Both Improved 7.2446-Fold and the Ratio Never Moved ── Improving at two per cent a year, capability rises 7.2446-fold over a century while the ratio stays at exactly 1.000000000 ── let one side stop and the odds move from 0.5 to 0.878803 ── one runs not to overtake but not to fall ── [Paper 438]

Abstract

Improving is expected to bring advantage. This paper shows that if the other improves as much, nothing changes──and that stopping nonetheless costs a great deal. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the Red Queen hypothesis, coevolution and relative fitness are all standard (since 1973). No biological claim is made──the origin of sex, host-parasite coevolution and the constancy of extinction rates are not the subject. No rate is asserted──two per cent a year is representative for exposition and is not the value of any field. One model of winning is fixed──the odds are written as a ratio of capabilities. Other forms change the numbers but not the conclusion that the ratio does not move. Optimisation is not discussed──how much one should invest is not the subject. Asymmetries in time are not treated──the case where catching up and staying ahead differ in difficulty is not treated. Relation to earlier papers: Paper 437 showed that each choosing best lands both on the worst──there the choices affected each other; here the improvements cancel each other. Paper 300 showed that common root and distinct root can be decided──“capability rose” and “advantage was gained” are distinct roots by that criterion. Paper 424 showed that dividing turns a move in the denominator into an event──there the denominator moved; here numerator and denominator move together and the quotient does not. Paper 434 showed that what makes things cheaper is the count, not the calendar──there too, what moved and what acted were different. What is added is tabulating capability and ratio at four times, showing to nine digits that the ratio and the odds do not move, confirming that a fivefold rate leaves the ratio unchanged, giving the shift when one side stops as 0.378803, giving the absolute rise as 7.2446-fold to establish that running does happen, and placing the separator at “absolute or ratio”. First, improving at two per cent a year raises capability 7.2446-fold over a century (Section 2). Second, this is the core of the paper. If both improve equally, the ratio after a century is exactly 1.000000000 (Section 2). Third, the odds stay at exactly 0.500000000 as well (Section 2). Fourth, raising the rate fivefold, from two to ten per cent, still leaves the ratio at 1 so long as both do it (Section 2). Fifth, let one side stop and the odds move from 0.5 to 0.878803 in a century, a shift of 0.378803 (Section 3). Sixth, the separator is absolute capability against the ratio to the other (Section 4). Improving is expected to bring advantage──faster, stronger, better──but advantage is set by the ratio to the other rather than by absolute capability, and the other is usually improving too. If both improve equally, nothing changes──running at two per cent a year for a century raises capability 7.2446-fold, and yet the ratio is exactly 1.000000000 and the odds exactly 0.500000000. Unmoved to nine digits, because the same factor multiplies both and cancels in the quotient. Raise the rate fivefold to ten per cent and capability rises 13780.6-fold while the ratio is still exactly 1──however fast one runs, the relative position holds so long as both run. And still, stopping costs──let one side stop and the odds move from 0.5 to 