Mixing the Unmixable Multiplies the Boundary by a Thousand ── Dividing 1 mL of oil from 1 mm drops into 1 mum drops takes the interface from 0.0030 to 3.0000 m^2 ── a surfactant cuts the energy to 1/6 but not to zero ── nothing mixed; separation merely became slow ── [Paper 444]

Abstract

Shake oil and water hard enough and they look mixed. This paper shows that they have not mixed──the finer the division the more boundary there is and the higher the energy. Separation has merely become slow. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──interfacial tension, emulsification and the action of surfactants are all standard. Thermodynamics is not derived──no rigorous free-energy treatment is given; only the interfacial term is put into numbers. The entropy of mixing is not treated──the contribution from the motion of the droplets is small against the interfacial term for large drops, but it is not quantified here. The routes of breakdown are not treated──coalescence, Ostwald ripening and creaming are separate mechanisms and are not the subject. The tensions are not asserted──0.03 N/m and 0.005 N/m are representative and move with the system. Micelles are not discussed──association of surfactants and the critical micelle concentration are not the subject. Relation to earlier papers: Paper 443 showed that taking water away beats turning the heat up──there too the axis to move was not the one assumed. Paper 300 showed that common root and distinct root can be decided──“stable” and “slow” are distinct roots by that criterion. Paper 430 showed that widening the contact does not change the friction──there area did not act; here area is the whole story. Paper 433 showed that an effect continues after the cause is gone──there too a long time constant made something look finished. What is added is giving the interfacial area at four radii, confirming by inversion that it equals 3V/r, giving the number of drops as 2.387x10^11, setting the energy with and without a surfactant side by side, showing that it does not reach zero, and placing the separator at “energy or time”. First, this is the core of the paper. Dividing 1 mL from 1 mm drops into 1 mum drops takes the interfacial area from 0.0030 to 3.0000 m^2, a factor of 1000 (Section 2). Second, the area goes inversely with the radius as 3V/r, and inversion confirms it (Section 2). Third, the number of drops is then 2.387x10^11 (Section 2). Fourth, the interfacial energy is 0.090000 J and rises with finer division. It does not fall (Section 3). Fifth, a surfactant cuts it to 1/6, or 0.015000 J, but not to zero (Section 3). Sixth, the separator is whether the energy fell or the time lengthened (Section 4). Shake oil and water hard enough and they look mixed──it goes white and the boundary disappears──but leave it and it separates in minutes or in days. What shaking does is multiply the boundary──dividing 1 mL from 1 mm drops into 1 mum drops takes the interfacial area from 0.0030 to 3.0000 m^2, exactly a factor of 1000, since A=3V/r. Three square metres of boundary made inside a teaspoon of oil, across 2.387x10^11 drops──two hundred billion. The volume is still 1 mL; what increased is the boundary alone. And the energy rises rather than falls──at 1 mum the interfacial energy is 0.090000 J and grows with finer division, so left alone the system moves downhill, which means towards separating. A surfactant cuts it to 1/6, or 0.015000 J──exactly the ratio of tensions──but not to zero, since so long as there is a boundary the energy is positive. At exactly zero tension the