “metal cools faster” is true and small. Cooling from 90 to 60 degrees takes 3.2535 and 130.1418 minutes, again a ratio of exactly 40.000000000, because the cooling is exponential and the temperature interval does not enter the ratio. From 90 to 30 the ratio is the same: it is set by geometry alone. So to cool something quickly, divide it──the same volume in eight pieces halves the radius and halves the time constant. One thing separates them──does the property belong to the substance, or to the shape. To the substance, and a materials table settles it from specific heat and density, with shape not entering. To the shape, and the same material spans a factor of 40 between 5 mm and 20 cm, which no materials table records. They are distinct roots by the criterion of Paper 300, one a property of a substance and one of a substance paired with a shape. This stands where Paper 451 stands, where what insulated was the air and not the snow: in both, the answer lies with the structure. It overlaps Paper 464 too, where the conspicuous quantity and the acting one differed: here it is material against size. And this is part of why small animals run hotter metabolisms, more heat escaping per unit of volume──though animals have fur and blood flow, so this calculation alone does not suffice. To be honest──the lumped capacitance method is used, and at large Biot number an internal gradient forms and the treatment fails. The factor of 40 is a value under that approximation; the conclusion that A/V acts does not depend on it. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Newton's law of cooling, lumped capacitance method, surface-to-volume ratio, cooling time. ----- 冷めやすさは材質で決まると思われている。本稿が示すのは、大きさのほうが 40 倍効くことである──材質を水から金属に変えても 1.3081 倍にしかならない。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──ニュートンの冷却則、集中熱容量法、表面積体積比はすべて既知である。装置を設計しない──断熱、送風、保温容器の設計は主題ではない。内部の温度分布を扱わない──集中熱容量法を用いる。ビオ数が大きい場合は内部の勾配が効き、この扱いは成り立たない。熱伝達率を固定する──h=20 W/(m^2 K) を自然対流の代表値として置いた。実際は大きさと温度差で変わる。放射と蒸発を含めない──高温では放射が、液体の表面では蒸発が効くが、ここでは対流だけを見る。既刊との関係:論文464 は冷やしているのが水温ではなく蒸発であることを示した──そこでも、目立つ量と効く量が違った。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──「材質で決まる冷めやすさ」と「形で決まる冷めやすさ」は、その基準で別根である。論文451 は断熱しているのが雪ではなく空気であることを示した──そこでも、材質の名前が熱の通り方を決めていなかった。加えたのは、四つの半径で時定数を出したこと、比がちょうど 40.000000000 倍になることを示したこと、材質の効きを 1.3081 倍と出したこと、時定数と表面積体積比の積が一定であることを確かめたこと、温度区間を変えても比が変わらないことを確かめたこと、分離子を「物質か形か」に置いたことである。 第一に、半径 5 mm の球の冷却時定数は 348.8333 秒である(第2節)。 第二に、半径 20 cm では 13953.3333 秒で、比はちょうど 40.000000000 倍である(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。同じ大きさで材質を水から金属に変えても、1.3081 倍にしかならない(第3節)。 第四に、時定数と表面積体積比の積は、半径によらず一定である(第2節)。 第五に、90 度から 60 度まで冷めるのに、3.2535 分と 130.1418 分かかる(第3節)。 第六に、分離子は「物質の性質で決まるか、形の性質で決まるか」である(第4節)。 冷めやすさは材質で決まると思われている──比熱が小さいものは冷めやすく、式にも c が入っている。だが式には r も入っている。熱は表面から逃げ、蓄えられるのは体積の中で、その比が大きさで変わる。大きさは四十倍効く──半径 5 mm の球の時定数は 348.8333 秒、20 cm では 13953.3333 秒で、比はちょうど 40.000000000 倍。体積が r^3、表面積が r^2 で、比が r に比例するからである。表面積体積比は半径 5 mm で 600.0000、20 cm で 15.0000 と同じ 40 倍の差があり、小さいものは体積のわりに表面が広い。そして時定数と表面積体積比の積は半径によらず一定で、tau.(A/V)=rho c/h と幾何が消える。だから「冷めやすさ」は rho c/h という物質と環境の組と、A/V という形の積であり、二つの因子に分かれる。ところが材質は 1.3 倍しか効かない──半径 5 cm を固定して水から金属に変えると、時定数は 3488.3333 秒から 2666.6667 秒へ、1.3081 倍にしかならない。比熱は 400 対 4186 で 10 倍以上違うのに、密度が逆に効いて積ではほとんど差がなくなる。40 倍と 1.3081 倍を比べれば、大きさのほうが 30 倍以上効く。「金属のほうが冷めやすい」は、正しいが小さい。90 度から 60 度まで冷めるのに 3.2535 分と 130.1418 分かかり、比はやはり 40.000000000 倍。冷却の形が指数なので、温度の区間は比に効かない。90 度から 30 度まででも比は同じ 40.000000000 倍で、区間を変えても動かない──比は幾何だけで決まっている。だから熱いものを早く冷ますには小分けにするのが最も効く。同じ体積を 8 個に分ければ半径は半分になり、時定数も半分になる。分けているものは一つ──物質の性質で決まるか、形の性質で決まるか。物質で決まるなら材料表を引けばよく、比熱と密度が分かれば答えが出て、形は関係ない。形で決まるなら同じ材料でも桁が違い、半径 5 mm と 20 cm で 40 倍動く。材料表には書かれていない。論文300 の基準で別根であり、一方は物質の量、一方は物質と形の組の量である。論文451 と同じ場所にいて、そこでは断熱しているのが雪ではなく空気で、材質の名前が熱の通り方を決めていなかった。どちらも、構造の側に答えがある。論文464 とも重なり、そこでは目立つ量(水温)と効く量(蒸発)が違った。ここでは目立つ量(材質)と効く量(大きさ)が違う。そしてこれが、小さい生き物ほど代謝が速い理由の一部でもある。表面から逃げる熱が体積のわりに大きいからで、ただし生き物には毛も血流もあり、この計算だけでは足りない。正直に言えば──集中熱容量法を用いている。ビオ数が大きい場合は内部に温度勾配ができ、この扱いは成り立たない。40 倍という数はこの近似のもとでの値だが、A/V が効くという結論は近似に依らない。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:ニュートンの冷却則、集中熱容量法、表面積体積比、冷却時間。