0.878803 over a century, a shift of 0.378803. Running brings no advantage; stopping brings disadvantage──two different statements. At ten years it is still 0.549291, a small gap, because the cost opens with compounding; so in the short run stopping does not look costly, and that is where judgement goes wrong. One thing separates them──absolute capability, or the ratio to the other. Absolute capability has risen 7.2446-fold and the ratio has not moved from 1; both are beyond doubt. They are distinct roots by the criterion of Paper 300: both are called progress, but one looks at oneself alone and one at the pair. Different quantities give different answers, and both are correct──“progress was made and nothing changed” is not a contradiction but two instruments reported together. It is the same shape as Paper 424, where the denominator alone moved and the quotient moved; here they move together and it does not, because in both cases the divided quantity is a function of two independent ones. To be honest──one model of the odds has been fixed. Other forms change the numbers, but not that a common factor leaves the ratio unmoved. One last thing──it is not claimed that effort is wasted. Running brings no advantage and stopping costs 0.378803: one runs not to overtake but not to fall. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Red Queen hypothesis, coevolution, arms race, relative fitness. ----- 改良を重ねれば、有利になると思われている。本稿が示すのは、相手も同じだけ改良すれば、何も変わらないことである──そして、それでも走らなければ大きく落ちる。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──赤の女王仮説、共進化、相対適応度の考え方はすべて既知である(1973 年以来)。生物学の主張をしない──有性生殖の起源、寄生と宿主の共進化、絶滅率の一定性という具体的な仮説は主題ではない。改良率の値を主張しない──年 2 パーセントは説明のための代表値であり、どの分野の値でもない。勝敗の模型を一つに固定する──勝率を能力の比で書く形を使う。他の形なら数は変わるが、比が動かないという結論は変わらない。最適化を論じない──どれだけ投資すべきかという問いは主題ではない。時間の非対称を扱わない──追いつく側と逃げる側で改良の難しさが違う場合は扱わない。既刊との関係:論文437 は各自の最善が全体の最悪になることを示した──そこでは選択が互いに影響した。ここでは改良が互いに打ち消し合う。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──「能力が上がった」と「有利になった」は、その基準で別根である。論文424 は割ると分母の動きが分子の出来事になることを示した──そこでは分母が動いた。ここでは分子と分母が同じだけ動いて商が動かない。論文434 は安くしているのが時間でなく累積であることを示した──そこでも、動いている量と効いている量が違った。加えたのは、四つの時点で能力と比を並べたこと、比と勝率がちょうど動かないことを 9 桁で示したこと、改良率を 5 倍にしても比が変わらないことを確かめたこと、片方が止まった場合の勝率の動きを 0.378803 と出したこと、絶対の増加を 7.2446 倍と出して「走ってはいる」ことを示したこと、分離子を「絶対か比か」に置いたことである。 第一に、年 2 パーセントずつ改良すると、100 年後の能力は 7.2446 倍になる(第2節)。 第二に、これが本稿の芯である。両者が同じだけ改良すると、100 年後の比はちょうど 1.000000000 のままである(第2節)。 第三に、勝率もちょうど 0.500000000 で動かない(第2節)。 第四に、改良率を 2 から 10 パーセントへ 5 倍にしても、双方同じなら比は 1 のままである(第2節)。 第五に、片方が止まると、100 年で勝率が 0.5 から 0.878803 へ、0.378803 動く(第3節)。 第六に、分離子は「絶対の能力か、相手との比か」である(第4節)。 改良を重ねれば有利になる、と思われている──速くなり、強くなり、上手くなる。だが有利かどうかは絶対の能力ではなく相手との比で決まるので、相手も改良していれば話が変わる。両者が同じだけ改良すると、何も変わらない──年 2 パーセントで 100 年走ると能力は 7.2446 倍になるのに、比はちょうど 1.000000000、勝率もちょうど 0.500000000 のままである。9 桁まで動かないのは、同じ因子を掛けているので商から消えるからである。改良率を 5 倍の 10 パーセントにすれば 100 年後の能力は 13780.6 倍になるが、比はやはりちょうど 1 である──どれだけ速く走っても、双方同じなら相対位置は動かない。それでも、止まれば落ちる──片方だけが改良をやめると、100 年で勝率は 0.5 から 0.878803 へ、0.378803 動く。走っても有利にならないが、止まれば不利になる──この二つは別の主張である。ただし 10 年ではまだ 0.549291 で差は小さく、影響は複利で開くので、短期で見ると止まっても損に見えない。ここが判断を誤らせる。分けているものは一つ──絶対の能力か、相手との比か。絶対の能力は 7.2446 倍に上がっており、相手との比はちょうど 1 のまま動いていない。どちらも疑いようがない。論文300 の基準で別根であり、どちらも「進歩した」と呼ばれるが、一方は自分だけを見た量、一方は二者を見た量である。測る量が違えば答も違うので、「進歩したのに何も変わらない」は矛盾ではなく、二つの物差しの併記である。論文424 と同じ形で、そこでは分母だけが動いて商が動き、ここでは分子と分母が同じだけ動いて商が動かない──どちらも、割った量が二つの独立な量の関数だからである。正直に言えば──勝率を能力の比で書く形を一つ固定した。他の形なら数は変わるが、双方が同じ因子で改良すれば比が動かないという点は変わらない。最後に一つ──「努力が無駄だ」とは言っていない。走っても有利にならないが、止まれば 0.378803 落ちる。走る理由は、追い越すためではなく、落ちないためである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:赤の女王仮説、共進化、軍拡競争、相対適応度。