Conservative Lagrange-Galerkin schemes for the numerical solution of pure convection and hydrodynamic lubrication problems

Abstract

In this thesis, we propose various contributions related to Lagrange-Galerkin methods applied to two fluid mechanics problems: pure convection equations and hydrodynamic lubrication. The first contribution of this thesis is an algorithm to solve pure-convection problems using a conservative Lagrange-Galerkin formulation within the finite element method framework. The weak formulation involves integrals of the product of basis functions associated to the finite element spaces of two different meshes: the original mesh and another one obtained by moving the original mesh along the characteristic curves of the convective operator. To compute these integrals with machine precision, we present a mesh intersection algorithm which is easily implemented by means of standard finite element operations. Specifically, we start by proposing a detailed algorithm to perform the intersection of meshes composed by linear triangles (in 2-dimensions) and tetrahedra (in 3-dimensions), achieving good results in mass conservation and stability. When one wants to work with higher order elements, the curvature of the elements in the convection process should be considered to maintain good L2-error convergence, which makes mesh intersection procedures challenging to implement. To extend the previous work in this area, we present several mesh intersection methods to work with quadratic elements in the 2-dimensional case that achieve mass conservation. We present two procedures in which certain approximations are introduced to work ultimately with straight-sided meshes and a third method which captures the convection process more accurately and involves performing a mesh intersection procedure between a straight sided mesh and a mesh with parabolic sides. A criterion to dynamically select a mesh intersection procedure for different elements during the solution process to reduce computational cost is also proposed and analysed. We illustrate the properties of the methods in terms of stability, accuracy and mass conservation through various pure-convection tests that show that there are situations in which each of the proposed methods performs best. As a second contribution of this thesis, we present an efficient numerical algorithm to solve stationary problems of hydrodynamic lubrication with cavitation in journal bearings in a finite element framework. The problem we solve is based on the Elrod-Adams mathematical model for the lubricant fluid behaviour. To achieve realistic pressure solutions, cavitation must be considered. To stabilize the solution procedure, we introduce an artificial time in the problem and resort to the method of characteristics. The problem formulation leads to a non-linear system of PDEs including a multivalued operator. To solve this problem, we propose a Newton-type algorithm that presents very high convergence speed, allowing one to reach very small errors to solve the problem with high accuracy in a low number of iterations, in comparison with alternative numerical algorithms in the literature. Building on this second line of work, we extend the physical model of hydrodynamic lubrication to include the piezoviscous effect and the elastic deformation of the bearing walls. The Barus formula is used to consider viscosity variations with pressure, and the elastic deformation of the bearing walls is modelled using a hinged plate biharmonic equation. Considering these effects, the resulting mathematical model is a non-linear coupled system of partial differential equations. The problem is discretized using the finite element method. We use an iterative method to decouple the hydrodynamic part from the piezoviscous effect and the elastic part of the problem. For the hydrodynamic problem with cavitation, we use the method of characteristics and a Newton-type algorithm. The elastic problem is solved using an equivalent mixed formulation together with a novel adaptation criterion that leads to an important increase in efficiency. RESUMEN En esta tesis, proponemos varias contribuciones relacionadas con los métodos de Lagrange-Galerkin aplicados a dos problemas de mecánica de fluidos: las ecuaciones de convección pura y la lubricación hidrodinámica. Como primera contribución en la tesis, presentamos un algoritmo para resolver problemas de convección pura con una formulación conservativa de Lagrange-Galerkin empleando el método de elementos finitos. En la formulación débil del problema aparecen integrales de productos de funciones base asociadas a los espacios de elementos finitos de dos mallas diferentes: la malla original y otra obtenida moviendo la malla original a lo largo de las curvas características del operador convectivo. Para calcular estas integrales con precisión de error máquina, proponemos un algoritmo de intersección de mallas que se implementa mediante operaciones estándar de elementos finitos. Concretamente, comenzamos considerando la intersección de mallas compuestas por triángulos lineales (en 2 dimensiones) y tetraedros lineales (en 3 dimensiones), con el que se obtienen buenos resultados en conservación de masa y estabilidad. Cuando se quiere trabajar con elementos de alto orden, la curvatura de los elementos en el proceso de convección debe considerarse para mantener una buena convergencia del error L2, lo que dificulta la implementación de la intersección de mallas. Para ampliar el trabajo anterior, presentamos varios métodos de intersección de mallas para trabajar con elementos cuadráticos en el caso bidimensional que logran la conservación de la masa. Presentamos dos procedimientos en donde se emplean ciertas aproximaciones para trabajar finalmente con mallas de lados rectos y un tercer método que implica calcular intersecciones entre una malla de lados rectos y una malla con lados parabólicos. También se analiza un criterio para seleccionar dinámicamente el procedimiento de intersección de mallas a realizar en diferentes elementos para reducir el coste computacional. Ilustramos las propiedades de los diferentes métodos en términos de estabilidad, precisión y conservación de la masa en varios test de convección pura que muestran que existen situaciones en las que cada uno de los métodos funciona mejor que los otros. Como segunda contribución, presentamos un algoritmo numérico para resolver de forma eficiente problemas estacionarios de lubricación hidrodinámica con cavitación en cojinetes utilizando el método de los elementos finitos. El problema se basa en el modelo matemático de Elrod-Adams para el comportamiento del lubricante. Para obtener soluciones de presión realistas, se debe tener en cuenta la cavitación. Para estabilizar el proceso de resolución, empleamos el método de las características. La formulación del problema conduce a un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineal que incluye un operador multivaluado. Para resolver este problema, proponemos un algoritmo de tipo Newton que presenta una alta velocidad de convergencia, en comparación con algoritmos numéricos alternativos en la literatura. Partiendo de esta segunda línea de trabajo, en un siguiente estudio ampliamos el modelo físico de la lubricación hidrodinámica para incluir el efecto piezoviscoso y la deformación elástica de las paredes del cojinete. Se utiliza la fórmula de Barus para considerar las variaciones de viscosidad con la presión. La deformación elástica del cojinete se modela mediante una ecuación biarmónica. El problema se discretiza en el espacio empleando el método de elementos finitos. Utilizamos un método iterativo para desacoplar la parte hidrodinámica del efecto piezoviscoso y la parte elástica del problema. Para el problema hidrodinámico, utilizamos el método de las características y un algoritmo de tipo Newton que permite resolver el problema de forma muy eficiente y precisa. El problema elástico se resuelve utilizando una formulación mixta equivalente junto con un criterio de adaptación que conduce a un importante aumento de la eficiencia.