A Number That Barely Moves Across Three Decades of Reynolds Number Sets the Frequency ── the Strouhal number moves by only 1.268766 across a thousandfold change in Reynolds number, so the shedding frequency follows U/D ── yet at one and the same Reynolds number of 6667 the frequency is 200.00 Hz in one case and 2.00 Hz in another ── [Paper 543]

Abstract

The shedding frequency behind a cylinder follows from flow speed and diameter. What this paper shows is that the dimensionless combination of the two barely moves across three decades of Reynolds number, and that this is what makes the formula for frequency simple. No new theorem or law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem or law is claimed──the Karman vortex street, the Strouhal number and Roshko's correlation are standard. The flow is not solved──the Navier--Stokes equations are not solved; values were put into a correlation and compared. Why it is nearly constant is not explained──the mechanism of vortex formation is not entered; only the fact and its consequences. The high-Reynolds transition is not treated──the abrupt change beyond 10^5, the drag crisis, is not entered. One shape only──a circular cylinder; square sections and aerofoils take different values. Agreement with measurement is not claimed──the correlation is itself a fit, and only the properties of the formula were examined. No vibration design is offered──how to avoid resonance is not the subject. Relation to earlier papers: Paper 117 showed that scale invariance fixes an exponent in four ways──the near-constancy here belongs to the measured one of those four. Paper 256 showed that the only scale at which dynamic similarity is exact is one──the Strouhal number is nearly constant not because similarity is exact but because the fit is good. Paper 439 showed that judder comes from a gap between two frictions──that paper attributed vibration to a difference; this one shows a quantity that does not move fixing a frequency. Paper 144 showed that an exponent is the signature of what is conserved──what is held here is not an exponent but a ratio itself. Paper 300 showed that sharing a root is decidable──the two dimensionless numbers are separate roots under the criterion of what a quantity carries. What is added is measuring the movement of the Strouhal number as a factor of 1.268766, confirming proportionality to U/D to 12 digits, exhibiting a factor of 100 in frequency at equal Reynolds number, and placing the separator on there being two dimensionless quantities. First, the Strouhal number barely moves──0.167056 at a Reynolds number of 100, 0.207506 at 1000 and 0.211955 at 100000 (Section 2). Second, and yet it is not fixed──across a thousandfold change it moves by a factor of 1.268766 (Section 2). Third, and this is the core. Because it barely moves, the frequency is proportional to U/D──tenfold in U gives tenfold in frequency, tenfold in D gives a tenth (Section 3). Fourth, enlarging both leaves the frequency unchanged──U=10 with D=0.01 and U=100 with D=0.1 both give 200.00 Hz (Section 3). Fifth, equal Reynolds numbers do not mean equal frequencies──both at 6667, one gives 200.00 Hz and the other 2.00 Hz, a factor of 100 (Section 4). Sixth, the separator is that there are two dimensionless quantities──one fixes the character of the flow, the other the scale of time (Section 4). The shedding frequency behind a cylinder follows from flow speed and diameter. The Strouhal number barely moves──Roshko's correlation gives 0.167056 at Re=100, 0.207506 at 1000 and 0.211955 at 100000, a factor of 1.268766 across a thousandfold change. It still moves by 26.9 per cent, so calling it a constant would name a moving quantity a constant: Stapprox 0.2 is an approximation, not an identity. It saturates near 0.212 on the high side, with most of the motion at low Re. The correlation is a fit to measurement, the measured one of the four ways of Paper 117, and so cannot be carried outside its range. Because it barely moves, the frequency is proportional to U/D──fixing St=0.2, tenfold in U gives tenfold in frequency and tenfold in D gives a tenth, holding to 12 digits as a consequence of fixing St rather than of solving the