An Abstract Variational Theorem
Abstract
<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(X, \|\cdot\|)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a Banach space and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f\colon X \to \mathbb{R} \cup \{\infty\}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mspace width="0.1111em"/> <mml:mo lspace="0em" rspace="0.17em"/> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo lspace="0em" rspace="0em">:</mml:mo> <mml:mspace width="0.3333em"/> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a proper function. Then the Fenchel conjugate of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is the function <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f^*\colon X^* \to \mathbb{R} \cup \{\infty\}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mspace width="0.1111em"/> <mml:mo lspace="0em" rspace="0.17em"/> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo lspace="0em" rspace="0em">:</mml:mo> <mml:mspace width="0.3333em"/> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> defined by, <jats:disp-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f^*(x^*):= \sup\{(x^*-f)(x):x \in X\}.</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>sup</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">.</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:disp-formula> In this article we will prove a theorem more general than the following. Theorem: Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f\colon X \to \mathbb{R} \cup \{\infty\}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mspace width="0.1111em"/> <mml:mo lspace="0em" rspace="0.17em"/> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mo lspace="0em" rspace="0em">:</mml:mo> <mml:mspace width="0.3333em"/> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be a proper function on a Banach space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(X,\|\cdot\|)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . If there is a nonempty open subset <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">A</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathrm{Dom}(f^*)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">D</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">m</mml:mi> </mml:mrow>