Two Kinds of Subtracting One: One Counts Holes, the Other Counts Dimensions ── The partitions in a row fall one short of the cells because of the Euler characteristic, which drops to 0 for a ring and to -1 for a figure eight; the exponent of a shell falls one short of the dimension because of codimension, and stays at 2.000000000 for a sphere, a torus and a two-holed torus alike. Codimension one holds in both cases and yet fixes neither count ── the separator is whether it moves when the topology is changed ── [Paper 1052]

Abstract

A tridiagonal matrix has n-1 entries off the diagonal, and in d dimensions the density exponent for which a shell's mass does not depend on the radius is d-1. Both look like "one less". This paper asks whether the two share a root. No new theorem and no new law is claimed. Scope of this paper (scope note): No new theorem and no new law is claimed──the relation among edges, vertices and the Euler characteristic of a graph, the counting of faces in a lattice, the fact that the area of a self-similar surface grows as the d-1 power of a length, and the condition for a spherically symmetric shell's mass to be independent of the radius are all standard. The reading in terms of a codimension-one boundary is not called wrong──the partitions in a row and the surface of a ball are both of codimension one. What is said here is only that this by itself does not fix a count. No unification over general complexes is attempted──only graphs, lattices and self-similar surfaces are treated, with no generalisation to complexes of arbitrary dimension. No permanent separation is claimed──the criterion of Paper 300 means that the responses differ under the measurements available now. That the two might connect at a deeper level is not denied. The area of the two-holed torus was set by hand──only a coefficient was given, as a family grown self-similarly, rather than the area of an actual surface being computed. It serves to show that the exponent does not move when the topology changes. No physical claim is made──the shell of mass is a computation in geometry and is not about any star or any material. Relation to earlier papers: Paper 300 showed that whether two things share a root is decidable──that criterion is used here: a coincidence of numbers is not taken as a shared root, and what is examined is what makes each move. Paper 1051 counted the unknowns of a tridiagonal matrix as 2n-1──where that n-1 comes from is examined here. Paper 01 showed that in three dimensions the exponent for which a shell's mass does not depend on the radius is 2 and only 2──where that 2, as d-1, comes from is examined here. Paper 116 showed that the exponent sitting in the denominator is d-1──here it is counted that this d-1 does not respond to topology. Paper 224 showed that the angular defects of a polyhedron sum to 4π, and to 0 on a torus──it is cited as a case where the Euler characteristic fixes the value. Paper 86 sorted the reasons why something is fixed into four──the two found here fall under different labels among those four. Paper 1050 counted that the four labels are not enough──this paper is not about the side that is missing but gives one case where the labels do their work. What is added is showing by a count of lattices that codimension one, common to both, fixes neither count, showing that the one in a row is the Euler characteristic by moving it to 0 and to -1 with a ring and a figure eight, showing that the exponent of a shell does not respond to topology at all, with Euler characteristics 2, 0 and -2, and lining up in one table the fact that the two are blind in opposite directions. First, and this is the core. The two have different sources──one of the ones is the Euler characteristic, that is, a count of holes, and the other is codimension, that is, the fact that a surface is one dimension lower than what it bounds(Section 5)。 Second, codimension alone does not produce "one less"──in a lattice of any dimension the partitions have codimension one, yet the count is cells minus one only in one dimension. A three by three lattice has 9 cells and 12 partitions, not 8; a three by three by three lattice has 27 cells and 54 partitions(Section 2)。 Third, the one in a row is the Euler characteristic──the edges equal the vertices minus the Euler characteristic, which is 1 for a tree, 0 for a ring, -1 for a figure eight and -2 for three rings. The number being subtracted itself moves. In matrix terms the shortfall equals the number of edges, 5 for a row and 6 for a ring(Section 3)。 Fourth, the exponent of a shell does not respond to topology at all──for a sphere (Euler characteristic 2), a cube, a box, a torus (0) and a two-holed torus (-2), the exponent of the surface stays at 2.000000000. Only dimension moves it: from 2 to 6 the exponent runs 1, 2, 3, 4, 5(Section 4)。 Fifth, the two are blind in opposite directions──the one in a row sees topology and not dimension, the one in a shell sees dimension and not topology. In the labels of Paper 86 the former is topological necessity and the latter dimensional uniqueness, two different roots among the four(Section 5)。 Sixth, the agreement of the numbers is an accident──n-1 and d-1 take the same value only when the number of points equals the dimension, and the two that actually occur in this body of work are 5 and 2. The separator is whether it moves when the topology is changed(Section 6)。 "one less" comes in two kinds, one counting holes and the other counting dimensions. Codimension one is common to both and yet fixes neither count──in a lattice of any dimension the partitions have codimension one, but the count is cells minus one only in one dimension, a three by three lattice having 9 cells against 12 partitions. The one in a row is the Euler characteristic──the edges equal the vertices minus the Euler characteristic, which is 1 for a tree, 0 for a ring, -1 for a figure eight and -2 for three rings, so the number subtracted itself moves; the matrix shortfall is 5 for a row and 6 for a ring. The exponent of a shell does not respond to topology at all──with Euler characteristics running 2, 0 and -2 the exponent stays at 2.000000000, and only dimension moves it, running 1, 2, 3, 4, 5 as d goes from 2 to 6. The two are blind in opposite directions──the one in a row sees topology and not dimension, the one in a shell sees dimension and not topology; in the labels of Paper 86 they fall under topological necessity and dimensional uniqueness, two different roots among the four. The separator is whether it moves when the topology is changed──under one and the same way of writing, one of them moves when a ring is made and the other does not move even with two holes. Plainly──that both are of codimension one is correct, and what is said here is only that this does not fix a count; and the claim is that the responses differ under the measurements available now, not that the separation is permanent. What is added──showing by a count of lattices that codimension