Conjugate Convex Functions without Infinity

Abstract

<jats:p> Let <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">B_{r}(E)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be the closed ball of radius <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">r</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> around the origin in a real Banach space <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">E</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathcal{F}_{r}(E)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> be the set of all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">r</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -Lipschitz continuous convex functions defined on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">B_{r}(E)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . Suppose <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is a real-valued and bounded below function on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">B_{r}(E)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . We define the <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">I</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> -conjugate function <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f^{I}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> to improve the Fenchel inequality and investigate the properties of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f^{I}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . In particular, <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">(f^{I})^{I}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> coincides with <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">f</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">B_{r}(E)</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">