Non-Archimedean Quantitative Grothendieck and Krein's Theorems
Abstract
<jats:p> We show that the non-archimedean version of Grothendieck's theorem about weakly compact sets for <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C(X,\mathbb{K})</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , the space of continuous maps on <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> with values in a locally compact non-trivially valued non-archimedean field <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\mathbb{K}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , fails in general. Indeed, we prove that if <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">X</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> is an infinite zero-dimensional compact space, then there exists a relatively compact set <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">H:=\{g_{n}:n\in \mathbb{N}\}\subset C(X,\mathbb{K})</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> in the pointwise topology <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\tau _{p}</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C(X,\mathbb{K})</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> which is not <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">w-</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> relatively compact, i.e. compact in the weak topology of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">C(X,\mathbb{K})</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo separator="true">,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , such that all <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\Vert g_{n}\Vert =1</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">∥</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\gamma (H):=\sup \{|\lim_{m}\lim_{n}f_{m}(x_{n})-\lim_{n}\lim_{m}f_{m}(x_{n})|:(f_{m})_{m} \subset B,(x_{n})_{n}\subset H\}>0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>sup</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∣</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>lim</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>lim</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml: