Convex Hypersurfaces with Hyperplanar Intersections of Their Homothetic Copies

Abstract

<jats:p> Extending a well-known characteristic property of ellipsoids, we describe all convex solids <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K \subset \mathbb{R}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , possibly unbounded, with the following property: for any vector <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">z \in \mathbb{R}^n</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and any scalar <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">\lambda \ne 0</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo mathvariant="normal">≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> such that <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K \ne z + \lambda K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo mathvariant="normal">≠</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> , the intersection of the boundaries of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">z + \lambda K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> lies in a hyperplane. This property is related to hyperplanarity of shadow-boundaries of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> and central symmetricity of small 2-dimensional sections of <jats:inline-formula> <jats:alternatives> <jats:tex-math notation="LaTeX">K</jats:tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </jats:alternatives> </jats:inline-formula> . </jats:p>