One Word, "Resonance", Names Both the Places That Expel Bodies and the Places That Protect Them ── against Jupiter the 3:1, 5:2, 7:3 and 2:1 orbits are all empty gaps, yet 3:2 holds the Hilda group and 1:1 the Trojans ── the separator is whether a protecting mechanism operates ── [Paper 687]

Abstract

Gaps are explained by resonance. The protection of bodies is explained by resonance too. That one commensurability carries opposite consequences is set out here in distances. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the Kirkwood gaps, the Hilda and Trojan groups and the 3:2 resonance of Neptune and Pluto are all standard (Murray and Dermott 1999, Morbidelli 2002). The dynamics is not derived──perturbation calculations for mean-motion resonances, Lyapunov times and resonance widths are not treated. Only the 2/3 power that gives the distance is used. The protecting mechanism is not shown──that close approaches are avoided at 3:2 while eccentricity grows at 3:1 is taken as given and not derived here. Individual bodies are not treated──no asteroid is identified and no family is classified. The semi-major axes are not claimed──5.2028 AU for Jupiter and 30.07 AU for Neptune are representative and move with eccentricity and perturbation. Relation to earlier papers: Paper 337 showed the solar system to have five edges differing by a factor of 5106──there one word named several places; here one word names opposite consequences. What differs is not a magnitude but a sign. What is added is setting gaps and populations in one table, showing all four gaps to lie inside 3:2, showing 3:2 against Neptune to match Pluto within 0.077153 AU, putting the map from period ratio to distance at the 2/3 power, and placing the separator on whether a protecting mechanism operates. First, and this is the core. One word names both the emptying and the holding──3:1 against Jupiter, at 2.501245 AU, is a gap, while 3:2, at 3.970480 AU, holds the Hilda group (Section 2). Second, the gaps are not one but four in a row──2.501245 AU for 3:1, 2.824514 for 5:2, 2.957463 for 7:3 and 3.277559 for 2:1 (Section 2). Third, the holding side is not one either──the Hilda group at 3:2 and the Trojans at 1:1, at 5.202800 AU; all four gaps lie inside 3:2 (Section 2). Fourth, the holding side has an instance further out as well──3:2 against Neptune falls at 39.402847 AU, only 0.077153 AU from Pluto's 39.48 AU (Section 3). Fifth, the distance follows from the period ratio in one line──the map is the 2/3 power: twice the period gives 1.587401 times the distance and three times gives 2.080084 (Section 3). Sixth, the separator is whether a protecting mechanism operates──a commensurability carries no direction of its own; what empties or holds is whether close approaches are avoided under it (Section 4). One word, "resonance", names both the places that expel bodies and the places that protect them. Against Jupiter, 3:1 at 2.501245 AU, 5:2 at 2.824514 AU, 7:3 at 2.957463 AU and 2:1 at 3.277559 AU are all empty, while 3:2 at 3.970480 AU holds the Hilda group and 1:1 holds the Trojans.3:2 against Neptune falls at 39.402847 AU, only 0.077153 AU from Pluto──the same ratio stands on the holding side at two different planets. The distances themselves follow from one line of Kepler's third law, twice the period giving 1.587401 times the distance──what is difficult is not the place but what happens there. The separator is whether a protecting mechanism operates. Placed among the earlier papers──in Paper 337 one word named five places; here one word names two opposite signs. To be honest──perturbation calculations and resonance widths are not treated, and the protecting mechanism is taken as given. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: orbital resonance, Kirkwood gaps, Hilda group, Trojan asteroids, Kepler's third law, two opposite consequences. ----- 「共鳴があるから空隙ができる」と説明される。同じ説明が「共鳴があるから天体が守られる」とも言われる。同じ整数比が正反対の帰結を持つことを、位置の数で並べる。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──カークウッドの空隙、ヒルダ群とトロヤ群、海王星と冥王星の 3:2 共鳴は、いずれも既知である(マレー&ダーモット 1999、モルビデリ 2002)。力学を導出しない──平均運動共鳴の摂動計算、リャプノフ時間、共鳴の幅は扱わない。位置を与える 2/3 乗の関係だけを使う。保護の機構を示さない──3:2 で接近が避けられ、3:1 で離心率が育つという区別は既知として置き、自前では導かない。個々の天体を扱わない──小惑星の同定や族の分類はしない。長半径を主張しない──木星 5.2028 AU、海王星 30.07 AU は代表値であり、離心率と摂動で動く。既刊との関係:論文337 は、太陽系の「果て」が五つあり、最小と最大が 5106 倍ひらくことを示した──そこでは一語が指す場所が複数あった。ここでは一語が指す帰結が正反対になる。数が違うのではなく、符号が違う。加えたのは、空隙と居住地の位置を同じ表に並べたこと、空隙の四つがすべて 3:2 より内側にあることを示したこと、海王星との 3:2 が冥王星と 0.077153 AU で一致することを示したこと、周期の比から位置の比への写像を 2/3 乗として数にしたこと、分離子を「保護の機構が働くか」に置いたことである。 第一に、これが本稿の芯である。同じ「共鳴」が、空ける場所と留める場所の両方を指す──木星との 3:1(2.501245 AU)は空隙で、3:2(3.970480 AU)にはヒルダ群が居る(第2節)。 第二に、空隙は一つではなく、四つが並んでいる──3:1 が 2.501245、5:2 が 2.824514、7:3 が 2.957463、2:1 が 3.277559 AU である(第2節)。 第三に、留める側も一つではない──3:2 にヒルダ群、1:1(5.202800 AU)にトロヤ群が居る。空隙の四つはすべて 3:2 より内側にある(第2節)。 第四に、守る側の実例は、外側にもある──海王星との 3:2 は 39.402847 AU で、冥王星の長半径 39.48 AU との差は 0.077153 AU にすぎない(第3節)。 第五に、位置は、周期の比から一行で出る──写像は 2/3 乗で、周期 2 倍は長半径 1.587401 倍、3 倍は 2.080084 倍である(第3節)。 第六に、分離子は、保護の機構が働くかどうかである──整数比そのものは向きを持たない。空けるか守るかを決めるのは、比ではなく、その比の下で接近が避けられるかどうかである(第4節)。 「共鳴」という一語が、天体を追い出す場所と、天体を守る場所の両方を指している。木星との 3:1(2.501245 AU)・5:2(2.824514 AU)・7:3(2.957463 AU)・2:1(3.277559 AU)はいずれも空隙で、同じ木星との 3:2(3.970480 AU)にはヒルダ群が、1:1 にはトロヤ群が居る。海王星との 3:2 は 39.402847 AU で、冥王星の長半径との差は 0.077153 AU しかない──同じ比が、二つの惑星で守る側に立っている。位置そのものはケプラーの第三法則の一行で決まり、周期 2 倍は長半径 1.587401 倍である──難しいのは位置ではなく、そこで何が起きるかである。分離子は、保護の機構が働くかどうかである。既刊との位置──論文337 では一語が五つの場所を指した。ここでは一語が正反対の二つの符号を指す。正直に言えば──摂動計算も共鳴幅も扱わず、保護の機構は既知として置いた。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:軌道共鳴、カークウッドの空隙、ヒルダ群、トロヤ群、ケプラーの第三法則、一語が隠す二つの帰結。