Artinian Gorenstein algebras with Macaulay dual generator with fixed Waring rank

Abstract

<jats:p> In this paper, we prove that the Artinian Gorenstein <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathbb {K}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -algebra <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$A_{F_s}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of codimension <jats:italic>n</jats:italic> , socle degree <jats:italic>d</jats:italic> and Macaulay dual generator <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$F_s:= \ell _1^d + \dots + \ell _s^d \in \mathbb {K}[X_1, \dots , X_n]$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> where <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\ell _1, \cdots , \ell _s$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ℓ</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> are general linear forms satisfies the strong Lefschetz property (SLP). This result allows us to study whether the Waring rank of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$F_s$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is exactly <jats:italic>s</jats:italic> . Furthermore, we show that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$A_{F_s}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is the doubling of a suitable 0-dimensional scheme <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$Z_{F_s}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$\mathbb {P}^{n-1}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , the so-called tight annihilating scheme of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$A_{F_s}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , and we compute the minimal free resolution of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$A_{F_s}$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in terms of the minimal free <jats:italic>R</jats:italic> -resolution of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math>$$I(Z_{F_s})$$</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula>