The cubic moment of central <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> -values in the weight aspect

Abstract

<jats:p> Motivated by the list of problems for moments of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> -functions due to Hamieh et al. [7], we prove an asymptotic formula for the cubic moment of central <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> -values associated to holomorphic cusp forms of level one, where the weights <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:math> lie in a short interval <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , as <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . </jats:p>