Equidistribution of orbits at polynomial times in rigid dynamical systems

Abstract

<p> We study the distribution of orbits sampled at polynomial times for uniquely ergodic topological dynamical systems <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper X comma upper T right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(X, T)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . First, we prove that if there exists an increasing sequence <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis q Subscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(q_n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for which the rigidity condition <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="max Underscript t greater-than q Subscript n plus 1 Superscript 4 slash 5 Baseline Endscripts sup Underscript x element-of upper X Endscripts d left-parenthesis x comma upper T Superscript t q Super Subscript n Superscript Baseline x right-parenthesis equals o left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">max</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\max _{t>q_{n+1}^{4/5}}\sup _{x\in X}d(x, T^{tq_n}x)=o(1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> is satisfied, then, for any integer polynomial <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper P"> <mml:semantics> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">P</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of degree 2, all orbits <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis upper T Superscript upper P left-parenthesis n right-parenthesis Baseline x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(T^{P(n)}x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are equidistributed (with respect to the only invariant measure). We show that this rigidity condition might hold for weakly mixing systems, and so as a consequence we obtain first examples of weakly mixing systems where such an equidistribution holds. We also show that for integers <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C>1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a much weaker rigidity condition <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="max Underscript t greater-than q Subscript n Superscript upper C minus 1 Baseline Endscripts sup Underscript x element-of upper X Endscripts d left-parenthesis x comma upper T Superscript t q Super Subscript n Superscript Baseline x right-parenthesis equals o left-parenthesis 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">max</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:munder> <mml:mo form="prefix