one fixes neither count, showing that the one in a row is the Euler characteristic by means of a ring and a figure eight, showing that the exponent of a shell does not respond to topology with Euler characteristics 2, 0 and -2, and lining up in one table that the two are blind in opposite directions. On the making of this work: The ideas and content of this work stem from the author's own considerations. Assistance from an AI (a large language model) was used for structuring, English translation, and checking the algebra. Any remaining errors or misinterpretations are solely the author's. Feedback and corrections are sincerely appreciated. Keywords: Euler characteristic, codimension, distinct roots, dimensional analysis, graphs, spherical shells. ----- 三重対角行列の副対角は n-1 個であり、d 次元で殻の質量が半径によらない指数は d-1 である。どちらも「一つ減る」に見える。本稿が問うのは、この二つが同じ源を持つかである。新しい定理も法則も主張しない。 本稿の射程(射程注記):新しい定理も法則も主張しない──グラフの辺と頂点とオイラー標数の関係、格子の面の数え上げ、自己相似な曲面の面積が長さの d-1 乗で増えること、球対称の殻の質量が半径によらない条件は、いずれも既知である。「余次元 1 の境界」という見立てを誤りとは言わない──一列の仕切りも球面も、どちらも余次元 1 である。本稿が言うのは、それだけでは数が決まらないということだけである。一般の複体で統一しない──扱うのはグラフと格子と自己相似な曲面の三つで、任意の次元の複体に一般化しない。永久に別だとは言わない──論文300 の判定は、今ある測り方で応答が違うという意味である。将来もっと深い所で繋がる可能性は否定しない。二つ穴の輪環の面積は仮に置いた──自己相似に大きくする族として係数だけを与えたもので、実在の曲面の面積を計算したのではない。位相を変えても指数が動かないことを見るための例である。物理の主張をしない──殻の質量の話は幾何の計算であり、どんな星やどんな物質の話でもない。既刊との関係:論文300 は、同根か別根かは判定できると示した──ここで使うのはその基準で、数の一致だけでは同根と見なさず、何を動かすと動くかを見る。論文1051 は、三重対角行列の未知数が 2n-1 個であることを数えた──その n-1 の出どころを、ここで調べる。論文01 は、三次元で殻の質量が半径によらない指数が 2 ただ一つであることを示した──その 2 が d-1 であることの出どころを、ここで調べる。論文116 は、分母にあった指数が d-1 であることを示した──ここではその d-1 が位相に反応しないことを数える。論文224 は、多面体の角の欠損を全部足すと 4 パイになり、輪環では 0 になることを示した──オイラー標数が値を決める例として引く。論文86 は、決まっている理由を四つに分けた──ここで出た二つは、その四つのうち別々の札に入る。論文1050 は、四つの札では足りないことを数えた──足りない側の話ではなく、札が実際に働く例をここで一つ出す。加えたのは、余次元 1 が二つに共通しながら片方の数を決めていないことを、格子の数え上げで示したこと、一列の 1 がオイラー標数であることを、輪と 8 の字で 1 が 0 と -1 に動くことで示したこと、殻の指数が位相にまったく反応しないことを、オイラー標数 2・0・-2 の三つで示したこと、二つが逆向きに盲目であることを一つの表に並べたことである。 第一に、これが本稿の芯である。二つは別の源を持つ──片方の 1 はオイラー標数、つまり穴の数であり、もう片方の 1 は余次元、つまり面が中身より一つ低いことである(第5節)。 第二に、余次元だけでは「一つ少ない」は出ない──どの次元の格子でも仕切りは余次元 1 だが、数が「ます引く 1」になるのは一次元だけである。二次元の 3 かける 3 はます 9 に対し仕切り 12 で、8 ではない。三次元の 3 かける 3 かける 3 はます 27 に対し仕切り 54 である(第2節)。 第三に、一列の 1 の正体はオイラー標数である──辺は頂点からオイラー標数を引いた数に等しい。木なら 1、輪なら 0、8 の字なら -1、輪が三つなら -2 で、引く数そのものが動く。行列に直すと、固有値だけでは足りない分は辺の数に等しく、一列で 5、輪で 6 である(第3節)。 第四に、殻の指数は位相にまったく反応しない──球(オイラー標数 2)、立方体、直方体、輪環(0)、二つ穴の輪環(-2)のいずれでも、面の指数は 2.000000000 のまま動かない。動かすのは次元だけで、次元を 2 から 6 まで変えると指数は 1・2・3・4・5 と動く(第4節)。 第五に、二つは逆向きに盲目である──一列の 1 は位相を見て次元を見ず、殻の 1 は次元を見て位相を見ない。論文86 の札でいえば、前者は位相的必然、後者は次元的一意性で、四つの根のうち別の二つに入る(第5節)。 第六に、数が一致するのは偶然である──n-1 と d-1 が同じ値になるのは点の数と次元が等しいときだけで、体系に実際に現れた二つは 5 と 2 である。分離子は、位相を変えたときに動くかどうかである(第6節)。 「一つ減る」は二つあり、片方は穴を数え、片方は次元を数える。余次元 1 は二つに共通しているが、片方の数を決めていない──どの次元の格子でも仕切りは余次元 1 なのに、数が「ます引く 1」になるのは一次元だけで、二次元の 3 かける 3 はます 9 に対し仕切り 12 である。一列の 1 の正体はオイラー標数である──辺は頂点からオイラー標数を引いた数で、木なら 1、輪なら 0、8 の字なら -1、輪が三つなら -2 と、引く数そのものが動く。行列の不足は一列で 5、輪で 6 になる。殻の指数は位相にまったく反応しない──オイラー標数が 2・0・-2 と動いても、面の指数は 2.000000000 のまま動かない。動かすのは次元だけで、次元を 2 から 6 まで変えると 1・2・3・4・5 と動く。二つは逆向きに盲目である──一列の 1 は位相を見て次元を見ず、殻の 1 は次元を見て位相を見ない。論文86 の札でいえば、前者は位相的必然、後者は次元的一意性で、四つの根のうち別々の二つに入る。分離子は、位相を変えたときに動くかどうかである──同じ「一つ引く」という書き方の下で、輪にすると動くほうと、二つ穴にしても動かないほうに分かれる。正直に書けば──どちらも余次元 1 であること自体は正しく、本稿が言うのはそれだけでは数が決まらないということである。また、今ある測り方で応答が違うという意味であって、永久の分離を主張するものではない。加えたのは──余次元 1 が片方の数を決めていないことを格子の数え上げで示したこと、一列の 1 がオイラー標数であることを輪と 8 の字で示したこと、殻の指数が位相に反応しないことをオイラー標数 2・0・-2 で示したこと、二つが逆向きに盲目であることを一つの表に並べたことである。 作成にあたって:本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