flow. Enlarging both leaves the frequency alone: U=10 with D=0.01 and U=100 with D=0.1 both give 200.00 Hz, while Re rises a hundredfold. So size and speed give the frequency directly, and were St to move one would have to compute Re and correct. The separator is that there are two dimensionless quantities──U=10 with D=0.01 and U=1 with D=0.1 both give Re=6667, and yet the frequencies are 200.00 Hz and 2.00 Hz, a factor of 100. Re fixes the character of the flow and not the scale of time, so speaking of frequency from it alone is off by a hundred. Under Paper 300, Re carries viscosity and St does not, so two dimensionless numbers contain different quantities. Paper 256 found exact similarity only at unit scale, and St is nearly constant because the fit is good rather than because similarity is exact. To be honest──the flow was not solved; values were put into a correlation and compared. Why the number is nearly constant was not explained, and the mechanism of vortex formation was not entered. Only a circular cylinder was treated, so square sections and aerofoils take different values, and the abrupt change beyond 10^5 was left aside. Agreement with measurement was not claimed, since the correlation is itself a fit, and no advice on avoiding resonance was given. What can be said is that one nearly fixed dimensionless number makes the frequency formula simple, and that reading only the other one is wrong by a hundred, and no further. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Karman vortex street, Strouhal number, Reynolds number, vortex shedding, cylinder wake. ----- 円柱の後ろにできるカルマン渦の振動数は、流速と直径から決まる。本稿が示すのは、その比を無次元にした数がレイノルズ数の三桁の変化に対してほとんど動かず、そのことが振動数の式を単純にしていることである。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──カルマン渦列も、ストローハル数も、ロシュコの相関式も標準的である。流れを解かない──ナヴィエ=ストークス方程式を解いておらず、相関式に値を入れて比べただけである。なぜほぼ一定なのかを説明しない──渦の生成機構には立ち入らない。動かないという事実と、その帰結だけを見る。高レイノルズ数の遷移を扱わない──10^5 を超える領域での急変(抗力の危機)には入らない。形状を一つに固定する──円柱だけを見る。角柱や翼では値が違う。実測との一致を主張しない──相関式は実測の当てはめであり、本稿はその式の性質を見ただけである。振動を設計しない──共振を避ける設計法は主題ではない。既刊との関係:論文117 はスケール不変性が四通りに指数を選ぶと示した──ストローハル数が動かないことは、その四通りのうち「経験」の側にある。論文256 は力学相似が厳密に成り立つ縮尺が 1 だけだと示した──ストローハル数がほぼ一定なのは、相似が厳密だからではなく、当てはめが良いからである。論文439 はびくつく原因が摩擦の大きさではなく二つの摩擦の差だと示した──あちらも振動の原因を量の差に帰した。本稿は逆に、動かない量が振動数を決めることを見る。論文144 は指数が何が保存しているかの署名だと示した──ここで保存されているのは指数ではなく比そのものである。論文300 は同根か別根かが判定できると示した──二つの無次元数は「量の持ち物」の基準で別根である。加えたのは、相関式でストローハル数の動きを 1.268766 倍と測ったこと、振動数が U/D に比例することを 12 桁で確かめたこと、同じレイノルズ数で振動数が 100 倍違う例を出したこと、分離子を「無次元の量が二つあること」に置いたことである。 第一に、ストローハル数はほとんど動かない──レイノルズ数 100 で 0.167056、1000 で 0.207506、100000 で 0.211955 である(第2節)。 第二に、それでも零ではない──レイノルズ数が 1000 倍動くあいだに、1.268766 倍だけ変わる(第2節)。 第三に、これが本稿の芯である。動かないおかげで、振動数が U/D に比例する──U を 10 倍にすると振動数も 10 倍、D を 10 倍にすると 10 分の 1 になる(第3節)。 第四に、両方を同じだけ大きくすると振動数は変わらない──U=10、D=0.01 と U=100、D=0.1 はどちらも 200.00 Hz である(第3節)。 第五に、レイノルズ数が同じでも振動数は違う──どちらも 6667 なのに 200.00 Hz と 2.00 Hz で、100 倍違う(第4節)。 第六に、分離子は、無次元の量が二つあることである──レイノルズ数は流れの様子を決め、ストローハル数は時間の目盛を決める(第4節)。 円柱の後ろにできるカルマン渦の振動数は、流速と直径から決まる。ストローハル数はほとんど動かない──ロシュコの相関式で見ると、レイノルズ数 100 で 0.167056、1000 で 0.207506、100000 で 0.211955 になり、Re が 1000 倍動くあいだに 1.268766 倍しか変わらない。それでも 26.9 パーセントは動いているので、「定数」と呼べば変わる量を定数と呼ぶことになる。 Stapprox 0.2 は近似であって恒等式ではない。高い側では 0.212 へ飽和し、動きの大半は低い側で起きている。相関式は実測の当てはめであり、論文117 の四通りでいえば「経験」の側に属するので、範囲の外へは持ち出せない。動かないおかげで、振動数が U/D に比例する──St=0.2 を固定すると、U を 10 倍にすれば振動数も 10 倍、D を 10 倍にすれば 10 分の 1 になり、12 桁で成り立つ。両方を同じだけ大きくすると振動数は変わらず、U=10、D=0.01 と U=100、D=0.1 がどちらも 200.00 Hz になる。 Re は 6667 から 666667 へ 100 倍になっているのにである。だから寸法と速度から振動数が直に出る。 St が動くなら、Re を計算して補正しなければならない。分離子は、無次元の量が二つあることである──U=10、D=0.01 と U=1、D=0.1 はどちらも Re=6667 なのに、振動数は 200.00 Hz と 2.00 Hz で 100 倍違う。 Re は流れの様子を決めるが、時間の目盛は決めない。片方だけを見て振動数を語ると 100 倍間違える。論文300 の「量の持ち物」でいえば、Re は粘性を要り、St は要らない。同じ無次元数でも含んでいる量が違う。論文256 は力学相似が厳密に成り立つ縮尺が 1 だけだと示した。 St がほぼ一定なのは相似が厳密だからではなく、当てはめが良いだけである。正直に言えば──流れを解いていない。ナヴィエ=ストークス方程式を解かず、相関式に値を入れて比べただけである。なぜほぼ一定なのかも説明しておらず、渦の生成機構には立ち入っていない。円柱だけを見たので角柱や翼では値が違い、10^5 を超える領域での急変も扱っていない。実測との一致も主張しておらず、相関式そのものが当てはめである。共振を避ける設計法も述べていない。言えるのは、動かない無次元数が一つあると振動数の式が単純になり、もう一つの無次元数だけを見ると 100 倍間違える、そこまでである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI(大規模言語モデル)の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。 キーワード:カルマン渦列、ストローハル数、レイノルズ数、渦放出、円柱の後流。