energy is exactly 0 and the two liquids really do mix, but that is a different phenomenon. So emulsifying neither levels the slope nor reverses it; it makes the slope gentler, and only the rate of rolling changes. One thing separates them──did the energy fall, or did the time lengthen. Real mixing lowers the energy, as salt dissolving in water, and does not separate however long one waits. Emulsifying raises it, storing the work of shaking in the interface to be returned eventually. They are distinct roots by the criterion of Paper 300, one thermodynamic and one kinetic. And the way to tell them apart is to wait: “it has not separated yet” is not “it will not separate”. The same shape as Paper 433, where a time constant longer than a human life made something look finished; here a separation time longer than the shelf life makes something look mixed. To be honest──only the interfacial term has been put into numbers. The motion of the droplets also contributes an entropy term, small against the interfacial term for large drops but not quantified here. One last thing──there is more than one way to break down──coalescence, Ostwald ripening, creaming. Which is fastest is not treated; only that every route runs downhill. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: emulsification, interfacial tension, surfactant, emulsion, interfacial area. ----- 油と水は、よく振れば混ざったように見える。本稿が示すのは、混ざったのではないことである──細かく分けるほど境目が増え、エネルギーは増える。分かれるのが遅くなっただけである。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──界面張力、乳化、界面活性剤の働きはすべて既知である。熱力学を導出しない──自由エネルギーの厳密な扱いは行わず、界面の項だけを数にする。混合のエントロピーを扱わない──液滴が動くことによるエントロピーの寄与は、大きな液滴では界面の項に比べて小さいが、本稿はそれを定量していない。崩れ方を扱わない──合一、オストワルド熟成、クリーミングという別々の機構は主題ではない。界面張力の値を主張しない──0.03 N/m と 0.005 N/m は代表値であり、系で動く。ミセルを論じない──界面活性剤の会合や臨界ミセル濃度は主題ではない。既刊との関係:論文443 は温度を上げるより水を減らすほうが効くことを示した──そこでも、動かすべき軸が思い込みと違った。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した──「安定である」と「遅い」は、その基準で別根である。論文430 は接触面を広げても摩擦が変わらないことを示した──そこでは面積が効かなかった。ここでは面積そのものが主役である。論文433 は原因が消えても結果が続くことを示した──そこでも、時間の長さが「終わった」ように見せていた。加えたのは、四つの半径で界面の総面積を出したこと、面積が 3V/r と一致することを逆算で確かめたこと、液滴の個数を 2.387x10^11 と出したこと、エネルギーを界面活性剤の有無で並べたこと、ゼロにならないことを示したこと、分離子を「エネルギーか時間か」に置いたことである。 第一に、これが本稿の芯である。1 mL を半径 1 mm の粒から 1 mum の粒に分けると、界面の総面積は 0.0030 から 3.0000 m^2 へ、1000 倍になる(第2節)。 第二に、面積は半径に逆比例する。3V/r という単純な式で、逆算しても一致する(第2節)。 第三に、そのとき液滴の数は 2.387x10^11 個になる(第2節)。 第四に、界面のエネルギーは 0.090000 J で、細かくするほど増える。減るのではない(第3節)。 第五に、界面活性剤はそれを 6 分の一の 0.015000 J にするが、ゼロにはしない(第3節)。 第六に、分離子は「エネルギーが下がったか、時間が延びたか」である(第4節)。 油と水は、よく振れば混ざったように見える──白く濁って境目が見えなくなるので「混ざった」と言いたくなる。だが置いておくと、数分か数日で分かれる。振ったときに起きているのは、境目を増やすことである──1 mL を半径 1 mm の粒から 1 mum の粒に分けると、界面の総面積は 0.0030 から 3.0000 m^2 へ、ちょうど 1000 倍になる。 A=3V/r なので逆比例で、小さじ一杯の油の中に畳二枚ぶんの境目が作られる。液滴の数は 2.387x10^11 個、二千億である。体積は 1 mL のままで、増えたのは境目だけである。そしてエネルギーは、減るのではなく増える──1 mum の液滴での界面エネルギーは 0.090000 J で、細かくするほど上がる。だから放っておけば下がる方向、つまり分かれる方向へ進む。界面活性剤はそれを 6 分の一の 0.015000 J にするが、ゼロにはしない──境目がある限りエネルギーは正である。界面張力がちょうどゼロなら、エネルギーもちょうど 0 になり、そのとき二つの液体は本当に混ざる。ただしそれは別の現象である。つまり乳化は、坂を平らにするのでも逆向きにするのでもなく、下り坂を緩くする操作で、転がる速さが遅くなるだけである。分けているものは一つ──エネルギーが下がったか、時間が延びたか。本当に混ざるならエネルギーが下がり、塩が水に溶けるように、放っておいても分かれない。乳化ではエネルギーが上がり、振ることで加えた仕事が界面に蓄えられて、いつか返ってくる。論文300 の基準で別根であり、どちらも「安定している」と呼ばれるが、一方は熱力学の安定、一方は速度論の安定である。そして見分ける方法は待つことで、「まだ分かれていない」は「分かれない」ではない。論文433 と同じ形で、そこでは時間定数が人の時間より長いので「終わった」ように見えた。ここでは分離の時間が保存期間より長ければ、「混ざっている」ように見える。正直に言えば──本稿は界面の項だけを数にした。液滴が動くことによるエントロピーの寄与もあり、大きな液滴では界面の項に比べて小さいが、本稿はそれを定量していない。最後に一つ──崩れ方も一つではない。合一、オストワルド熟成、クリーミングがあり、本稿はどれが速いかを扱っておらず、どの経路でも下り坂であることだけを示した。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:乳化、界面張力、界面活性剤、エマルション、界面積。