Slices in the Unit Ball of the Symmetric Tensor Product of a Banach Space

Abstract

<jats:p> We prove that every infinite-dimensional <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C^*</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -algebra <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> satisfies that every slice of the unit ball of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\widehat{\bigotimes }_{N,s,\pi} X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover accent="true"> <mml:mo>⨂</mml:mo> <mml:mo stretchy="true">^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ( <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">N</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -fold projective symmetric tensor product of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> ) has diameter two. We deduce that every infinite-dimensional Banach space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> whose dual is an <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">L_1</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -space satisfies the same result. As a consequence, if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is either a <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C^*</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -algebra or either a predual of an <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">L_1</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -space, then the space of all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">N</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -homogeneous polynomials on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">{\mathcal{P}} ^N (X)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="script">P</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , is extremely rough, whenever <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is infinite-dimensional. If <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a predual of a von Neumann algebra, then <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">Y</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Y</mml:mi>